1、第三章習(xí)題1甲乙兩人進(jìn)行某種競(jìng)賽，設(shè)每局競(jìng)賽中甲勝的概率為p，乙勝的概率為q，平局的概率為r，此中p,q,r0,pqr1，設(shè)每局競(jìng)賽后，勝者得1分，負(fù)者得1分，平局不記分，當(dāng)兩個(gè)人中有一個(gè)人獲取2分時(shí)競(jìng)賽結(jié)束，以Xn表示競(jìng)賽至第n局時(shí)甲獲取的分?jǐn)?shù)，Xn,n1是一齊馮馬爾可夫鏈.1）寫出狀態(tài)空間；2）求一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；3）求在甲獲取1分的狀況下，再賽2局甲勝的概率.解（1）Xn,n0的狀態(tài)空間為S2,1,0,1,2（2）Xn,n0的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為10000qrp00P0qrp000qrp00001（3）因?yàn)閮刹睫D(zhuǎn)移概率矩陣為10000qrqr2pq2prp20P(2)P2q22rqr22p

2、q2prp20q22qrpqr2ppr00001所以在甲獲取1分的狀況下，再賽2局甲勝的概率為p12(2)pprp(1r)2設(shè)Yi,i1,2,L為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，則（1）Yi,i1,2,L能否為Markov鏈？n（2）令XnYi，問(wèn)Xi,i1,2,L能否為Markov鏈？i1解（1）因?yàn)镻(YnjY1i1,Y2i2,L,Yn1P(Y1i1,Y2i2,L,Yn1i,Ynj)i)P(Y1i1,Y2i2,L,Yn1i)P(Y1i1)P(Y2i2)LP(Yn1i)P(Ynj)j)P(YnjYn1i)1i2,L,Yn1i)P(YnP(Yi1,Y2所以，Yn,n1,2,L是馬爾可夫鏈.（2）取f1

3、(U1)X1U1，當(dāng)U1i1時(shí)，X2U1U2是U2的函數(shù)，記為f2(U2).依次類推，Xn1U1U2LUn1為Un1的函數(shù)，記為fn1(Un1),XnU1U2LUn為Un的函數(shù)，記為fn(Un).因?yàn)閁1,U2,L,Un,L相互獨(dú)立，則其相應(yīng)的函數(shù)f1(U1),f2(U2),L,fn(Un),L也相互獨(dú)立，從而nP(XnjX1i1,X2i2,L,Xn1i)P(YijX1i1,X2i2,L,Xn1i)i1P(Xn1YnjX1i1,X2i2,L,Xn1i)P(Ynji)P(XnjXn1i)所以Xn,n1,2,L是馬爾可夫鏈.3設(shè)Xi,i1,2,L是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且使得P(Xij)aj,j0,

4、1,L，假如XnmaxXi,i1,2,L,n1，此中X0，就稱在時(shí)刻n產(chǎn)生了一個(gè)記錄.若在時(shí)刻n產(chǎn)生了一個(gè)記錄，就稱Xn為記錄值，以Rn表示第n個(gè)記錄值.（1）證明，Rn,n1,2,L是Markov鏈，并求其轉(zhuǎn)移概率；（2）以Ti表示第i個(gè)與第i1記錄之間的時(shí)間，問(wèn)Tn,n1,2,L是不是Markov鏈，假如，則計(jì)算其轉(zhuǎn)移概率.明：（a）依據(jù)意有：R1Xn1,R2Xn2,.RkXnk，足Xn1Xn2.Xnk.且1n1n2.nk.故PRk1z|Rkik,Rk1ik1,.R1i1PRk1z|jikik1.i1PRk1z|jikPRk1z|Rkik故Ri,i1是一個(gè)可夫且PRk1z|RkikPXnk

5、1z|Xnkaj,jiiki0,j（因?yàn)閄i的獨(dú)立性）（b）Ti第i個(gè)與第i1個(gè)之的，Ti是相互獨(dú)立的隨機(jī)量，因PTitPRi1Xnitz|RiXnii,且Xniki,k1,2.,t1PRi1Xnitaj,jiz=i（因?yàn)閄i的獨(dú)立性）0,jTi，i1是一個(gè)可夫Zi(Ri,Ti),i1PZi1Zi,Zi1,Z1P(Ri1,ti1)(Ri,ti),(Ri1,ti1),(R1,t1)P(X1t+t,ti1)(X1t1?+t,ti),(X1t?+t,ti1),(X1tt,t2),(X1,t1)1i1i1i112P(X1t1+ti1,ti1)(X1t1?+ti,ti)P(X1t1+ti1z,ti1)(

6、X1t1?+tii,ti)j,ji0,ji故(Ri,Ti),i1是一個(gè)可夫。4考慮一個(gè)擁有狀態(tài)0,1,2,L的Markov鏈，其轉(zhuǎn)移概率滿足pi,i1pi1pi,i1，此中p01，請(qǐng)找出為了使該Markov鏈正常返，全部的pi所應(yīng)當(dāng)滿足的充要條件，并計(jì)算其在這類狀況下的轉(zhuǎn)移概率.解：依據(jù)意知，要足可夫正常返，當(dāng)且當(dāng)jiPyj=0，1，2.i有一解j0,j1j依據(jù)Pi,i1Pi1Pi,i1，方程可重寫為01q1ii1Pi1i1qi1,i1則i1qi1iPi,i0所以i10P0.Pi,i0q.q11i從而，隨機(jī)游動(dòng)為正常返約的充要條件是P0.Pii0q1.qi15捕獲蒼蠅的一只蜘蛛依循一個(gè)Mark

7、ov鏈在地點(diǎn)1，2之間挪動(dòng)，其初始地點(diǎn)是1，轉(zhuǎn)移矩0.70.32，并依照轉(zhuǎn)移矩陣為0.40.6陣為，未察覺(jué)到蜘蛛的蒼蠅的初始地點(diǎn)是0.6的0.30.70.4Markov鏈挪動(dòng)，只需它們?cè)谕粋€(gè)地點(diǎn)相遇，蜘蛛就會(huì)捉住蒼蠅而結(jié)束捕獲.（1）證明：在捕獲的過(guò)程中，除非知道它結(jié)束的地點(diǎn)，不然都一定用三個(gè)狀態(tài)的Markov鏈來(lái)描繪，此中一個(gè)是汲取狀態(tài)，表示結(jié)束捕獲，其余兩個(gè)代表蜘蛛與蒼蠅處在不一樣地點(diǎn)，對(duì)此求轉(zhuǎn)移矩陣；2）求在時(shí)刻n蜘蛛與蒼蠅都處在各自初始地點(diǎn)的概率；3）求捕獲過(guò)程的均勻連續(xù)時(shí)間.證明：捕獲過(guò)程中，除非知道它結(jié)束時(shí)的地點(diǎn)，可用三個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈來(lái)描繪，此中一個(gè)是汲取狀態(tài)代表捕獲結(jié)束，而

8、其余的兩個(gè)代表植蜘蛛與蒼蠅處在不一樣的地點(diǎn)，對(duì)此鏈求轉(zhuǎn)移概率矩陣。求在時(shí)刻n蜘蛛與蒼蠅都處于各自的失事地點(diǎn)的概率，捕獲過(guò)程的均勻連續(xù)時(shí)間是多少？解：（1）依據(jù)題意可知，在捕獲過(guò)程中共有三個(gè)狀態(tài)，我們分別令為1，2，31=蜘蛛為1，蒼蠅在22=蜘蛛為2，蒼蠅在13=蜘蛛，蒼蠅在同一地點(diǎn)0.280.180.54此中狀態(tài)3也代表著捕獲結(jié)束，則轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.180.280.54001（2）分別設(shè)Xn，Yn代表時(shí)刻n蜘蛛和蒼蠅的地點(diǎn)。令Pn1,2PX1nnnPXnYnP2,Y則有PnPXn1,Yn2=PXn1,Yn2|Xn11,Yn12Pn1+PXn1,Yn2|Xn11,Yn12Pn1=0.28Pn

9、1+0.18Pn1同理Pn=0.28Pn1+0.18Pn1且P1=0.28,P1=0.18蒼蠅被吃掉的概率為P=P蜘蛛不動(dòng)，蒼蠅動(dòng)P蒼蠅不動(dòng)，蜘蛛動(dòng)P故捕獲過(guò)程的均勻時(shí)間為1.856在一個(gè)分枝過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體的后輩個(gè)數(shù)遵從參數(shù)為（2，p）的二項(xiàng)分布，從一個(gè)個(gè)體開(kāi)始，計(jì)算：1）滅絕概率；2）到第三代集體滅絕的概率；3）若開(kāi)始時(shí)不是一個(gè)個(gè)體，初始的集體總數(shù)Z0是一個(gè)隨機(jī)變量，遵從均值為的泊松分布，證明：此時(shí)關(guān)于p1，滅絕概率為exp(12p)/p2.22p滅絕的概率|X1jPX1j解（a）設(shè)0=P滅絕的概率=j02j0j0故有0(1p)22p(1p)0p2022pj(1p)2jj12p(1p)14

10、p(1p)|12p|12p2p21解得(p1)202p22p2p2因?yàn)镋X2p，依據(jù)定理可知，若P0.5時(shí)，0=1P0.5時(shí)，0=(p1)2p21,p0.5即0(p12,p0.5)p2（b）=第三代集體初次滅絕=p第三代集體初次滅絕|x2jx2jj1=2jjj2j(1p)j1C2p故=22p(1p)p+2（c）*=p集體滅絕=p集體滅絕|Z0kpZ0kk0=kkp集體滅絕|Z0ek0k!kk=0k0e=eexp0=exp(12p)p2k!7一輛出租車流動(dòng)在三個(gè)地點(diǎn)之間，當(dāng)它抵達(dá)地點(diǎn)1時(shí)，而后等可能的去地點(diǎn)2或3.當(dāng)它到達(dá)地點(diǎn)2時(shí)，將以概率1/3到地點(diǎn)1，以概率2/3到地點(diǎn)3.但由地點(diǎn)3老是開(kāi)往

11、地點(diǎn)1.在位置i和地點(diǎn)j之間的均勻時(shí)間是t1220,t1330,t2330，且tijtji.求（1）此出租車近來(lái)停的地點(diǎn)是i的（極限）概率是多少？i1,2,3；（2）此出租車朝地點(diǎn)2開(kāi)的（極限）概率是多少？（3）有多少比率的時(shí)間此出租車從地點(diǎn)2開(kāi)到地點(diǎn)3?注意，以上均假定出租車抵達(dá)一個(gè)地點(diǎn)后馬上開(kāi)出.解：依據(jù)題意有P=1/2，P=1/2，P=1/3，P=2/3，P=01213212332t12=t21=20，t13t31=30，t23=3012311123(a)jipij3依據(jù)i1i122131122231解得2337314514(b)此出租汽車朝地點(diǎn)2開(kāi)的極限概率是1p123p32，為3/1

12、42p23t23323012(c)143jpjitji3131253076ij(3020)(2030)721433148轉(zhuǎn)移矩陣稱為雙隨機(jī)的，若關(guān)于全部j，pij1，設(shè)一個(gè)擁有雙隨機(jī)轉(zhuǎn)移矩陣的Markovi0鏈，有n個(gè)狀態(tài)，且是遍歷的，求它的極限概率.解：因?yàn)镸arkov鏈?zhǔn)菭顟B(tài)有限的遍歷鏈，極限分布是獨(dú)一的安穩(wěn)分布，滿足12.n1nipij,j1,2,.,n1解得12.n1。故極限分布為1,1,.,1。nnnn9設(shè)齊次Markov鏈的狀態(tài)空間為1,2,3，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為1pp0P1p0p01pp此中，0p1，問(wèn)該齊次Markov鏈?zhǔn)遣皇潜闅v的，假如，則求其極限分布.解：解記q1p，因?yàn)閝

13、2pqpqp2P(2)P2q22pqp2q2pqpqp2而且P(2)的元素都大于零，所以該齊次馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v鏈.因?yàn)辇R次馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v鏈，因此其極限分布就是安穩(wěn)分布.設(shè)安穩(wěn)分布為1,2,3，求解方程組P,1231即q1q21p1q32p2p331231得112pp1qqp2q2pp1qq2p3q2pp1qq所以極限分布為p1,q,p2p2p1p11qqqq10設(shè)一個(gè)單細(xì)胞生物處于兩個(gè)狀態(tài)A,B之一，處于狀態(tài)態(tài)B；處于狀態(tài)B的一個(gè)個(gè)體以指數(shù)率分裂成兩個(gè)新的2pq2ppqqA的一個(gè)個(gè)體以指數(shù)率變到狀A(yù)型個(gè)體.請(qǐng)為這樣的生物集體定義一個(gè)適合的連續(xù)時(shí)間Markov鏈，而且確立這個(gè)模型的適合的參數(shù).

14、解：我們以XAt，XBt分別記t時(shí)刻集體中細(xì)胞和細(xì)胞的個(gè)數(shù)，則鏈XAt,XBt,t0是連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈。且依據(jù)題意：處于A的一個(gè)個(gè)體以指數(shù)率變到狀態(tài)B；處于狀態(tài)B的一個(gè)個(gè)體以指數(shù)率分裂成兩個(gè)新的A型個(gè)體，則轉(zhuǎn)移率為：qm,n,m1,n1mqm,n,m2,n1n11設(shè)系統(tǒng)的“狀態(tài)”可建模為兩狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間Markov鏈，其轉(zhuǎn)移率為v0,v1.當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)是i時(shí)，“事件”依照速率為i的泊松過(guò)程發(fā)生，i0,1.記N(t)為(0,t)中事件的個(gè)數(shù)，求1）limN(t)；t2）假如初始狀態(tài)是狀態(tài)0，求E(N(t).解：a假定初始狀態(tài)處于1并保持z1時(shí)間，而后轉(zhuǎn)到狀態(tài)0并保持y1時(shí)間；而后再轉(zhuǎn)到狀態(tài)1并保

15、持z2時(shí)間，而后再轉(zhuǎn)到狀態(tài)0并保持y2時(shí)間；這樣周而復(fù)始下去，則過(guò)程zi,yi構(gòu)成一交替更新過(guò)程。假如初始狀態(tài)處1于0，那么過(guò)程zi,yi構(gòu)成了一延緩交替更新過(guò)程。1設(shè)處于狀態(tài)1時(shí)在zi時(shí)間內(nèi)獲取積累酬勞為Ni在zi時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的個(gè)數(shù)處于狀態(tài)0時(shí)，在yi時(shí)間內(nèi)獲取積累酬勞為Ni在yi時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的個(gè)數(shù)設(shè)Mt=到t時(shí)刻為止更新的總個(gè)數(shù)，則有NtN1N1N2N2NMtNMtNtN1N1N2N2NMtNMtNMt1NMt1由交替更新酬勞定理知：N1N1NMtNMtlimttE在一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)獲取的酬勞=周期長(zhǎng)度01=0111NMt1NMt1limt0tNt01故有l(wèi)imttb若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0

16、，近似a的結(jié)構(gòu)知，過(guò)程yi,zii1仍舊成為一交替更新過(guò)程。由a知limNtE在一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)獲取的酬勞tE周期長(zhǎng)度t=01則ENtt單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件數(shù)=01t12設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在1，2，3上作隨機(jī)跳躍，在時(shí)刻t它位于三點(diǎn)之一，且在t,th內(nèi)依概率10(h)分別能夠跳到其余兩個(gè)狀態(tài)，求轉(zhuǎn)移概率所滿足的Kolmogorov方程.2解：若i2,則pi,i1h1hohqi,i11,qi,i1(1)22pi,i1h1hoh,pi,ih1hoh。2近似可得，i1,2,3，（1）式建立。此中當(dāng)i1時(shí)，i13，當(dāng)i3時(shí)，i11，Kolmogorov向前面程為pijqjjpijtqj1,jpi,j1tqj1p

17、i,j1tpijt1pij1t1pi,j1t11pij3pij22又pij1，故pijpijttt1，3j1222t3ts3tpt解得1e2dsp0e2。ij2ij01ij12e利用初始條件p0t33，解得pijij0ij11e333t2tij。ij13設(shè)Xt,t0為狀態(tài)失散連續(xù)參數(shù)的齊次Markov鏈，其狀態(tài)空間為1,2,L,m，且qij1,iji,j1,2,L,m，求pij(t).1m,ij解：解由題設(shè)設(shè)知Q矩陣為1m11L1Q11m1L1MMMM111L1m由向前面程得dpij(t)1mpij(t)pik(t),iSdtkjm由pik(t)1，得k1pik(t)1pij(t)kj代入上邊

18、的方程，得dpij(t)1mpij(t)(1pij(t)dt=mpij(t)1,i,j1,2,L,m解之得pij(t)Cemt1,i,j1,2,L,mm由初始條件pii(0)1,pij(0)0,ij，所以：當(dāng)ij時(shí)，C11；m當(dāng)ij時(shí)，C1.；m于是pii(t)11emt1,i1,2,L,mmmpij(t)1(1emt),i,j1,2,L,mm已知齊次馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣12330P11133302133問(wèn)此馬爾可夫鏈有幾個(gè)狀態(tài)？求二步轉(zhuǎn)移概率矩陣.解因?yàn)檗D(zhuǎn)移概率矩陣是三階的,故此馬爾可夫鏈的狀態(tài)有三個(gè);二步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(2)(pij(2)P21201203423333999111111

19、25233333399.9021021243333399915.在一串貝努利試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p,令0,第n次試驗(yàn)A不發(fā)生,n1,2,3,Xn1,第n次試驗(yàn)A發(fā)生(1)Xn,n1,2,能否齊次馬爾可夫鏈？(2)寫出狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣;求n步轉(zhuǎn)移概率矩陣.解(1)依據(jù)題設(shè)條件知道X1,X2,Xn,是相互獨(dú)立的,所以Xn,n1,2,是馬爾可夫鏈,又轉(zhuǎn)移概率PXn1j|XniPXn1jq,j0p,j1與n沒(méi)關(guān),故Xn,n1,2,是齊次馬爾可夫鏈;(2)狀態(tài)空間S0,1,一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(pij)qpqp,pijPXn1j|XniPXn1jq,j0p,j1.n步移概率矩陣P(

20、n)(pij(n)Pnqpqp.16.從次品率p(0p1)的一批產(chǎn)品中,每次隨機(jī)抽查一個(gè)產(chǎn)品,以Xn表示前n次抽查出的次品數(shù),(1)Xn,n1,2,能否齊次馬爾可夫鏈？(2)寫出狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣;假如這批產(chǎn)品共有100個(gè),此中混淆了3個(gè)次品,作有放回抽樣,求在抽查出2個(gè)次品的條件下,再抽查2次,共查出3個(gè)次品的概率.(1)依據(jù)題意知,Xn,n1,2,是齊次馬爾可夫鏈;(2)狀態(tài)空間S0,1,2,n,p是次品率,q1p是正品率,依據(jù)題意知0,jipijPXn1j|Xniq,jip,ji1,0,ji1i,j0,1,2,n,;次品率p0.03,所求概率為PXn23|Xn2p23(2)p2kpk

21、3k000qppq02pq20.030.970.0582.獨(dú)立重復(fù)地?cái)S一顆均勻的骰子,以Xn表示前n次擲出的最小點(diǎn)數(shù),(1)Xn,n1,2,能否齊次馬爾可夫鏈？(2)寫出狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣;(3)求PXn13,Xn23|Xn3;(4)求PX21.解(1)依據(jù)題意知,Xn,n1,2,是齊次馬爾可夫鏈;(2)狀態(tài)空間S,1,2,3,4,5,6,pijPXn1j|Xnip1jPXn1j|Xn11,j10,j2,1,j16p2jPXn1j|Xn25,j260,j31,j1,26p3jPXn1j|Xn34,j3,60,j411,2,3,j6p4jPXn1j|Xn43,j4,60,j5,611,2,3

22、,4,j6p5jPXn1j|Xn52,j5,60,j6p6jPXn1j|Xn61,j1,2,6;6(3)PXn13,Xn23|Xn3PXn13|Xn3PXn23|Xn13,Xn3PXn13|Xn3PXn23|Xn13p33p33444669;6(4)PX21PX1iPX21|X1ii1161111166.6i23618.設(shè)齊次馬爾可夫鏈Xn,n0,1,2,的轉(zhuǎn)移概率矩陣為2330111P,33302133且初始概率分布為pj(0)PX0j1,j1,2,3,3(1)求PX11,X22,X33;(2)求PX23;求安穩(wěn)分布.解(1)PX11,X22,X3312|X113|X22,X11PX1PX2

23、PX3PX11PX22|X11PX33|X22PX11p12p233PX0jPX11|X0jp12p23j13PX0jpj1p12p23j1211(110)4;33333813(2)PX231PX0jPX23|X0jj3PX0jp(j32)j11(223)7;399927安穩(wěn)分布(p1,p2,p3)滿足方程組11p1p13p23p30,pp2p1p22132333,pp0p1p1312333,p1p2p31解之得121p14,p24,p34.19.擁有三狀態(tài):0,1,2的一維隨機(jī)游動(dòng),以X(t)j表示時(shí)刻t粒子處在狀態(tài)j(j0,1,2),過(guò)程X(t),tt0,t1,t2,的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣qp

24、0Pq0p,0qp(1)求粒子從狀態(tài)1經(jīng)二步、經(jīng)三步轉(zhuǎn)移回到狀態(tài)1的轉(zhuǎn)移概率;求過(guò)程的安穩(wěn)分布.解(1)p11(2)PX(tn2)1|X(tn)12p1kpk1qp0pq2pq,k0qpqp2P(2)P2q22pqp2,q2pqpqp2q2q2ppqqp2p2P(3)P3q32pq3pq2p2qp3q3pq22pq2p2q2p2qp3于是p(3)PX(tn3)1|X(tn)1pq,11安穩(wěn)分布(p0,p1,p2)滿足方程組p0p0qp1qp20,p1p0pp10p2q,p2p00p1pp2p,p0p1p21,解之得p0q2,p1pq,p2p2.1pq1pqpq1設(shè)同型產(chǎn)品裝在兩個(gè)盒內(nèi),盒1內(nèi)有

25、8個(gè)一等品和2個(gè)二等品,盒2內(nèi)有6個(gè)一等品和4個(gè)二等品.作有放回地隨機(jī)抽查,每次抽查一個(gè),第一次在盒1內(nèi)取.取到一等品,連續(xù)在盒式內(nèi)取;取到二等品,連續(xù)在2盒內(nèi)取.以Xn表示第n次取到產(chǎn)品的等級(jí)數(shù),則Xn,n1,2,是齊次馬爾可夫鏈.(1)寫出狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣;恰第3、5、8次取到一等品的概率為多少？求過(guò)程的安穩(wěn)分布(1)依據(jù)題意,狀態(tài)空間S1,284p11PXn11|Xn1,105p12PXn1p21PXn1p22PXn1轉(zhuǎn)移概率矩陣15532;552|Xn211,1051|Xn632,1052|Xn422,105PX114PX121(2),55PX31,X51,X81PX31PX51

26、|X31PX81|X51,X31PX31PX51|X31PX81|X51PX31p11(2)p11(3)2ip11(2)p11(3)PX1iPX31|X1i12ip(2)p(2)p(3)PX1,i1i11111196P(2)P22525(3)P3125125,9332125125PX31,X51,X812PX1ipi(12)p11(2)p11(3)i1(0.80.760.20.72)0.760.7520.429783;安穩(wěn)分布(p1,p2)滿足方程組43p1p15p25p2p11p2255,p1p21,p13p21解之得,4.421.A,A的雙極性二進(jìn)制傳輸信號(hào)U(t

27、),t0的碼元符號(hào)概率為q,p。將U(t)送入碼元幅度取樣累加器，累加器輸出為Y(n),n1,2，簡(jiǎn)記為Yn。試求：（1）畫出Y(n)的狀態(tài)圖；（2）Y(n)的狀態(tài)概率k(n)和PYn0，假定初始分布為等概的；（3）Y(n)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率pij(m,n)和PY153Y11,Y83,Y104。解（1）將U(t)送入碼元幅度取樣累加器，則相當(dāng)于nY(n)X(k)n1,2,k1L此中ApX(k)qY(n)，假如X(n)的取值為A,則Y(n)增添A,不然減少A畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為ppppA0Aqqqq2）kP(Y(n)kA)kn,n1,0n1,nKKQ當(dāng)n-|k|等于奇數(shù)時(shí)，可知P(Y(n)kA)0而當(dāng)n|

28、k|等于偶數(shù)時(shí)，則在n個(gè)樣本中一定選擇n-|k|個(gè)樣本相互抵消，2n-|k|n-|k|可知一共有C2種方法，每種方法中，抵消項(xiàng)的發(fā)生概率為(pq)2，假如nn-|k|n-|k|k0,則P(Y(n)k)Cn2(pq)2pkn-|k|n-|k|qkk0,則P(Y(n)k)Cn2(pq)20n|k|為奇數(shù)n-|k|n-|k|綜上所述kP(Y(n)C2(pq)2pkk0,n|k|為偶數(shù)k)nn-|k|n-|k|Cn2(pq)2qkk0,n|k|為偶數(shù)nn-|k|n-kP(Yn0)Cn2(pq)2pkk03）設(shè)nmnQYnk1Xk能夠獲取Yn是馬爾可夫序列Pij(m,n)P(Ynj|Ymi)nmP(Xk

29、j|Xki)k1k1nP(Xkji)kmnmP(Xkji)k1P(Ynmji)0nmji為奇數(shù)n-m-|j-i|n-m-|j-i|jiCn2(pq)2pji0,nmjn-m-|j-i|n-m-|j-i|Cn2(pq)2qijji0,nmjPY153|Y11,Y83,Y104PY153|Y104PY515-|-1|5-|-1|q(-1)C52(pq)2p2q3設(shè)X(n)，n1是相互獨(dú)立隨機(jī)變量序列，令：Y(n)試證明：隨機(jī)序列Y(n)是馬氏鏈。解為偶數(shù)i為偶數(shù)nXp(i)，p是隨意的整數(shù)，i1nn1Y(n)Xp(i)Xp(i)X(n)Y(n1)Xp(n)i1i1令X(i)Xp(i)則與7.1相同

30、，所以Y(n)是馬氏鏈23.細(xì)小粒子在相距2d的反射板之間做隨機(jī)游動(dòng)。粒子的初始地點(diǎn)在中線0地點(diǎn)上，每隔時(shí)間粒子游動(dòng)一步，每步跨距為d。隨機(jī)游動(dòng)在第n步后的質(zhì)點(diǎn)地點(diǎn)記為X(n),n0,1,.，狀態(tài)為(d,0,d)，設(shè)X(n)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：00.70.3P0.800.20.70.30試求：（1）隨機(jī)游動(dòng)的狀態(tài)圖；（2）最可能的樣本波形（設(shè)X(0)0）；（3）求X(n)的極限分布和安穩(wěn)分布。解1）自己畫2）最可能的波形，即是說(shuō)按轉(zhuǎn)移概率最大的狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)移。設(shè)X(0)0，則3）計(jì)算P2,得每個(gè)元素大于0，所以該馬爾可夫鏈遍歷，安穩(wěn)分布與極限分布相等n利用VP=V,與pi1,解出V=(0.43

31、32,0.3641,0.2028)i=124.在差分編碼系統(tǒng)中，將輸入的二進(jìn)制(0,1)數(shù)據(jù)序列a(n),n1,2,.進(jìn)行差分編碼，輸出為序列X(n),n0,1,.，談?wù)撦敵鯴(n)的狀態(tài)分類。此中編碼規(guī)則為X(n)a(n)X(n1)與X(0)0。解設(shè)a(n)0的概率為p,a(n)1的概率為q,Q000,011,110,則不難畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖f00pq2pq2p2q2LLpq2q2p1pQpq1q1pf00pq2qp1狀態(tài)0為正常返，因?yàn)?，1互通所以狀態(tài)0與1均為正常返E=C=1,2若明天能否降雨僅與今日能否有雨相關(guān)，而與過(guò)去的天氣沒(méi)關(guān)，并設(shè)今有雨而明天有雨的概率為0.7；今日無(wú)雨明天有雨的概

32、率為0.2，設(shè)X(0)表示今日的天氣狀態(tài)，X(n)表示第n日的天氣狀態(tài)。“X(n)1”表示第n日有雨；“X(n)0”表示第n日無(wú)雨。X(n)是一個(gè)齊次馬氏鏈。1）寫出X(n)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣2）求今日有雨今后第2日仍有雨的概率3）求有雨的安穩(wěn)概率解1）(n)的狀態(tài)有兩個(gè)，1和0，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：P=0.80.20.30.72）今日有雨后第二日仍有雨的概率為0.80.20.80.22=(0,1)0.70.3(0.45,0.55)0.30.73）n利用VP=V,與pi1,解出V=(0.6,0.4)i=126.獨(dú)立增量隨機(jī)信號(hào)Y(t)的增量信號(hào)為X(t)，關(guān)于時(shí)刻編序t00t1t2.tk.，X(tk)Y(tk)Y(tk1),Y(t0)0，若增量信號(hào)的一階特色函數(shù)為X(v;tk)。試求：（1）Y(v;t1)與Y(v;t3)；（2）Y(v1,v2;t1,t2)與(v1,v2,v3;t1,t2,t3)。解（1）nQY(tn)X(tk)1Y(