1、一、高階等差數(shù)列的心及心的求法求高階等差數(shù)列的通項(xiàng)知及前“和S”的時(shí)候，平常采納逐差法或待定系數(shù)法。下而先介紹逐差法求通項(xiàng)。方法一逐差法。我們先看一個(gè)例題。例1求數(shù)列”的通項(xiàng)：?：1,7,25,61,121,211,?解：先作各階差數(shù)列：數(shù)列：1,7,25,61,121,211,?一階差數(shù)列心：6,18,36,60,90,二階差數(shù)列CJ：12,18,24,30,三階差數(shù)列：6,6,6,因而可知，數(shù)列?！笔?階等差數(shù)列，數(shù)列?是首項(xiàng)為12、公差為6的等差數(shù)列，故cn=12+（H一1）6=6”+6?$仇J（心2）,/.bx仇“=6（/-1）+6=6/2于是獲取2）嘰-仇-I=6仇J-b“=6（/?

2、-1）,仇?2一4?3=6（舁一2）,b2/?!=6?2.?彳?/?.?.?.?.將以上各式兩邊分別相加，得bn-bx=6(2+3+?+)=6(1+2+3+n)-6=6?叩;一&)-&=3n2+3n6/.bn=3n2+3n一6+糾=+3n(n2).由于此公式當(dāng)“=1時(shí)的值/7.=6,故數(shù)列b,的通項(xiàng)公式為bn=3n2+3n(n=1,2,3,)又”+i一舛=(=1,2,3,)=3/22+3n(n=1,2,3,)由此可得，當(dāng)“22時(shí)，=3,?2a一Cln-2=3(一1廣一3(-1),_=3?2-_3?2,將以上各式相加，得an一絢=3/?2+(H-1)2+23幾+(“一1)+?+2=3用+(一1)

3、2+?+2+卩一3+(料一1)+?+2+13?卩+3?1n(n+1)(2/?+1)n(n+l)3=3-3-7?-n.62/.an=n、一x、一n+ax=H3一n+1(/?2),又此式當(dāng)八=1時(shí)的值?=1,故數(shù)列”的通項(xiàng)公式為an=n3M+1(/2=1,2,3,).一般地，設(shè)數(shù)列?的K階差數(shù)列記為/,假如數(shù)列?是P階等差數(shù)列，那么（P-1）階差數(shù)列“是等差數(shù)列，于是能夠求出數(shù)列“丁的通項(xiàng)公式，利用席血嚴(yán)=船匕=123,），仿照上述例題的作法，能夠求出數(shù)列?-2）的通項(xiàng)公式，挨次類推，可求出數(shù)列仏”的通項(xiàng)公式.利用逐差法求高階差數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)還是比較麻煩的，下而介紹待定系數(shù)法求通項(xiàng).方法二待定系數(shù)法

4、下而先證明兩個(gè)定理.定理1設(shè)P為正整數(shù)，前n個(gè)自然數(shù)的P次幕的和記為S；J,即S：=lp+2P+3P+-np.則ST是對于n的（p+1）次多項(xiàng)式.證明用數(shù)學(xué)概括法.當(dāng)p二1時(shí)，因Sf=1+2+3+=巴凹=匕,+4,它是對于n的2次多項(xiàng)式,222故結(jié)論是正確的.設(shè)結(jié)論當(dāng)“Sk伙XI）是正確的，既=廣+2女+3*+卅是對于n的（k+1）次多項(xiàng)式.嚴(yán)=嚴(yán)一土（;-1）*+2j-ij-i=tJk+2-t嚴(yán)-昭產(chǎn)+?訂-C乙產(chǎn)+（-1嚴(yán)j-i;-1=c朮嚴(yán)-邙2乞產(chǎn)+C吐嚴(yán)+（-1嚴(yán)川，/IJ-1;-1于是t嚴(yán)=斗嚴(yán)+c金i;r-c吐嚴(yán)+(-i)F./-I5+2J-1；-1依據(jù)假定fj產(chǎn)分別是對于n的(

5、k+1)次、k次、(k-1)/-IJ-1次，1次多項(xiàng)式，而C乙(丿=1,2,3,*+2與)n沒關(guān)，所以文嚴(yán)是/-I對于n的(k+2)次多項(xiàng)式.就是說，當(dāng)p二k+1時(shí)，Sf是對于n的(k+2)次多項(xiàng)式，即結(jié)論當(dāng)p二k+1時(shí)也是正確.所以，Sf是對于n的(p+1)次多項(xiàng)式.定理2數(shù)列心為p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列“”的通項(xiàng)為n的p次多項(xiàng)式.證明先證必需性.用數(shù)學(xué)概括法.當(dāng)p二1時(shí)，數(shù)列”是等差數(shù)列，其通項(xiàng)a,=at+(n-1)J,這是關(guān)于n的一次多項(xiàng)式.設(shè)p二k,即當(dāng)?為k階差數(shù)列時(shí),數(shù)列(“-”)(心2)就是k階差數(shù)列時(shí)，依據(jù)假定可令anan-=ank+加z+挨次令n二2,3,4,得a2ax

6、=a-2k+b-2i_1+?a5-a2=“?3+*b-3A_I+?an_an=a-nK+b?n1lx+?將以上各式兩邊分別相加，化簡后得an=a(2k+3k+-+nk)+b(2k+3*1+/)+q依據(jù)定理1,右側(cè)第一個(gè)括號的和是對于n的(k+1)次多項(xiàng)式，第二個(gè)括號是對于n的k次多項(xiàng)式，所以，心是對于n的(k+1)次多項(xiàng)式.所以，當(dāng)“”為(k+1)階等差數(shù)列時(shí)，心是對于n的(k+1)次多項(xiàng)式，即p二k+1時(shí)結(jié)論也是建立的.由上述證明可知，當(dāng)心為p階等差數(shù)列時(shí)，心是對于門的卩次多項(xiàng)式.充分性.設(shè)數(shù)列“”的通項(xiàng)是對于n的p次多項(xiàng)式，設(shè)an=an+bnp1+(aH0)作它的一階差數(shù)列：an一一=+b

7、n/，-1+一a(nl)+/?(/?+=apnp+假如連續(xù)作P次,則獲取P階差數(shù)列是常數(shù)列?川，所以數(shù)列”是P階等差數(shù)列.定理3若數(shù)列“”為p階等差數(shù)列，則它的前n項(xiàng)和S”是對于n的(p+1)次多項(xiàng)式.證明由于“”是p階等差數(shù)列，依據(jù)定理2,它的通項(xiàng)公式是對于n是p次多項(xiàng)式.設(shè)a”=anv+bn!，+(aH0),(akp+bkp+)依據(jù)定理1,t憶亡分別是對于n的(p+1)次、p次、21(p-l)次，多項(xiàng)式，所以，S”是對于n的(p+1)次多項(xiàng)式.依據(jù)定理2和定理3,我們能夠求出隨意的高階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.例1求下邊數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和5,17,35,59,89,解先判斷是

8、幾階等差數(shù)數(shù)列.數(shù)列?：5,17,35,59,89,一階差數(shù)列：12,18,24,30-二階差數(shù)列：6,6,6,?所以，數(shù)列“”是二階等差數(shù)列，依據(jù)定理2,%是對于n的2次多項(xiàng)式；依據(jù)定理3,前項(xiàng)n和S”是對于n的3次多項(xiàng)式.于是設(shè)an=air+bn+c,S,=勸+yn2+zjt+f.此中“、b、c、x、y、z、/都是待定系數(shù).由于?=5,“2=17,“3=于35是,由式得方程組a+h+c=5.4+2Z?+c=17,9a+3Z?+c=35.解之得a=3,b=3,c=-l,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為aH=3n2+3/i-1(?=123,)所以S=q=5,S2=q+a2=22,S3=S2+a3=57,S

9、4=S3+a4=116,于是由式得方程組：k+y+z+/=5；8x+4y+2z+f=22;27x+9y+3z+f=57;64x+16y+4?+/=116.解之得x=l,y=3,z=lJ=0.所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n3+3n2+n(n=1,2,3,).例2求數(shù)列1?2,2?3,5+1)的和解數(shù)列的通項(xiàng)色“心+1)=“2+是”關(guān),于n的2次多項(xiàng)式，所以，數(shù)列“”的前n項(xiàng)和是對于n的3次多項(xiàng)式，于是可設(shè)S“=an+bn2+cn+d.因S=q=1?2=2,S?=S+他=2+2?3=&S3=S?+為=8+3?4=20,S4=S3+a4=20+4?5=40,于是得方程組Sa+4b+2e+=&27a+9

10、b+3c+=20;64+16b+4c+=40.解這個(gè)方程組得2）_q此公式當(dāng),1,時(shí)的值為所以數(shù)列通項(xiàng)公式為_廣=+（a.一a】）n=1,23,）1一9令A(yù)一（gi）,B=q+（G“）丄，則數(shù)列他的通項(xiàng)公式能夠?qū)慱ql_gan=Aqnl+Bn=1,2,3,）定理證畢.當(dāng)數(shù)列”為二階等比數(shù)列時(shí)，由于一階差數(shù)列4-絢）,a-）,（如譏是一階等比數(shù)列，由定理可得此數(shù)列的通項(xiàng)公式為勺+1一a”=+Bl(n=1,2,3,)此中q是二階差數(shù)列的公比，4、目是常數(shù).將此公式兩邊乞降，得為g畋-i)=(人廣+BJ,即an-a=_-_-+目(一1).jt-2A-2_q由此能夠獲取，二階等比數(shù)列”的通項(xiàng)公式為?=

11、W+B+C.此中A，,BtC都是常數(shù)一般地說，P階等比數(shù)列的通項(xiàng)形式為5=+Bnp+B#+B/t.利用上述結(jié)論，能夠用待定系數(shù)法求高階等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.例2求數(shù)列勺:1,31,221,1211,6201,31191,的通項(xiàng)公式.解不難考證，數(shù)列是2階等比數(shù)列，且二階差數(shù)列的公比為5,于是可設(shè)數(shù)列通項(xiàng)為an=A-5”“Bn+C.W5=1衛(wèi)2=31=,F是得方程組A+B+C=l,5A+2B+C=31,25A+3B+C=221.解這個(gè)方程組,得A=10,B=-10,C=l.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為?,=2-1OH+l(n=1,2,3,?)由于p階等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=Aqnx+B.npx+B2np2+Bp,般新資料推移于是數(shù)列的前n項(xiàng)和為S“=E?=述q“Sk+B2宀土Bp.Jt-1攵2?】因而可知，只需求出了高階等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，它的前n項(xiàng)和也是能夠求出來的.例3求數(shù)列“”3?,53,172,332,的前n項(xiàng)和.解先求數(shù)列傀：3,5,9,17,33,的通項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的一階差數(shù)列為2,4,8,16,?是一個(gè)等比數(shù)列，其公比為2,因此可設(shè)數(shù)列血的通項(xiàng)公式為h,=A2”“+B.由于勺=3、g=5,于是方程組+3=3,2A+B=5.解之A=2,B=l.