1、8最小二乘估計(jì)一、非標(biāo)準(zhǔn)1.已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23,樣本點(diǎn)的中心是(4,5),則線性回歸方程是( )A.y=4+1.23x B.y=5+1.23xC.y=0.08+1.23x D.y=1.23+0.08x解析:由已知得b=1.23,=4,=5,于是a=-b=5-1.234=0.08,因此線性回歸方程為y=1.23x+0.08.答案:C2.用回歸直線方程的系數(shù)a,b的最小二乘法估計(jì)a,b,使函數(shù)Q(a,b)的值最小,則Q函數(shù)是指( )A.(yi-a-bxi)2 B.(yi-a-bxi)C.yi-a-bxi D.(yi-a-bxi)2答案:A3.某地區(qū)調(diào)查了29歲的兒童的身高,由此建

2、立的身高y(cm)與年齡x(歲)的回歸模型為y=8.25x+60.13,下列敘述正確的是( )A.該地區(qū)一個(gè)10歲兒童的身高為142.63 cmB.該地區(qū)29歲的兒童每年身高約增加8.25 cmC.該地區(qū)9歲兒童的平均身高是134.38 cmD.利用這個(gè)模型可以準(zhǔn)確地預(yù)算該地區(qū)每個(gè)29歲兒童的身高解析:由y=8.25x+60.13知斜率的估計(jì)值為8.25,說(shuō)明每增加一個(gè)單位年齡,約增加8.25個(gè)單位身高,故選B.答案:B4.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用x/萬(wàn)元4235銷售額y/萬(wàn)元49263954根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6

3、萬(wàn)元時(shí)的銷售額為( )A.63.6萬(wàn)元 B.65.5萬(wàn)元C.67.7萬(wàn)元 D.72.0萬(wàn)元解析:=3.5,=42,又y=bx+a必過(guò)(),42=3.59.4+a,a=9.1.線性回歸方程為y=9.4x+9.1.當(dāng)x=6時(shí),y=9.46+9.1=65.5(萬(wàn)元).答案:B5.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表:x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸方程為y=bx+a,若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y=bx+a,則以下結(jié)論正確的是( )A.bb,aa B.bb,aaC.ba D.bb,aa解析:b=2,a=0-21=-2.xiyi=0+4+3+1

4、2+15+24=58,=3.5,=1+4+9+16+25+36=91,b=,a=3.5=-,ba.故選C.答案:C6.下表是某廠1到4月用水量情況(單位:百噸)的一組數(shù)據(jù):月份x1234用水量y4.5432.5用水量y與月份x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,其線性回歸方程為y=-0.7x+a,則a的值為 .解析:由已知得=2.5,=3.5,因此3.5=-0.72.5+a,解得a=5.25.答案:5.257.在一項(xiàng)關(guān)于16艘輪船的研究中,船的噸位區(qū)間從192 t3 246 t,船員的人數(shù)從5到32,由船員人數(shù)y關(guān)于噸位x的回歸分析得到:y=9.5+0.006 2x,假定兩艘輪船的噸位相差1 000 t,船

5、員平均人數(shù)相差 ,對(duì)于最小的船估計(jì)的船員人數(shù)是 ,對(duì)于最大的船估計(jì)的船員人數(shù)是 .解析:由線性回歸方程知船的噸位每增加1 000 t,則人數(shù)增加0.006 21 0006(人),又分別令x=192和3 246,即可估算船員人數(shù).答案:610298.2018年6月22日,某市物價(jià)部門(mén)對(duì)本市的5家商場(chǎng)的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查,5家商場(chǎng)的售價(jià)和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:價(jià)格x/元99.5m10.511銷售量y/件11n865由數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖可知,銷售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,其線性回歸方程是=-3.2x+40,且m+n=20,則其中的n= .解析:(9+9.5+m+10.5+

6、11)=8+(11+n+8+6+5)=6+,線性回歸方程一定經(jīng)過(guò)樣本中心(),所以6+=-3.2+40,即3.2m+n=42,由解得故n=10.答案:109.某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額如下表:商店名稱ABCDE銷售額x/千萬(wàn)元35679利潤(rùn)額y/百萬(wàn)元23345(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)圖,說(shuō)明兩個(gè)變量是否線性相關(guān);(2)用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的線性回歸方程;(3)當(dāng)銷售額為4千萬(wàn)元時(shí),估計(jì)利潤(rùn)額的大小.解:(1)散點(diǎn)圖如下圖.由散點(diǎn)圖可以看出變量x,y線性相關(guān).(2)設(shè)線性回歸方程是y=bx+a,=3.4,=6,所以b=0.5,a=-b=3.4-60.5=0

7、.4,即利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的線性回歸方程為y=0.5x+0.4.(3)當(dāng)銷售額為4千萬(wàn)元時(shí),利潤(rùn)額為y=0.54+0.4=2.4(百萬(wàn)元).10.某地最近十年糧食需求量逐年上升,下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):年份20062008201020122014需求量/萬(wàn)噸236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的線性回歸方程y=bx+a;(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2015年的糧食需求量.解:(1)由所給數(shù)據(jù)看出,年需求量與年份之間是近似直線上升的,下面來(lái)求線性回歸方程,為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下:年份-2 010-4-2024需求量-257-21-1101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù),容易算得=0,=3.2.b=6.5,a=-b =3.2.由上述計(jì)算結(jié)果,知所求線性回歸方程為y-257=b(x-2 01