1、7.6 有 限 域 1有限域(Galois域) 定義. 只有有限個(gè)元素的域稱為有限域，或Galois域。設(shè)F是一個(gè)有限域，則F的特征不可能是0F的特征為質(zhì)數(shù)p ，以RP為其最小子域設(shè)F為q元域，則F中q-1個(gè)非0元素在乘法下作成一個(gè)q-1元群,因而都適合方程q-1=1.由此知， F中q-1個(gè)非零元素都是多項(xiàng)式q-1 -1 的根， F中q個(gè)元素都是多項(xiàng)式q 的根。2定理7.6.1 F中的q-1個(gè)非0元素恰是所有q-1次單位根，而F的所有q個(gè)元素恰是多項(xiàng)式q-的所有的根。證明：多項(xiàng)式q-1-1最多只能有q-1個(gè)根。但F的非0元素已經(jīng)是它的q-1個(gè)不同的根，所以F的非0元素恰是q-1-1的所有的根，

2、因而也就是所有的q-1次單位根。類似地可以說(shuō)明F的所有元素恰是q-的所有的根。 ( 例)3 結(jié)論：特征p必不能整除q-1證明： （反證）否則(q-1-1)=(q-1) q-2=0, 因而q-1-1有重根，與定理7.6.1矛盾。定理7.6.2 F的q-1個(gè)非0元素在乘法下作成一個(gè)q-1元循環(huán)群，其（q-1）個(gè)生成元素恰是q-1（）的所有的根。 證明：F既然包含q-1-1所有的根，自然也包含q-1()的根，故由定理7.6.1和上節(jié)定理7.5.4(定理7.5.4 設(shè)n不是F的特征的倍數(shù),并設(shè)n()在F中有根。于是，F(xiàn)中恰有n個(gè)n次單位根，它們?cè)诔朔ㄏ伦鞒梢粋€(gè)n元循環(huán)群，其(n)個(gè)生成元素恰是n()的

3、所有的根。) ，可知該定理成立。4引理. 設(shè)F是q元有限域，特征為p，設(shè)()為q-1()在Rp中的一個(gè)n次質(zhì)式, 是()在F中的一個(gè)根。于是，F(xiàn)中的任意元素可以唯一地表為 a0 + a1 + a22 + + an-1n-1 的形式，其中a0，a1，an-1Rp。證明：規(guī)定Rp到F的一個(gè)映射如下： () () 5證明(1)往證是Rp到F上的映射。顯然,(0)=0。任取F, 0,于是是q-1次單位根，因?yàn)槭?)的根而()q-1()，所以是本原q-1次單位根，因而=k，從而xkRp,使 (k)=k=.所以是Rp到F上的映射。6證明(2)往證是Rp到F的同態(tài)映射。 (x)+g(x)=()+g()=(x

4、)+(g(x)，(x)g(x)=()g()=(x)(g(x)(3) 設(shè)的核為主理想()Rp(見(jiàn)7.2習(xí)題4)。因是()的根,()=()=0,所以()在核內(nèi)，故()()。因?yàn)?)不可約，()或是常元素或與()相通。因?yàn)镕不只有一個(gè)元素0，所以的核不能是Rp全部，因而()不是常元素?？梢?jiàn)()與()相通，而的核可以寫(xiě)成()Rp的形式。7證明 上面已證出是Rp到F上的同態(tài)映射，同態(tài)核為()Rp，所以(4) 可表性。任取F,有f(x)Rp，使得(f(x)= ,以(x)除(x)： (x)= q(x)(x)+ r(x)， 次r(x)n-1。故, =(f(x)= () =(q(x)(x)+ r(x)= q()

5、()+ r() = q() 0+ r()=r() 因而 = a0 + a1 + a22 + + an-1n-1 .8證明 (5) 證表法唯一。設(shè)r(),s()是最多n-1次的Rp上面的多項(xiàng)式， =r()=s()，欲證r(x)=s(x)。因?yàn)閞()- s()=0，故r(x)-s(x)在的核內(nèi),因而(x)r(x)-s(x)。但次(x)= n次(r()-s()，故r(x)-s(x)只能是多項(xiàng)式0。 證畢。F中元素的個(gè)數(shù)q = pn。 因 = a0 + a1 + a22 + + an-1n-1 中n個(gè)系數(shù)每個(gè)有p種取法9定理7.6.3有限域的元數(shù)q必為pn的形式，其中p為其特征。如果同構(gòu)的域看作是一樣

6、的，則對(duì)任意q=pn恰有一個(gè)q元有限域。證明： q = pn已證。(1)唯一性。設(shè)F,F都是q元有限域,則它們都包含Rp為其子域。取q-1()的一個(gè)不可約因(),據(jù)引理的證明，因此，若同構(gòu)的域看作一樣，對(duì)任意q=pn最多只能有一個(gè)q元有限域。 10證明 (2) 證對(duì)任意q=pn確有q元有限域存在。取q-1(x)在Rpx中的一個(gè)不可約因式(x), 則()Rp是Rp的極大理想（見(jiàn)7.2習(xí)題5），所以是一個(gè)域。在Rp中，p個(gè)1相加等于0，所以在域F中，p個(gè) 相加等于 ，因而域F的特征為p。不妨把 ，仍記為0，1，用代表包含的那個(gè)剩余類：=于是,()=( )= = = 011證明因此,是()的根.今(

7、)q-1()，q-1()q-1-1，故是q-1次單位根。由上節(jié)定理7.5.4，域F中恰有q-1-1的q-1個(gè)不同的根。添上0，我們便得到q-的q個(gè)不同的根。往證這q個(gè)元素作成的集合F是一個(gè)域。顯然，F(xiàn) F。任取F, F,則故- F.12證明任取F, F, 0,則故 F 這就證明了確有包含q個(gè)元素的域存在。 證畢。除同構(gòu)的域外，唯一確定的pn元有限域通常記為GF（pn）。13定理7.6.4pm-1(x) 在Rpx中的任意質(zhì)因式(x)必是m次多項(xiàng)式。因此，對(duì)任意m1，Rp上有m次質(zhì)式。證明：命F=GF（pm）。設(shè)次()=n。根據(jù)引理的證明，F(xiàn)的元數(shù)應(yīng)是pn。因之，n=m。 14引理1tm-1tn-

8、1，當(dāng)且僅當(dāng)mn。t是一個(gè)文字或是一個(gè)大于1的整數(shù)均可。證明：設(shè) n = sm+r， 0rm于是，tn-1 = tsm+ r- tr + tr-1 =tr (tm-1)(tsm-m + tsm-2m + + 1)+tr-1若mn，則r=0，tr-1=0。故tm-1tn-1。若m不整除n，則0rm，因之tr-1非0， 當(dāng)t是文字時(shí),次(tr-1) 次(tm-1)， 當(dāng)t是大于1的整數(shù)時(shí)，tr-1 tm-1，所以tm-1不整除tn-1。 15定理7.6.5對(duì)任意mn，GF(pn)恰有一個(gè)子域GF(pm)，而這也就是GF(pn)的所有子域。證明： (1) 存在性。設(shè)mn,由引理1,pm-1pn-1。再由引理1，GF(pn)中包含 的所有根，故包含 的所有根，因而包含 的所有根。如定理7.6.3證明中所證，這pm個(gè)根作成一個(gè)域GF(pm).16證明(2) 唯一性。任何子域GF(pm)也只能由 的所有根組成