1、對汽車牽引力問題的探討. 前些日子，筆者發(fā)現(xiàn)有的壇友對車輛受的牽引力、摩擦力、阻力等一些概念不是十分 清楚，這本不是中學物理要研究的問題（教科書中回避這類問題），但某些習題中又打擦邊 球地出現(xiàn)了，因此有的老師提出來討論。看來有必要澄清一下。這里從網(wǎng)上一位教師博客里轉(zhuǎn)來一篇論文對汽車牽引力問題的探討供壇友學習研 討。（建議中學生及非物理老師不必閱讀，免得耽誤時間）對汽車牽引力問題的探討在物理教學中，常遇到有關牽引力問題.對汽車牽引力問題，中學物理 教科書中未做任何闡述，幾種大型詞典或未將汽車牽引力列為詞條，或?qū)?引力詞條的解釋也不盡一致.于是，各種刊物時有文章談論汽車牽引力問題， 有對汽車牽引

2、力概念的研究，有關于牽引力做功與否的爭論.有的文章看后很受 啟發(fā)，但也有的文章不能自圓其說.本文探討了汽車牽引力的本質(zhì)，并討論和解 釋了有關牽引力的幾種現(xiàn)象，最后對詞典中牽引力詞條釋義提出了修改建議.研究模型的設定為了便于研究，我們先討論后輪為驅(qū)動輪的汽車在水平路面上向前運動并 不計空氣阻力的情況.由于汽車左右兩邊的力學對稱性，前后分別用一個輪子表示.設汽車質(zhì)量 為m，質(zhì)心0到地面的距為h，總重按距離反比律分解在前、后輪軸心上方距離 地面為h處（即分重心01、02）的力大小分別為G1（= m 1g）和G2（=m2g），前、 后兩輪受到的支持力分別是N1和N 2，顯然，N1 = G1、N2=G2

3、, N1+N2 = G 1 + G2 = G.設前后兩輪半徑均為R，由于車輪和地面都不是剛體，受壓時都發(fā)生形變， 今忽略地面的形變，并設前、后兩輪胎的形變角（形變部分的孤所對的圓心角） 均為28不考慮前后輪因充氣量差異和汽車運動中加速度變化導致N1、N2變化 而引起的形變角變化.汽車靜止時，汽車靜止時，N1與G1，02與弓2分別作用在同一豎直直 線上，這時前、后輪均不受摩擦力.汽車向前運動時，N1、N2作用點分別前移到 P、Q點（如圖），這時前輪受到一個向后的靜摩擦力f1作用，后輪受到一個向 前的摩擦力f2的作用.將汽車分成前、后兩部分研究，前一部分受到后部分對它 （相當于作用01點）向前的推

4、力F1，后部分則受到前部分對它（相當于作用 02）的反推力F2的作用.各個力的方向均與圖示方向為正方向.2汽車運動的動力學方程按照以上設定，如果汽車的加速為S對汽車前部分，考慮到物體的轉(zhuǎn)動， 以P為支點，m 1的轉(zhuǎn)動慣量為I1= m1h2,分質(zhì)心O1的瞬時角加速度為&=a/h， 由 M1=I1fi1，得： TOC o 1-5 h z F1hm 1gRsinO=m 1ah(1)考慮這部分的平動，由F1=m 1a得F1-f1=m1a(2)比較(1)、(2)式，可得：對汽車后部分，設發(fā)動對后輪產(chǎn)生的驅(qū)動力矩為M，以Q為支點，仿上面， 由 M2=I262 和 F2=m2a 得：M F2hm2gRsin

5、3=m 2ah(4)f2F2=m2a(5)比較(4)、(5),得：(6)如果將汽車整體研究，分別由(1)+(4)和 (2)+(5)得:MmgRsinO=mah(7)f2 f1=ma(8)以上(7)、(8)兩式即為汽車運動的動力學方程.從(7)式看出，發(fā)動機產(chǎn)生的驅(qū)動力矩M對汽車的運動起動力作用，而由 于汽車前、后輪的形變，車身對前后兩輪轉(zhuǎn)軸的向下的壓力產(chǎn)生的力矩mgRsin仇 對汽車的運動起阻礙作用，這兩個力矩共同作用，使車輪加速轉(zhuǎn)動.而(8)式則 反映了外力f1、f2對汽車的平動的貢獻，f2阻止了驅(qū)動輪的滑動，使汽車在驅(qū) 動力矩作用下向前運動的，f1使導向輪產(chǎn)生滾動，f1雖然比滑動摩擦力小得

6、多， 但對汽車的運動還是起阻礙作用，f1與f2共同作用使汽車產(chǎn)生平動加速度.3汽車牽引力概念我們能否從方程(8)斷言汽車運動的牽引力就是驅(qū)動輪受到的摩擦力f2 呢？實際上，對無滑滾動的車輪來說，f2是靜摩擦力，我們知道，靜摩擦力不 是主動產(chǎn)生的，只有在車輪對地面有相對運動的趨勢時才會發(fā)生.從(6)式 可以看出，在m2、R、6、h 一定時，f2的大小與方向由M確定：M m2gRsin0 時，f2 向前；當 MVm2gRsin0 時，f2 向后；當 M=m2gRsinO 時，f2=0, 這時，汽車發(fā)動機使車輪向前滾動，汽車也受到阻力作用，但驅(qū)動輪不受摩擦 力.可見使汽車運動的真正動力是發(fā)動機的動力

7、矩，而不是靜摩擦力.對(7)式稍加變形，得：上式中，是由發(fā)動機傳來的力矩決定的，相當于作用于質(zhì)心O一個向前的力；是由于前、后輪形變產(chǎn)生的，相當于作用在O點一個向后的阻力.令Fk=、f阻二，則有:Fk -f 阻=2(9)Fk就是汽車理論中所說的牽引力，也就是說汽車牽引力像慣性力一樣， 不屬于物體間相互作用力，牽引力應定義為：由汽車發(fā)動機通過傳動系統(tǒng)作用于驅(qū)動輪的力矩產(chǎn)生的使汽車運動的力，其量值為Fk =，其中M為作用于驅(qū)動輪的力矩，h為汽車質(zhì)心到地面的距離.4牽引力做功問題既然牽引力是由于發(fā)動機作用驅(qū)動輪的力矩產(chǎn)生的使汽車運動的力，而不 是驅(qū)動輪受到的靜摩擦力.那么牽引力做功就無疑了，牽引力做功

8、的實質(zhì)是力矩 做功.下面研究牽引力做功與能量的轉(zhuǎn)化.如果汽車在水平路面勻速運動，a=0, Fk= f阻，則W牽=巧阻，牽引力 做的功跟阻力做的功相等，這時汽車動能增量 Ek=0 .功是能量變化的量度，那 么，這一過程中能量是怎樣轉(zhuǎn)化的呢？牽引力做功，將發(fā)動的部分動能傳給車輪， 使車輪動能增大，牽引力做了多少功就有多少機械能傳給車輪；與此同時，車輪 要克服由于車胎的形變產(chǎn)生的阻力做功，使車輪動能減小，在W牽=巧阻的情 況下，車輪勻速轉(zhuǎn)動，汽車動能不變，機械能不變.那么阻力做功又將機械能傳 到何處呢？由于fl、f2均為靜摩擦力，汽車運動中它們都不做功，機械能不會因 克服摩擦力做功而轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.實際

9、上，車身壓迫車輪不斷發(fā)生形變的過程中對 輪胎做了功，將部分機械能轉(zhuǎn)化成車胎的內(nèi)能，W阻量度了轉(zhuǎn)化成內(nèi)能的值.汽 車行駛過程中車胎發(fā)熱的現(xiàn)象有力地證實了這一觀點的正確性.如果汽車在水平路面上加速運動,W牽W阻，汽車的動能增量為EkW 牽一W阻，這時，牽引力做功將傳動系統(tǒng)傳來的有用機械能的一部分用來克服輪 胎回復阻力做功轉(zhuǎn)化為輪胎的內(nèi)能，一部分用來增加汽車的動能.5牽引力大小的決定因素前面談到汽車牽引力由驅(qū)動力矩M和質(zhì)心到地面的距離h決定，M又與 什么有關，決定牽引力大小的真正因素又是什么呢？既然牽引力做功實質(zhì)是驅(qū)動 力矩做功，牽引力必然與汽車功率有關.由 得，于是可導出：(10)式中，P為驅(qū)動輪

10、得到有用功率，為驅(qū)動輪轉(zhuǎn)動的角速度，P由發(fā)動機的 輸出功率p總和傳動系統(tǒng)的效率n決定，p=nP總、;發(fā)動機曲軸轉(zhuǎn)速0和傳 動比i決定： .可以證明，對氣缸數(shù)為k，做功沖程平均壓強為p，缸徑為d， 活塞行程為1的四沖程汽油機輸出率為：從而可推出牽引力大小決定公式為:從（12）式看出：在傳動比一定（即汽車檔位一定）時，”加油門”增加 單位時間的耗油量，從而增大燃氣的平均壓強，使發(fā)動機功率變大，則汽車產(chǎn)生 的牽引力變大；在發(fā)動機功率一定時，換低速檔使傳動比變大，也可使牽引力 變大.實際操作中，檔位轉(zhuǎn)換和油門控制兩種操作是協(xié)調(diào)進行的，汽車在一定的 檔位上行駛有一定的牽引力、角速度和輸出功率值，三者關系

11、滿足（10）式，即.此外，（10）式中coh是汽車質(zhì)心平動速度v，也就是說.這與中學物理中討論的P=Fv相一致.6牽引力與摩擦力、阻力關系的補充說明上文（3）式 中，fl是前輪受到的靜摩擦力，車輪一旦滾動，其量 值不變；是由于前輪的形變壓力滯后于支持力產(chǎn)生起阻礙作用的力矩偶矩mIgRsinO決定的，相當于作用于O1的水平阻力，記為f阻1，則（3 ）式可改寫 成： TOC o 1-5 h z f=f 阻 1（13）（6）式中，利用牽引力定義式和令，則（6）式改寫成：f2=Fk -f 阻 2（14）從上述f阻1、f阻2定義式可以看出（9）式中的f阻=f阻1+ f阻2.這 樣就知道：Ff，f阻#1，

12、從（8）、（9）兩式比較可以得到：f2-f1= Fk- f 阻（15）這正是有人將驅(qū)動輪受到的靜摩擦力f2誤認為是牽引力Fk的原因.必須看到，f2與Fk確有割不斷的關系.（14）式描述了 f2與Fk變化的關 系，發(fā)動機產(chǎn)生的牽引力Fk越大，靜摩擦力f2就越大，這一規(guī)律適用于車輪做 無滑滾動時的情況.因為f2的增大是有限的，如果增大到f2=Mm2g，M再增大， 車輪就會發(fā)生打滑現(xiàn)象，也就是說汽車有效牽引力的最大值為：即：利用（16）式可以成功地解釋汽車輪胎為什么要選用摩擦系數(shù)較大的橡膠并 制成凸凹不平的花紋.還可解釋手扶拖拉機（機頭牽引力產(chǎn)生機理跟汽車相同） 打滑時可以用在驅(qū)動輪上加壓的措施增大

13、有用牽引力.此外，從f阻= 知，6越小，f阻越小，只要用不大的力，就能使車輛 做勻速運動，這也是鐵路運輸中，列車輪用金屬箍而不用充氣輪胎的原因之一. 對于剛體，6=0，f阻=0，不大的力就能使車輛加速運動.然而汽車輪胎不是剛 體，形變是不可避免的，故汽車勻速運動不是慣性運動，必須有牽引力與阻力相 平衡.且在m、R、h 一定時，6越大，f阻越大，所需的牽引力Fk也越大.由此可 解釋自行車輪胎的氣未打足時，為什么蹬起來比較費力的問題.7對牽引力詞條的修訂在對汽車牽引力問題的研究中，筆者查閱了幾種詞典，上面對牽引力 的釋義均不相同，有的說牽引力是機車、拖拉機、船只等發(fā)動機所產(chǎn)生的拖動 能力，有的說：

14、鐵路機車在其挽鉤（牽引桿）處所產(chǎn)生的拉力、運動物體 在表面上運動時所遇到的牽引摩擦力，有的說是拖拉機掛鉤能夠用來牽引做功 的力，這些釋義均未對汽車牽引力做出解釋.實際上各種機動車輛（包括列車、 拖拉機頭、汽車、摩托車等）和人力車（包括自行車、三輪車等）產(chǎn)生牽引力的 機理是相同的，應對牽引力給出統(tǒng)一的解釋.另外，機動車輛機頭對掛車（車廂） 產(chǎn)生的拉力也叫牽引力.順便指出，本文以后輪為驅(qū)動輪、在水平路面上向前運動的汽車為研究 對象，且在不計空氣阻力的情況下研究了牽引力的問題.這一結論，對于汽車掛 倒檔或上下坡，以及考慮空氣阻力時仍然適用，甚至汽車帶掛車時也能涵蓋， 不過這時牽引力有兩個意義，一是發(fā)

15、動機作用于驅(qū)動輪的力矩產(chǎn)生的、相當于作 用于質(zhì)心的牽引力（總牽引力），二是機車對掛鉤產(chǎn)生的拉力（輸出牽引力）.鑒于以上研究與討論，筆者建議有關詞典對牽引力詞條釋義作如下修 訂：牽引力：機動車輛由發(fā)動機通過傳動系統(tǒng)作用于驅(qū)動輪的力矩產(chǎn)生的使車輛運動的力.其大小為Fk=，其中M為作用于驅(qū)動輪的動力矩，由發(fā)動機功率、傳動系統(tǒng)的效率及傳動比決定，h為質(zhì)心到地面的距離.機動車輛的 機頭對掛車（車廂）產(chǎn)生的拉力也稱為牽引力.參考文獻：周榮秋.汽車牽引力問題.物理教學（叢刊），1980,（第2輯）：17.梁昆淼.汽車牽引力的功.物理教學（雙月刊）,1980,（2）:18.王斯仁.自行車輪胎的氣未打足時，為什么蹬起來比較費力.物理教學 1983,（5）:封三.陳厚基.關于自行車動力問題的探討.物理教學,1988,（7）:10.李洪政.功率公式P=Fv與汽車的運行.中學物理教學參考，1987,（6）:21.王溢然、戴連福.拖拉機（或汽車）在坡道上的穩(wěn)定問題.物理教 師，1990,（7-8）:68.喀興林.關于汽車上下坡問題.物理教學，1991,（2）:15.葉其武.自行車是怎樣加速運動和剎車的.物理教學，1