1、分?jǐn)?shù)階微積分的產(chǎn)生及演變第1頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一 分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)古老而新鮮的概念。早在整數(shù)階微積分創(chuàng)立的初期，就有一些數(shù)學(xué)家，如Lhospital、Leibniz等開(kāi)始考慮它的含義。然而，由于缺乏應(yīng)用背景支撐等多方面的原因，它長(zhǎng)期以來(lái)并沒(méi)有得到較多的關(guān)注和研究。隨著自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的發(fā)展、復(fù)雜工程應(yīng)用需求的增加，尤其是20世紀(jì)七八十年代以來(lái)對(duì)分形和各種復(fù)雜系統(tǒng)的深入研究，分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用開(kāi)始受到廣泛關(guān)注。一 引言第2頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一 進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分建模方法和理論在高能物理、反常擴(kuò)散、復(fù)

2、雜粘彈性材料力學(xué)本構(gòu)關(guān)系、系統(tǒng)控制、流變性、地球物理、生物醫(yī)學(xué)工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域有了若干非常成功的應(yīng)用，凸顯了其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和不可代替性，其理論和應(yīng)用研究在國(guó)際上已成為一個(gè)熱點(diǎn)。第3頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一 另外，分?jǐn)?shù)階微積分的非局域性質(zhì)，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)控制方程數(shù)值模擬的計(jì)算量和存儲(chǔ)量隨問(wèn)題規(guī)模的增大而增加得比相應(yīng)整數(shù)階方程快得多，一些計(jì)算整數(shù)階方程十分有效的數(shù)值方法對(duì)分?jǐn)?shù)階方程也完全失效。而且，目前大多數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分方程模型還是唯象模型，其內(nèi)在的物理和力學(xué)機(jī)理還不是很清楚，有待進(jìn)一步的深入研究。第4頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一

3、 現(xiàn)在，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究和工程應(yīng)用研究中最常用的有以下四種分?jǐn)?shù)階微積分的定義： Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分， Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分，Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Riesz分?jǐn)?shù)階微積分。 Grunwald-Letnikov定義是差分格式定義，與Riemann-Liouville等定義比較，該定義較少地被用于數(shù)學(xué)理論分析。然而，它在微積分方程理論和數(shù)值計(jì)算方面使用較多。 Riemann-Liouville定義采用微分積分形式，避免了極限求解，在數(shù)學(xué)理論研究中起著重要作用。第5頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一 為了方便實(shí)際問(wèn)題的建模，

4、在黏彈性材料的研究中引入了另一種分手階微積分的定義，即Caputo微分。Caputo定義在建模應(yīng)用及積分變換中滿足的初始條件以整數(shù)階微積分的形式給出，現(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題建模過(guò)程中廣泛應(yīng)用Caputo定義。第6頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一二 Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分第7頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第8頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第9頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第10頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第11頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20

5、日，10點(diǎn)24分，星期一第12頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第13頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第14頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一三 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分第15頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第16頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第17頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第18頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第19頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第20頁(yè)，共3

6、5頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第21頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第22頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一四 Caputo分?jǐn)?shù)階微積分第23頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第24頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第25頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第26頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第27頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第28頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一五 空間分

7、數(shù)階拉普拉斯算子的Riesz定義第29頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一第30頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一六 總結(jié)分?jǐn)?shù)階微積分的理論主要的研究?jī)?nèi)容包括：(1)分?jǐn)?shù)階微積分定義的修正與完善?，F(xiàn)在分?jǐn)?shù)階微積分的定義有十幾種，而這些定義之間又存在密切的聯(lián)系。但是，由于定義的使用范圍、涉及的初值條件等不相同，所以在應(yīng)用方面存在一些不確定性，因此分?jǐn)?shù)階微積分定義的分類與統(tǒng)一是一項(xiàng)非常有意義的開(kāi)創(chuàng)性工作。第31頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一(2)分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值求解、分?jǐn)?shù)階微積分定義的擴(kuò)展與延伸(如分形導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)與分析

8、；正定分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)與應(yīng)用)。(3)分?jǐn)?shù)階微積分不同于整數(shù)階微積分的性質(zhì)研究，分?jǐn)?shù)階微積分的積分變換，如傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換等。以上都是分?jǐn)?shù)階微積分理論研究的重要方向。 第32頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一 現(xiàn)在，雖然分?jǐn)?shù)階微積分的定義已被提出，但是分?jǐn)?shù)階微積分的理論體系還有待進(jìn)一步的擴(kuò)充與完善，如時(shí)間分?jǐn)?shù)階微積分定義的統(tǒng)一問(wèn)題?？臻g分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義問(wèn)題更為嚴(yán)重，在現(xiàn)階段，空間分?jǐn)?shù)階微積分的定義在數(shù)值計(jì)算中較為使用的是Grunwald-Letnikov定義與Riesz-Feller定義，其次是Riemann-Liouville定義。多維空間分?jǐn)?shù)階定義方面，比較成功的是分?jǐn)?shù)階拉普拉斯定義，但是該定義也比較繁瑣，現(xiàn)階段還未見(jiàn)應(yīng)用到微分方程的求解中。第33頁(yè)，共35頁(yè)，2022年，5月20日，10點(diǎn)24分，星期一 只有在分?jǐn)?shù)階微積分的定義比較完善的情況下，分?jǐn)?shù)階微積分才能更廣泛地應(yīng)用于自然學(xué)科的各個(gè)