1、向量法求距離、探索性及折疊問題題型利用向量法求距離解建立如圖所示的空間直角坐標系，角度1點到直線的距離點P到AB的距離為因為E為PC的中點，F(xiàn)為PD的中點，證明如圖，取PD的中點F，連接AF，EF，角度2點到平面的距離故四邊形ABEF為平行四邊形，所以BEAF.又BE平面PAD，AF平面PAD，所以BE平面PAD.(2)若AB平面PBC，PBC是邊長為2的正三角形，求點E到平面PAD的距離.解法一(向量法)如圖，取BC的中點O，AD的中點M，連接OP，OM，則OMABCD.又AB平面PBC，所以O(shè)M平面PBC.如圖，以O(shè)為坐標原點，分別以射線OC，OM，OP的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立

2、空間直角坐標系，設(shè)平面PAD的法向量為n(x，y，z)，如圖，取BC的中點G，連接PG，DG，BD，易知PGBC.法二(等體積法)由(1)得BE平面PAD，故點B到平面PAD的距離等于點E到平面PAD的距離.又PBC是邊長為2的正三角形，因為AB平面PBC，AB平面ABCD，所以平面ABCD平面PBC.因為平面ABCD平面PBCBC，所以PG平面ABCD，所以PGGD.因為AB平面PBC，所以ABBC，ABPB，所以四邊形ABCD是直角梯形，且AB1，BC2，CD2，因為ABPB，AB1，PB2，設(shè)點B到平面PAD的距離為h，因為三棱錐PABD的體積解建立如圖所示的空間直角坐標系，訓練1 如圖

3、，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點.(1)求點N到直線AB的距離；N是CC1的中點，N(0，4，2).設(shè)點N到直線AB的距離為d1，設(shè)平面ABN的一個法向量為n(x，y，z)，(2)求點C1到平面ABN的距離.解建立如圖所示的空間直角坐標系，N是CC1的中點，N(0，4，2).設(shè)點C1到平面ABN的距離為d2，題型立體幾何中的探索性問題證明因為E，F(xiàn)分別是AC和CC1的中點，且ABBC2，側(cè)面AA1B1B為正方形，例3 (12分)(2021全國甲卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，ABBC2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B

4、1上的點，BFA1B1.(1)證明：BFDE；規(guī)范答題如圖，連接AF，由BFA1B1，ABA1B1，得BFAB，由AB2BC2AC2，得BABC，2分故以B為坐標原點，以BA，BC，BB1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Bxyz，設(shè)B1Dm(0m2)，則D(m，0，2)，4分(2)當B1D為何值時，平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小？規(guī)范答題解易知平面BB1C1C的一個法向量為n1(1，0，0). 7分設(shè)平面DFE的法向量為n2(x，y，z)，令x3，得ym1，z2m，于是，平面DFE的一個法向量為n2(3，m1，2m)，9分第一步根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，

5、利用向量法證明線線垂直第二步求兩平面的法向量第三步計算向量的夾角(或函數(shù)值)第四步借助于函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式確定最值第五步反思解題思路，檢查易錯點 答題模板證明連接BD，設(shè)AC交BD于點O，連接SO.(2)若SD平面PAC，求平面PAC與平面DAC夾角的大?。凰远娼堑拇笮?0.由題知，二面角PACD為銳角，(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，試說明理由.解在棱SC上存在一點E使BE平面PAC.由于BE平面PAC，故BE平面PAC.因此在棱SC上存在點E，使BE平面PAC，此時SEEC21.題型折疊問題例4 圖是由矩形

6、ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖.(1)證明：圖中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC平面BCGE；證明由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，所以AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面.由已知得ABBE，ABBC，且BEBCB，BE，BC平面BCGE，所以AB平面BCGE.又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)求圖中的平面BCG與平面ACG夾角的大小.解作EHBC，垂足為H.因為EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，平面BCGE平面ABCBC，

7、所以EH平面ABC.又平面BCGE的法向量可取m(0，1，0)，設(shè)平面ACGD的法向量為n(x，y，z)，因此平面BCG與平面ACG夾角的大小為30.1.折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.(1)證明：平面BC1E平面ABED；證明在圖中，連接AE，AC，AC交BE于F.CE2，ABCE.又ABCD，四邊形AECB是平行四邊形.由題意得C