1、高數(shù),線代期末復習要點 致： 奔獎學金的,奪高分的,求過的；瞄上一眼,確定醍醐灌頂,恍 然大悟！ 說的是方法 講的是效率 要的是結(jié)果 第一章： 1,極限（夾逼準就） 2,連續(xù)（學會用定義證明一個函數(shù)連續(xù),判定間斷點類型） 其次章： 1,導數(shù)（學會用定義證明一個函數(shù)是否可導） 可 注：連續(xù)不愿定可導, 導確定連續(xù) 2,求導法就（背） 3,求導公式 也可以是微分公式 第三章： 1,微分中值定理（確定要熟識并靈敏運用 2,洛必達法就 -第一節(jié)） 3,泰勒公式 拉格朗日中值定理 4,曲線凹凸性,極值（高中學過,不需要過多復習） 5,曲率公式 曲率半徑 第四章,第五章：積分 不定積分： 1,兩類換元法（

2、 變 dx/變前面 ） 2,分部積分法 （留意加 C ） （最好都自己推導一遍,好記） 定積分： 1,定義 2,反常積分 第六章： 定積分的應用 主要有幾類：極坐標,求做功,求面積,求體積,求弧長 第七章：向量問題不會有很難 1,方向余弦 3,空間平面 2,向量積 3,空間直線（兩直線的夾角,線面夾角,求直線方程） 4,空間旋轉(zhuǎn)面（柱面） 高數(shù)解題技巧； （高等數(shù)學,考研數(shù)學通用） 高數(shù)解題的四種思維定勢 第一句話：在題設(shè)條件中給出一個函數(shù) fx 二階和二階以上可導, “不管三七二 十一 ”,把 fx 在指定點展成泰勒公式再說； 其次句話：在題設(shè)條件或欲證結(jié)論中有定積分表達式時,就 “不管三七

3、二十一 ” 先用積分中值定理對該積分式處理一下再說； 第三句話：在題設(shè)條件中函數(shù) fx 在a,b上連續(xù),在 a,b內(nèi)可導,且 fa=0 或 fb=0 或 fafb=0,就 “不管三七二十一 ”先用拉格朗日中值定理處理一下再第 1 頁,共 10 頁說； 第四句話： 對定限或變限積分, 如被積函數(shù)或其主要部分為復合函數(shù), 就 “不管 三七二十一 ”先做變量替換使之成為簡潔形式 fu 再說； 線性代數(shù)解題的八種思維定勢 第一句話：題設(shè)條件與代數(shù)余子式 Aij 或 A* 有關(guān),就馬上聯(lián)想到用行列式按行 列開放定理以及 AA*=A*A=|A|E ； 其次句話：如涉及到 A,B 是否可交換,即 AB BA

4、 ,就馬上聯(lián)想到用逆矩陣 的定義去分析； 第三句話：如題設(shè) aA+bE 再說； n 階方陣 A 中意 fA=0 ,要證 aA+bE 可逆,就先分解因子 第四句話：如要證明一組向量 1, 2, , 性S無關(guān),先考慮用定義再說； 第五句話：如已知 AB 0,就將 B 的每列作為 Ax=0 的解來處理 第六句話：如由題設(shè)條件要求確定參數(shù)的取值,聯(lián)想到是否有某行列式為零再 說； 第七句話：如已知 A 的特點向量 0,就先用定義 A0 0處0理一下再說； 第八句話：如要證明抽象 n 階實對稱矩陣 A 為正定矩陣,就用定義處理一下再 說； 概率解題的九種思維定勢 第一句話：假如要求的是如干大事中 “至少

5、”有一個發(fā)生的概率,就馬上聯(lián)想到 概率加法公式；當大事組相互獨立時,用對立大事的概率公式 其次句話：如給出的試驗可分解成（ 到 Bernoulli 試驗,及其概率運算公式 01）的 n 重獨立重復試驗,就馬上聯(lián)想 第三句話：如某大事是相伴著一個完備大事組的發(fā)生而發(fā)生,就馬上聯(lián)想到該 大事的發(fā)生概率是用全概率公式運算；關(guān)鍵：查找完備大事組 第四句話： 如題設(shè)中給出隨機變量 有關(guān)問題； X N 就馬上聯(lián)想到標準化 N0,1來處理 第五句話：求二維隨機變量（ X,Y）的邊緣分布密度 的問題,應當馬上聯(lián)想 到先畫出訪聯(lián)合分布密度的區(qū)域,然后定出 X 的變化區(qū)間,再在該區(qū)間內(nèi)畫一 條/y 軸的直線, 先

6、與區(qū)域邊界相交的為 y 的下限,后者為上限, 而 的求法類似； 第六句話：欲求二維隨機變量（ X, Y）中意條件 Y gX或Y gX的概率, 應當馬上聯(lián)想到二重積分的運算,其積分域 Y gX或 YgX的區(qū)域的公共部分； D 是由聯(lián)合密度 的平面區(qū)域及中意 第 2 頁,共 10 頁第七句話：涉及 n 次試驗某大事發(fā)生的次數(shù) 到對 X 作（ 01）分解；即令 X 的數(shù)字特點的問題,馬上要聯(lián)想 第八句話：凡求解各概率分布已知的如干個獨立隨機變量組成的系統(tǒng)中意某種 關(guān)系的概率 （或已知概率求隨機變量個數(shù)） 處理； 的問題, 馬上聯(lián)想到用中心極限定理 第九句話：如 為總體 X 的一組簡潔隨機樣本,就凡是

7、涉及到統(tǒng)計量 題,一般聯(lián)想到用卡方分布, t 分布和 F 分布的定義進行爭辯 的分布問 線性代數(shù)全部必懂學問點全部如下： 第一部分：基本要求（運算方面） 四階行列式的運算； N 階特別行列式的運算（如有行和,列和相等）； 矩陣的運算（包括加,減,數(shù)乘,乘法,轉(zhuǎn)置,逆等的混合運算）； 求矩陣的秩,逆（兩種方法）；解矩陣方程； 含參數(shù)的線性方程組解的情形的爭辯； 齊次,非齊次線性方程組的求解（包括唯獨,無窮多解）； 爭辯一個向量能否用和向量組線性表示； 爭辯或證明向量組的相關(guān)性； 求向量組的極大無關(guān)組,并將余外向量用極大無關(guān)組線性表示； 將無關(guān)組正交化,單位化； 求方陣的特點值和特點向量； 爭辯方

8、陣能否對角化,如能,要能寫出相像變換的矩陣及對角陣； 通過正交相像變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化； 寫出二次型的矩陣,并將二次型標準化,寫出變換矩陣； 判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性； 第 3 頁,共 10 頁其次部分：基本學問 一,行列式 1行列式的定義 用 n2 個元素 aij 組成的記號稱為 n 階行列式； （1）它表示全部可能的取自不同行不同列的 n 個元素乘積的代數(shù)和； （2）開放式共有 n.項,其中符號正負各半； 2行列式的運算 一階 | |=行列式,二,三階行列式有對角線法 就； N 階（ n=3）行列式的運算：降階法 定理： n 階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對

9、應的代數(shù)余子 式乘積的和； 方法：選取比較簡潔的一行（列）,保保留一個非零元素,其余元素化為 0, 利用定理開放降階； 特別情形 上,下三角形行列式,對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積； （ 2）行列式值為 0 的幾種情形： 行列式某行（列）元素全為 0； 行列式某行（列）的對應元素相同； 行列式某行（列）的元素對應成比例； 奇數(shù)階的反對稱行列式； 二矩陣 1矩陣的基本概念（表示符號,一些特別矩陣 矩陣等）； 2矩陣的運算 （ 1）加減,數(shù)乘,乘法運算的條件,結(jié)果； 如單位矩陣,對角,對稱 第 4 頁,共 10 頁（ 2）關(guān)于乘法的幾個結(jié)論： 矩陣乘法一般不中意交換律（如 AB BA ,

10、稱 A,B 是可交換矩陣）； 矩陣乘法一般不中意消去律,零因式不存在； 如 A,B 為同階方陣,就 |AB|=|A|*|B| ； |kA|=kn|A| 3矩陣的秩 （ 1）定義 非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩； （ 2）秩的求法 一般不用定義求,而用下面結(jié)論： 矩陣的初等變換不轉(zhuǎn)變矩陣的秩； 階梯形矩陣的秩等于非零行的個數(shù) （每行的第 一個非零元所在列,從今元開頭往下全為 0 的矩陣稱為行階梯陣）； 求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩； 4逆矩陣 （1）定義： A ,B 為 n 階方陣,如 ABBAI,稱 A 可逆, B 是 A 的逆矩陣 （中意半邊也成立）； （2）性質(zhì)： AB-1=B-

11、1*A-1 的（留意次序） （3）可逆的條件： |A| ；0 rA=n; A-I; （ 4）逆的求解 ,A-1=A-1 ；A B 的逆矩陣,你懂 相伴矩陣法 A-1=1/|A|A* ；A* A 的相伴矩陣 初等變換法（ A:I） -施行初等變換 （ I:A-1 ） 5用逆矩陣求解矩陣方程： AX=B ,就 X=（ A-1 ） B； XB=A ,就 X=BA-1 ； AXB=C ,就 X=A-1CB-1 第 5 頁,共 10 頁三,線性方程組 1線性方程組解的判定 定理： 1 rA,b r無A解；2 rA,b=rA=n 有唯獨解； 3rA,b=rAn 有無窮多組解； 特別地：對齊次線性方程組 A

12、X=0 1 rA=n 只有零解； 2 rAn 有非零解； 再特別,如為方陣, 1|A| 0只有零 解 2|A|=0 有非零解 2齊次線性方程組 （ 1）解的情形： rA=n ,（或系數(shù)行列式 D0）只有零解； rAn ,（或系數(shù)行列式 D0）有無窮多組非零解； （ 2）解的結(jié)構(gòu)： X=c11+c22+ +C-nr -nr；（ 3）求解的方法和步驟： 將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣； 寫出對應同解方程組； 移項,利用自由未知數(shù)表示全部未知數(shù)； 表示出基礎(chǔ)解系； 寫出通解； 第 6 頁,共 10 頁3非齊次線性方程組 （ 1）解的情形： 利用判定定理； （ 2）解的結(jié)構(gòu)： X=u+c11+

13、c22+ +C-nr n-r；（ 3）無窮多組解的求解方法和步驟： 與齊次線性方程組相同； （ 4）唯獨解的解法： 有克萊姆法就,逆矩陣法,消元法（初等變換法）； 四,向量組 1N 維向量的定義 注：向量實際上就是特別的矩陣（行矩陣和列矩陣）； 2向量的運算： （1）加減,數(shù)乘運算（與矩陣運算相同）； （2）向量內(nèi)積 =a1b1+a2b2+ +an；bn（ 3）向量長度 | |= =a12+a22+ +根 an號 2 （ 4）向量單位化 1/| ；| （ 5）向量組的正交化（施密特方法） 設(shè) 1, 2, ,n線性無關(guān),就 1=,1 2=-（22 1/ ）1* 1, 3=-（33 1/ ）1*1

14、-1（3 2/ ）2*2,2 ； 3線性組合 第 7 頁,共 10 頁（ 1）定義 如 =k11+k2 2+ +kn,就n稱 是向量組 1, ,n的一 個線性組合,或稱 可以用向量組 1, ,2 2, n的一個線性表示； （ 2）判別方法 將向量組合成矩陣,記 A 1, 2, , n, B=1,2, , n, 如 r A=r B ,就 可以用向量組 1, ,n的一個線性表示； 如 r A r B,就 不行以用向量組 1, 2, ,n的一個線性表示； （ 3）求線性表示表達式的方法： 將矩陣 B 施行行初等變換化為最簡階梯陣,就最終一列元素就是表示的系數(shù)； 4向量組的線性相關(guān)性 （ 1）線性相關(guān)

15、與線性無關(guān)的定義 設(shè) k11+k22+ +knn,=0 如 k1,k2, ,kn 不全為 0,稱線性相關(guān)； 如 k1,k2, ,kn 全為 0,稱線性無關(guān)； （ 2）判別方法： r ,12 , ,nn,線性相關(guān)； r ,1 ,n=n,線性無關(guān)； 如有 n 個 n 維向量,可用行列式判別： n階行列式 aij0,線性相關(guān)（ 0無關(guān)） 行列式太不好打了 5極大無關(guān)組與向量組的秩 （ 1）定義 極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩 （ 2）求法 設(shè) A 1, 2, ,n, 將 A 化為階梯陣,就 A 的秩即為向量組 的秩,而每行的第一個非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無關(guān)組； 五,矩陣的特點值和特點向

16、量 1定義 對方陣 A,如存在非零向量 X 和數(shù) 使 AX X,就稱 是矩陣 A 特點值,向量 X 稱為矩陣 A 的對應于特點值 的特點向 量； 第 8 頁,共 10 頁2特點值和特點向量的求解： 求出特點方程 | -AI|=0 的根即為特點值,將特點值 代入對應齊次線性方程 -IAX 0中求出方程組的全部非零解即為特點向量； 組 3重要結(jié)論： （ 1） A 可逆的充要條件是 A 的特點值不等于 0； （ 2） A 與 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 A 有相同的特點值； （ 3）不同特點值對應的特點向量線性無關(guān)； 4.留意求解所在數(shù)域！復數(shù)域時 “ c,1 c2.（或 k1,k2.）是不同時 為零的復數(shù) ”！ 六,矩陣的相像 1定義 對同階方陣 A,B,如存在可逆矩陣 P,使 P-1AP=B,就稱 A 與 B 相 似； 2求 A 與對角矩陣相像的方法與步驟（求 P 和）： 求出全部特點值； 求出全部特點向量； 如所得線性無關(guān)特點向量個數(shù)與矩陣階數(shù)相同,就 A 可對角化（否就不能對角 化）,將這 n 個線性無關(guān)特點向量組成矩陣即為相像變換的矩陣 P,依次將對應 特點值構(gòu)成對角陣即為； 3求通過正交變換 Q 與實對稱矩陣 A 相像的對角陣： 方法與步驟和一般矩陣相同,只是第三歩要將所得特點向量正交化且單位化； 七,二次型 n1定義