1、精品文檔向量不等式：基本不等式學(xué)問點總結(jié) |a|b| |ab| |a|b|【留意】： a b、 同向或有 0|ab| |a| | b | | | |ab ；a b、 反向或有 0|ab| | | | b |a| | |ab ；a b、 不共線| | | |ab| |a| | b .這些和實數(shù)集中類似代數(shù)不等式 ：a b 同號或有 0|ab| |a| | | |ab|；0時取得等號 .）a b 異號或有 0|ab| |a| | |a| |ab|. 肯定值不等式：a1a2a3a 1a2a3ababab ab0 時, 取等雙向不等式：ababab（左邊當(dāng)ab 00時取得等號,右邊當(dāng)ab0放縮不等式：

2、ab0,am0,就b ambbm. . a b. x, 0. maam【說明】：b abm（ab0,m0,糖水的濃度問題）am【拓展】：ab0,m0,n0,就bbm1anaambna b cR ,b ad,就bbdd；caaccob nN ,n1n21nnn1；nN,n1,1n111n111. nn2n lnx1xx0,exx1xR . 函數(shù)f x axba、b0圖象及性質(zhì)x1函數(shù)fx axba、b0圖象如圖：b2yxab2函數(shù)fx axba、b0性質(zhì)：ax2abab值域：,2ab2ab,；b單調(diào)遞增區(qū)間：,b,b,；單調(diào)遞減區(qū)間：0,aaaa精品文檔精品文檔基本不等式學(xué)問點總結(jié)重要不等式2

3、21、和積不等式：a b R a b2 ab 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取到 “” 2 2 2 2【變形】： ab a b 2a b（當(dāng) a = b 時, a b 2 a bab）2 2 2 2【留意】：aba b , a b R ,ab a b , 2a b R 2 22、均值不等式：兩個正數(shù) a、b 的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系,即“ 平方平均 算術(shù)平均 幾何平均 調(diào)和平均 ”2 22 2 ababa ba b（當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“”）1 1 a b 2 2a b*. 如 x 0,就 x 1 2 當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時取“= ”）; x如 x 0,就 x 12 當(dāng)且僅

4、當(dāng) x 1 時取“= ”）x如 x 0,就 x 1 2 即 x 1 2 或 x 1-2 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“= ”）x x x*. 如 ab 0,就 a b 2 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“= ” ）b a如 ab 0,就 a b2 即 a b2 或 a b-2 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“= ” ）b a b a b a3、含立方的幾個重要不等式（a、b、c 為正數(shù)）：3 3 3a b c3 abc（a b c 0 等式即可成立 ,a b c 或 a b c 0 時取等）；3 3 33abca b cabc a b c 3a b c3 3 3* 不 等 式 的 變 形 在 證 明 過 程 中 或

5、 求 最 值 時 , 有 廣 泛 應(yīng) 用 , 如 ： 當(dāng) ab 0 時 ,a 2b 22 ab 同時除以 ab 得 b a2 或 b1 1 a；a b a b2* a ,b , 均為正數(shù),a2 a bb2 2 2 2八種變式： ab a b； ab a b 2； a b 2 a b2 2 2 22 a b 2 a 2b 2；如 b0,就 a2 a b； a0,b0,就 1 1 4；b a b a b如 a0,b0,就 1 1 2 4； 如 ab 0,就 12 12 1 1 1 2；a b ab a b 2 a b上述八個不等式中等號成立的條件都是“a b” ；精品文檔精品文檔最值定理（積定和最

6、小） , x y0, 由xy2xy,如積xyP 定值,就當(dāng) xy 時和 xy 有最小值 2p ；（和定積最大） , x y0, 由xy2xy,如和xyS 定值 ,就當(dāng) xy 是積 xy 有最大值12 s .4【推廣】：已知x,yR,就有xy 2xy22xy. （1）如積 xy是定值, 就當(dāng)|xy|最大時,|xy|最大； 當(dāng)|xy|最小時,|xy|最小 . （2）如和|xy|是定值,就當(dāng)|xy|最大時,| xy 最小；當(dāng)|xy|最小時,| xy 最大 . 已知a x b yR,如axby1,就有就的最小值為：11axby11abbyaxab2ab ab2xyxyxy已知,如就和的最小值為：. 應(yīng)

7、用基本不等式求最值的“ 八種變形技巧”：湊系數(shù)（乘、除變量系數(shù)）.例 1.當(dāng) 0 x 4 時,求函的數(shù) y x 8 2 x 最大值 . 湊項（加、減常數(shù)項） ：例 2.已知 x 5,求函數(shù) f x 4 x 2 1的最大值 . 4 4 x 52x 7 x 10調(diào)整分子：例 3.求函數(shù) f x x 1 的值域；x 12 2 變 用 公 式 ： 基 本 不 等 式 a b ab 有 幾 個 常 用 變 形 , a b a b,2 2 22 2a b a b 2 不易想到,應(yīng)重視；2 2例 4.求函數(shù) y 2 x 1 5 2 1 x 5 的最大值；2 2連用公式：例 5.已知 a b 0,求 y a

8、2 16的最小值；b a b 對數(shù)變換：例 6.已知 x 1 , y 1,且 xy e ,求 t 2 ln y的最大值；2三角變換：例 7.已知 0 yx,且 tan x 3tan y ,求 t x y 的最大值；2常數(shù)代換 （逆用條件）：例 8.已知 a 0, b 0,且 a 2 b 1,求 t 1 1的最小值 . a b精品文檔精品文檔“ 單調(diào)性” 補(bǔ)了“ 基本不等式” 的漏洞：平方和為定值2 2如 x y a （ a 為 定 值 ,a 0）, 可 設(shè) x a cos , y a sin , 其 中02 . f x y , x y a sin a cos 2 sin 在 0, 1 , 5

9、,2 上是4 4 4增函數(shù),在 1 , 5 上是減函數(shù)；4 4 g x y , xy 1 a sin 2 在 0, 1 , 3 , 5 , 7 ,2 上 是 增 函 數(shù) , 在2 4 4 4 4 1 , 3 , 5 , 7 上是減函數(shù)；4 4 4 4 m x y , 1 1 x y sin cos.令 t sin cos 2 sin ,x y xy a sin cos 4其中 t 2, 1 1,1 1, 2 .由 t 21 2sin cos,得 2sin cos t 21,從而 m x y , a t 22 t1 a t 21 在 2, 1 1,1 1, 2 上是減函數(shù) . t和為定值如 x

10、y b（ b 為定值,b 0）,就 y b x . g x y xy x 2bx 在 , b 上是增函數(shù),在 b , 上是減函數(shù)；2 2 m x y , 1 1 x y2 b.當(dāng) b 0 時,在 ,0,0, b 上是減函數(shù),在x y xy x bx 2 b b , , , 上是增函數(shù)； 當(dāng) b 0 時,在 , , , b 上是減函數(shù), 在 b ,0,0, 上2 2 2是增函數(shù) . n x y x 2y 22 x 22 bx b 在 2, b 上是減函數(shù),在 b , 上是增函數(shù)；2 2精品文檔精品文檔積為定值如 xy,c（ c 為定值,c0）,就yc.xf x y , xyxc. 當(dāng)c0時 ,

11、在 c, 0 , 0 ,上 是 減 函 數(shù) , 在 x,c,c上是增函數(shù)；當(dāng)c0時,在 ,0,0, 上是增函數(shù)；11xxyy1xc.當(dāng)c0時,在 c,0,0,c 上是減函數(shù),m x y , 在 xycx,c,c,上是增函數(shù)；當(dāng)c0時,在 ,0,0, 上是減函數(shù)；x2y2x2c2xc22c在 ,c,0,c 上是減函數(shù),在n x y , x2xc,0,c,上是增函數(shù) . 倒數(shù)和為定值0,如1 x12（ d 為定值,1 1 1 x d y）,就yc.成等差數(shù)列且均不為零,可設(shè)公ydx差為 z ,其中z1,就1 x1z ,11z,得x1d,y1d. ddzdzdydf x xy12d. 當(dāng)d0時 , 在,1,1,0上 是 減 函 數(shù) , 在2 2d zdd1, 1d1 ,d,1上 是 增 函 數(shù) ； 當(dāng)d0時 , 在,1,1,0上 是 增 函 數(shù) , 在ddd上減函數(shù)；0,d0,g x yxy1d22. 當(dāng)d0時 , 在,1,1 ,0 上 是 減 函 數(shù) , 在d1 ,0