1、高等代數(shù)第一章第1頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四4 最大公因式5 因式分解6 重因式10 多元多項(xiàng)式11 對稱多項(xiàng)式3 整除的概念2 一元多項(xiàng)式1 數(shù)域7 多項(xiàng)式函數(shù)9 有理系數(shù)多項(xiàng)式8 復(fù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 的因式分解第一章 多項(xiàng)式第2頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、數(shù)域二、數(shù)域性質(zhì)定理1.1 數(shù)域第3頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、數(shù)域設(shè)P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括數(shù)不為0）仍是P中的數(shù)，則稱P為一個(gè)數(shù)域0與1，如果P中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除常見數(shù)域： 復(fù)數(shù)域C；實(shí)數(shù)域R；有理數(shù)域Q；（

2、注意：自然數(shù)集N及整數(shù)集Z都不是數(shù)域）定義第4頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四說明：1）若數(shù)集P中任意兩個(gè)數(shù)作某一運(yùn)算的結(jié)果仍在P中，則說數(shù)集P對這個(gè)運(yùn)算是封閉的2）數(shù)域的等價(jià)定義：如果一個(gè)包含0，1在內(nèi)的數(shù)集P對于加法，減法，乘法與除法（除數(shù)不為0）是封閉的，則稱集P為一個(gè)數(shù)域第5頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四是一個(gè)數(shù)域例1證明：數(shù)集證： 又對 設(shè) 則有 設(shè)于是也不為0第6頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四或 矛盾） （否則，若則于是有為數(shù)域是數(shù)域.類似可證Gauss數(shù)域第7頁，共175頁，2022年，5月2

3、0日，17點(diǎn)34分，星期四例2設(shè)P是至少含兩個(gè)數(shù)的數(shù)集，證明：若P中任意兩個(gè)數(shù)的差與商（除數(shù)0）仍屬于P，則P為一一個(gè)數(shù)域有證：由題設(shè)任取所以，P是一個(gè)數(shù)域時(shí),時(shí),第8頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四二、數(shù)域的性質(zhì)定理任意數(shù)域P都包括有理數(shù)域Q即，有理數(shù)域?yàn)樽钚?shù)域證明： 設(shè)P為任意一個(gè)數(shù)域由定義可知，于是有第9頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四進(jìn)而 有而任意一個(gè)有理數(shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商，第10頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四設(shè)P為非空數(shù)集，若則稱P為一個(gè)數(shù)環(huán)附:例如，整數(shù)集Z 就作成一個(gè)數(shù)環(huán)數(shù)環(huán)第11頁，共17

4、5頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四練習(xí)判斷數(shù)集 是否為數(shù)域？為什么?第12頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 作業(yè)S是數(shù)域嗎？證明：集合是一個(gè)數(shù)環(huán)1若 為數(shù)域，證明： 也為數(shù)域第13頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、一元多項(xiàng)式的定義二、多項(xiàng)式環(huán)1.2 一元多項(xiàng)式第14頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四1定義個(gè)非負(fù)整數(shù)，形式表達(dá)式設(shè) 是一個(gè)符號（或稱文字）， 是一 稱為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式其中等表示常用一、一元多項(xiàng)式的定義第15頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四系數(shù)，n 稱

5、為多項(xiàng)式 的次數(shù)，記作 若，即，則稱之為零多項(xiàng)式零多項(xiàng)式不定義次數(shù)區(qū)別：零次多項(xiàng)式多項(xiàng)式中，稱為i次項(xiàng)，稱為i次項(xiàng)系數(shù) 注： 若 則稱 為 的首項(xiàng)， 為首項(xiàng)零多項(xiàng)式第16頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四2多項(xiàng)式的相等若多項(xiàng)式 與 的同次項(xiàng)系數(shù)全相等，則稱 與 相等，記作即， 第17頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四3多項(xiàng)式的運(yùn)算：加法（減法）、乘法加法：若 在 中令則 減法：第18頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四中s 次項(xiàng)的系數(shù)為 注: 乘法：第19頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四4多

6、項(xiàng)式運(yùn)算性質(zhì)1) 為數(shù)域 P上任意兩個(gè)多項(xiàng)式，則 仍為數(shù)域 P上的多項(xiàng)式 2) 若 則 且 第20頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四的首項(xiàng)系數(shù)的首項(xiàng)系數(shù) 的首項(xiàng)系數(shù). 3) 運(yùn)算律第21頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例1設(shè) (1) 證明: 若 則 (2) 在復(fù)數(shù)域上(1)是否成立？第22頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四(1) 證：若 則 于是 為奇數(shù). 故 從而 從而 但 為偶數(shù). 這與已知矛盾.第23頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四(2) 在 C上不成立如取 從而必有又 均為實(shí)系數(shù)

7、多項(xiàng)式 ，第24頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四所有數(shù)域 P中的一元多項(xiàng)式的全體稱為數(shù)域 P上的一元多項(xiàng)式環(huán)，記作P稱為 的系數(shù)域 二、多項(xiàng)式環(huán)定義第25頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、帶余除法二、整除1.3 整除的概念第26頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四對 一定存在 使 成立，其中或 一、帶余除法定理并且這樣的 是唯一決定的 稱 為 除 的商，為 除的余式第27頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 若 則令 結(jié)論成立 若 設(shè) 的次數(shù)分別為 證：當(dāng) 時(shí)， 結(jié)論成立 顯然取 即有 下

8、面討論的情形，假設(shè)對次數(shù)小于n的 ，結(jié)論已成立先證存在性對 作數(shù)學(xué)歸納法 次數(shù)為時(shí)結(jié)論顯然成立第28頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四設(shè) 的首項(xiàng)為 的首項(xiàng)為 則 與 首項(xiàng)相同，因而，多項(xiàng)式 的次數(shù)小于n或 f1為0若 令 即可 若 由歸納假設(shè)，存在 使得 現(xiàn)在來看次數(shù)為n的情形第29頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四其中 或者 于是即有使成立的存在性得證 由歸納法原理，對第30頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四再證唯一性若同時(shí)有其中其中和則 即第31頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四但 矛盾

9、 所以從而 唯一性得證第32頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四) 附：綜合除法的商式 和余式可按下列計(jì)算格式求得：這里，若 則 除第33頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四去除 求一次多項(xiàng)式 的商式及余式 把 表成 的方冪和，即表成的形式說明：綜合除法一般用于第34頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例1求 除 的商式和余式解: 由 ) 有 第35頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四4解: 1例.把 表成 的方冪和 =232345=136361441110=5=10=第36頁，共175頁，2022

10、年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四二、整除1定義設(shè)若存在 使 則稱 整除 記作 時(shí)， 稱 為 的因式， 為 的倍式 不能整除 時(shí)記作： 第37頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 允許 ，此時(shí)有 即區(qū)別：零多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式，有意義除數(shù)為零，無意義 當(dāng)時(shí)， 如果 則 除 所得的商可表成第38頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理1 2整除的判定第39頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四3整除的性質(zhì)1) 對 有 對 有 即，任一多項(xiàng)式整除它自身； 零多項(xiàng)式能被任一多項(xiàng)式整除； 零次多項(xiàng)式整除任一多項(xiàng)式時(shí)， 與 有相同的因

11、式和倍式2) 若 ，則第40頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四3) 若則 證： 若 則 使得 使得 若 則 第41頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四皆為非空常數(shù)4) 若 （整除關(guān)系的傳遞性）成立 故有 第42頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四5) 若 則對 有 注：反之不然如 但 第43頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四6) 整除不變性：兩多項(xiàng)式的整除關(guān)系不因系數(shù)域的擴(kuò)大而改變 例3求實(shí)數(shù) 滿足什么條件時(shí)多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式第44頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四附：整

12、數(shù)上的帶余除法對任意整數(shù)a、b（b0）都存在唯一的整數(shù)q、r，使 aqbr，其中第45頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四作業(yè)P441. 2)2. 2) 3. 2) 4. 2)第46頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、公因式 最大公式 二、最大公因式的存在性與求法1.4 最大公因式三、互素 四、多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式第47頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四i) 1公因式:若滿足:且2最大公因式:若滿足：ii) 若 ， 且 ，則則稱 為 的最大公因式 則稱 為 的公因式 一、公因式 最大公因式 第48頁，共175頁，2

13、022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 的首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式記作:注： ， 是 與零多項(xiàng)式0的最大公因式 兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式為0 最大公因式不是唯一的，但首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式是唯一的.若 為的最大公因式，則 ，c為非零常數(shù) 若 不全為零，則第49頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四二、最大公因式的存在性與求法 若等式 成立，則 與 有相同的公因式,從而 引理：第50頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理2對 ，在 中存在一個(gè)最大公因式 ，且 可表成 的一個(gè)組合，即 ，使 第51頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)3

14、4分，星期四若 有一為0，如 ，則 就是一個(gè)最大公因式且 考慮一般情形： 用 除 得： 其中 或 . 若 ，用 除 ，得： 證：第52頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若 ，用 除 ，得 如此輾轉(zhuǎn)下去，顯然，所得余式的次數(shù)不斷降低，因此，有限次后，必然有余式為0設(shè) 其中 或 即 于是我們有一串等式 第53頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四第54頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四從而有再由上面倒數(shù)第二個(gè)式子開始往回迭代，逐個(gè)消去再并項(xiàng)就得到第55頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四說明: 定理中

15、用來求最大公因式的方法，通常稱為輾轉(zhuǎn)相除法 定理中最大公因式 中的 不唯一. 對于 ， 使 ,但是 未必是 的最大公因式. 第56頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四如: ，則 取 ，有 取 ，也有 取 ,也有 成立事實(shí)上,若 則對 ，第57頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 若 ，且則 為 的最公因式設(shè) 為 的任一公因式，則證：從而即 為 的最大公因式 第58頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例1求 ，并求 使 第59頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四解: 且由 得 第60頁，共175頁，2

16、022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例2. 設(shè) 求 ，并求 使 第61頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四因式，即就可以)，這是因?yàn)?和 具有完全相同的若僅求 ，為了避免輾轉(zhuǎn)相除時(shí)出現(xiàn)注:分?jǐn)?shù)運(yùn)算，可用一個(gè)數(shù)乘以除式或被除式(從一開始為非零常數(shù)第62頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四則稱 為互素的(或互質(zhì)的)1定義:三、互素 若互素 除去零次多項(xiàng)式外無說明: 由定義，其它公因式 第63頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理3 互素 ，使 2互素的判定與性質(zhì)證：顯然設(shè)為 的任一公因式，則從而又故第64頁，共175頁

17、，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理4若 ，且 ， 則證：使于是有又第65頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四推論 若 ，且 又，則證:，使于是 ，使而由定理4有從而第66頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若 滿足: 定義i) 則稱 為 的最大公因式 ii)若則 四、多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式 第67頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四注： 表示首1最大公因式 ，使 的最大公因式一定存在互素 使第68頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四附:最小公倍式設(shè) ，若 i) ii) 對 的任一公倍

18、式 ，都有則稱 為 的最小公倍式 注: 的首項(xiàng)系數(shù)為1的最小公倍式記作:第69頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、不可約多項(xiàng)式二、因式分解及唯一性定理1.5 因式分解定理第70頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四因式分解與多項(xiàng)式系數(shù)所在數(shù)域有關(guān)如：（在有理數(shù)域上）問題的引入（在實(shí)數(shù)域上）（在復(fù)數(shù)域上）第71頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四設(shè) ，且 ，若不能表示成數(shù)域 P上兩個(gè)次數(shù)比 低的多項(xiàng)式的 定義：乘積，則稱 為數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式.說明： 一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約依賴于系數(shù)域. 一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式. 一

19、、不可約多項(xiàng)式第72頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 多項(xiàng)式 不可約的因式只有非零常數(shù)及其自身的非零常數(shù)倍.或 多項(xiàng)式 不可約，對有證：設(shè) 則 或即 或第73頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四不可約. ，若 則 或 證：若 結(jié)論成立 .若 不整除 ，則 定理5：不可約， 則必有某個(gè)使得 推論：第74頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若 ，則 可唯一地分解成數(shù)域 P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積. 所謂唯一性是說，若有兩個(gè)分解式 1. 定理：則 ，且適當(dāng)排列因式的次序后，有 其中 是一些非零常數(shù) 二、因式分解及唯一性定理第

20、75頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四證：對 的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納. 時(shí)，結(jié)論成立下證的情形.設(shè)對次數(shù)低于n的多項(xiàng)式結(jié)論成立（一次多項(xiàng)式都不可約） 若 是不可約多項(xiàng)式. 若 不是不可約多項(xiàng)式，則存在 且 使 結(jié)論顯然成立由歸納假設(shè) 皆可分解成不可約多項(xiàng)式的積. 第76頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四再證唯一性 .可分解為一些不可約多項(xiàng)式的積.都是不可約設(shè) 有兩個(gè)分解式多項(xiàng)式.對 作歸納法 若 則必有 第77頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四假設(shè)不可約多項(xiàng)式個(gè)數(shù)為 時(shí)唯一性已證. 由()不妨設(shè) 則 使得 (1)兩邊消去由

21、歸納假設(shè)有 即得第78頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四總可表成 對其中為 的首項(xiàng)系數(shù)， 為互不相同的， 首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，的標(biāo)準(zhǔn)分解式.稱之為2. 標(biāo)準(zhǔn)分解式：第79頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四說明 若已知兩個(gè)多項(xiàng)式 的標(biāo)準(zhǔn)分解式,則可直接寫出就是那些同時(shí)在 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中出現(xiàn)的不可約多項(xiàng)式方冪的乘積，所帶方冪指數(shù)等于它在中所帶的方冪指數(shù)中較小的一個(gè)第80頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例如，若的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為則有第81頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 雖然因式分解定

22、理在理論有其基本重要性，但并未給出一個(gè)具體的分解多項(xiàng)式的方法實(shí)際上，對于一般的情形普通可行的分解多項(xiàng)式的方法是不存在的而且在有理數(shù)域上，多項(xiàng)式的可約性的判定都是非常復(fù)雜的第82頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、k 重因式二、重因式的判別和求法1.6 重因式第83頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、k 重因式設(shè) 為數(shù)域P的不可約多項(xiàng)式， 則稱 為 的 重因式.若 1, 則稱 為 的重因式.（若 =0， 不是 的因式) 若 ，但 定義若 1, 則稱 為 的單因式.第84頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四1. 若 的

23、標(biāo)準(zhǔn)分解式為： 則 為 的 重因式 . 時(shí)， 為單因式 ;時(shí), 為重因式 .二、重因式的判別和求法第85頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四2. 定理6 若不可約多項(xiàng)式 是 的 重因式證:假設(shè) 可分解為其中則它是 的微商 的 重因式.第86頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四令是 的 重因式且 ,為 的 重因式，但未必是的 重因式. 注意定理6的逆命題不成立，即第87頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四推論1若不可約多項(xiàng)式 是 的 重因式則 是 的因式，但不是 的因式.推論2不可約多項(xiàng)式 是 的重因式 是 與 的公因式.

24、第88頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四推論3推論4多項(xiàng)式 沒有重因式 ，若 其中 為不可約多項(xiàng)式， 則 為 的 重因式. 第89頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四根據(jù)推論3、4可用輾轉(zhuǎn)相除法，求出說明來判別 是否有重因式若有重因式 ，還可由的結(jié)果寫出來. 例1. 判別多項(xiàng)式 有無重因式. 第90頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四推論5注:不可約多項(xiàng)式 為 的 重因式 為 的 重因式. 與 有完全相同的不可約因式， 且 的因式皆為單因式. 第91頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、多項(xiàng)式函

25、數(shù)與根 二、多項(xiàng)式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1.7 多項(xiàng)式函數(shù)第92頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、多項(xiàng)式函數(shù)與根 1. 多項(xiàng)式函數(shù)設(shè)數(shù) 將的表示式里的用代替，得到P中的數(shù)稱為當(dāng)時(shí) 的值，記作這樣，對P中的每一個(gè)數(shù)，由多項(xiàng)式 確定P中唯一的一個(gè)數(shù) 與之對應(yīng)，于是稱 為P上的一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)第93頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若多項(xiàng)式函數(shù) 在 處的值為0，即 則稱 為 的一個(gè)根或零點(diǎn) 2. 多項(xiàng)式函數(shù)的根(或零點(diǎn)) 易知，若則，第94頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四（余數(shù)定理）：用一次多項(xiàng)式 去除多項(xiàng)式 所得余式是一個(gè)常

26、數(shù)，這個(gè)常數(shù)等于函數(shù)值 二、多項(xiàng)式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1. 定理7 是 的根 推論:第95頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 例1 求 在 處的函數(shù)值. 法一：把 代入 求 用 去除 所得余數(shù)就是 法二：答案：第96頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若 是 的 重因式， 則稱 為 的重根.當(dāng) 時(shí)，稱 為 的單根 當(dāng) 時(shí)，稱 為 的重根 2. 多項(xiàng)式函數(shù)的k重根定義第97頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四注： 是 的重根 是 的重因式 有重根 必有重因式反之不然，即有重因式未必 有重根例如，為 的重因式，但在R上 沒有根 第

27、98頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四3. 定理8 (根的個(gè)數(shù)定理)任一 中的 次多項(xiàng)式 在 中的根 不可能多于 個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算 4. 定理9且 若有 使 則 第99頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四證：設(shè) 若 即時(shí)，由因式分解及唯一性定理，可分解成不可約多項(xiàng)式的乘積，由推論， 的根的個(gè)數(shù)等于 分解式中一次因式的個(gè)數(shù)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算，且此數(shù) 此時(shí)對 有即 有0個(gè)根.定理8第100頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四證：令 則有 由定理，若 的話，則 矛盾所以，即 有 個(gè)根，即定理9第101頁，共175頁，2022年

28、，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四解：例2求 t 值，使有重根第102頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若即則此時(shí)，有重根，為 的三重根若即則此時(shí)，有重根，為 的二重根第103頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例3舉例說明下面命題是不對的 解：令 則但 是 的2重根， 不是 的根，從而不是 的3重根 第104頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例4 若 求 解：從而，1為 的根 于是有， 1為 的重根，第105頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 1.8 復(fù)系數(shù)

29、與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第106頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四1. 代數(shù)基本定理一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 若 則 在復(fù)數(shù)域上必有一根 推論1若則存在使即，在復(fù)數(shù)域上必有一個(gè)一次因式第107頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四推論2復(fù)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式，即 則 可約 2. 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理若 則 在復(fù)數(shù)域上可唯一分解成一次因式的乘積 第108頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四推論1推論2若 則 在 其中 是不同的復(fù)數(shù)， 上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算） 若 ，則 有n個(gè)第109頁，共175頁，2

30、022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 命題：若 是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 的復(fù)根，則 的共軛復(fù)數(shù) 也是 的復(fù)根 若 為根，則兩邊取共軛有 也是為 復(fù)根 證：設(shè)第110頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理 ，若 ， 則 可唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積 證：對 的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納 時(shí)，結(jié)論顯然成立. 假設(shè)對次數(shù)n的多項(xiàng)式結(jié)論成立設(shè) ，由代數(shù)基本定理, 有一復(fù)根 若 為實(shí)數(shù), 則 ，其中 第111頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若 不為實(shí)數(shù)，則 也是 的復(fù)根，于是 設(shè) ，則 即在R上 是 一個(gè)二次不可

31、約多項(xiàng)式從而 由歸納假設(shè) 、 可分解成一次因式與二次不可約多項(xiàng)式的乘積由歸納原理，定理得證 第112頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四在R上具有標(biāo)準(zhǔn)分解式推論1其中且 ，即 為R上的不可約多項(xiàng)式. 第113頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四推論2 實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式和某些二例1求 在 上與在 上的標(biāo)準(zhǔn)分解式. 1)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) 有n個(gè)復(fù)根，次不可約多項(xiàng)式，所有次數(shù)3的多項(xiàng)式皆可約. 解：第114頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 2)在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)這里 第115頁，共175頁，2022年，5月20日，

32、17點(diǎn)34分，星期四當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 第116頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、本原多項(xiàng)式 二、整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 1.9 有理系數(shù)多項(xiàng)式第117頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四問題的引入 1. 由因式分解定理，作為一個(gè)特殊情形：對 則 可唯一分解 成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的積.但是，如何作出它的分解式卻很復(fù)雜，沒有一個(gè)一般的方法. 第118頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四2. 我們知道，在 上只有一次多項(xiàng)式才是不可約 多項(xiàng)式；在 上，不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式與某些二次多項(xiàng)式；但在 上有任意次

33、數(shù)的不可約多項(xiàng)式如 如何判斷 上多項(xiàng)式的不可約性呢? 第119頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四3. 有理系數(shù)多項(xiàng)式可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的問題 這是因?yàn)槿我挥欣頂?shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商事實(shí)上，設(shè) 則可選取適當(dāng)整數(shù) 使 為整系數(shù)多項(xiàng)式若 的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，就可以提出來，得 也即 其中 是整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)系數(shù)沒有異于 的公因子 第120頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、本原多項(xiàng)式 設(shè) 定義若 沒有則稱 為本原多項(xiàng)式異于 的公因子，即是互素的，第121頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四有關(guān)性質(zhì)1 使其中 為本原多項(xiàng)式

34、（除了相差一個(gè)正負(fù)號外，這種表示法是唯一的） 2Gauss引理定理10 兩個(gè)本原多項(xiàng)式的積仍是本原多項(xiàng)式第122頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四設(shè) 是兩個(gè)本原多項(xiàng)式若 不是本原的，則存在素?cái)?shù) 證：又 是本原多項(xiàng)式，所以 不能整除 的每一個(gè)系數(shù)反證法第123頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四令 為 中第一個(gè)不能被 整除的數(shù)，即 同理， 本原，令 為 中第一個(gè)不能被 整除的數(shù)，即 又矛盾在這里 故是本原的第124頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理11若一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式，則它一

35、定可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積二、整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 第125頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式 有分解式其中 且 證：令 這里， 皆為本原多項(xiàng)式， 于是 由定理10， 本原，即從而有 得證 第126頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四設(shè) 是整系數(shù)多項(xiàng)式，且 是本原推論的，若 則必為整系數(shù)多項(xiàng)式 第127頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四令 本原，即 為整系數(shù)多項(xiàng)式 證：于是有，第128頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理12 設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而 是它的一

36、個(gè)有理根， 其中 是互素的，則必有 第129頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四是 的有理根，從而 又 互素，比較兩端系數(shù)，得 證： 在有理數(shù)域上，由上推論，有本原所以， 第130頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理12是判斷整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的一個(gè)必要條件， 而非充分條件例1求方程 的有理根.可能有理根為用綜合除法可知，只有1為根 注意解：第131頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例2 證明: 在 上不可約 若 可約， 但 的有理根只可能是所以 不可約證：則 至少有一個(gè)一次因式，也即有一個(gè)有理根而 矛盾 第132頁

37、，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理13 艾森斯坦因Eisenstein判別法設(shè) 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若有一個(gè)素?cái)?shù) 使得則 在有理數(shù)域上是不可約的第133頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若 在 上可約，由定理11，可分解為兩次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式積 證：又不妨設(shè) 但 或不能同時(shí)整除 第134頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四另一方面，假設(shè) 中第一個(gè)不能被 整除的數(shù)為 比較兩端 的系數(shù)，得 上式中 皆能被整除， 矛盾故不可約第135頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例3證明： 在 上不可約

38、證：（令 即可） (可見存在任意次數(shù)的不可約有理系數(shù)多項(xiàng)式)例4判斷（為素?cái)?shù)）在 上是否可約第136頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四令 則 為整系數(shù)多項(xiàng)式 但 解：在 上不可約，從而 在 上不可約即第137頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四 Eisenstein判別法是判斷不可約的充分條件，而 非必要條件注意也就是說，如果一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式不滿足Eisenstein判別法條件，則它可能是可約的，也可能是不可約的 有些整系數(shù)多項(xiàng)式 不能直接用Eisenstein判別法來判斷是其是否可約，此時(shí)可考慮用適當(dāng)?shù)拇鷵Q使?jié)M足Eisenstein判別法條件

39、，從而來判定原多項(xiàng)式不可約第138頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四有理系數(shù)多項(xiàng)式 在有理系數(shù)上不可約命題在有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式第139頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四例5證明： 在 上不可約 取 證：作變換則在上不可約，所以 在上不可約由Eisenstein判別法知，第140頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四對于許多 上的多項(xiàng)式來說，作適當(dāng)線性代換后再用Eisenstein判別法判定它是否可約是一個(gè)較好的多項(xiàng)式無論作怎樣的代換都不能 使 滿足愛森斯坦因判別法的條件， 即找不到相應(yīng)的素?cái)?shù) 說明：辦法，但未必總是湊

40、效的也就是說，存在 上的如， 第141頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四練習(xí)P 為素?cái)?shù)， 證明: 在上不可約第142頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、n 元多項(xiàng)式的概念二、有關(guān)性質(zhì)1.10 多元多項(xiàng)式三、齊次多項(xiàng)式四、n 元多項(xiàng)式函數(shù) 第143頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、n 元多項(xiàng)式概念設(shè) 為一個(gè)數(shù)域， 是 個(gè)文字, 形式 1.n元多項(xiàng)式時(shí)，稱此單項(xiàng)式中各文字的指數(shù)之和稱為數(shù)域上的一個(gè)單項(xiàng)式；為這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)； 第144頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四有限個(gè)單項(xiàng)式的和 n元

41、多項(xiàng)式中系數(shù)不為零的單項(xiàng)式的最高次數(shù)稱稱為數(shù)域 上的一個(gè) 元多項(xiàng)式；為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)如果兩單項(xiàng)式中相同文字的指數(shù)對應(yīng)相等，則稱它們?yōu)橥愴?xiàng)；第145頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四的集合稱為數(shù)域 上的 元多項(xiàng)式環(huán)，記作 4.n元多項(xiàng)式環(huán)數(shù)域 上關(guān)于文字 的全體 元多項(xiàng)式加法減法乘法2.n元多項(xiàng)式的運(yùn)算3.n元多項(xiàng)式的相等第146頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四中的兩個(gè)單項(xiàng)式任取n元多項(xiàng)式5.n元多項(xiàng)式的字典排列法若有某個(gè) 使（1）第147頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四（此時(shí)也稱數(shù)組 先于 記作 則在多項(xiàng)式（

42、1）中，把單項(xiàng)式 寫在 的前面 將n元多項(xiàng)式中各單項(xiàng)式按當(dāng)n1時(shí)，字典排列法即為降冪排列法 這種先后次序排列的方法稱為字典排列法 按字典排列法寫出的第一個(gè)系數(shù)不為零的單項(xiàng)式稱為多項(xiàng)式的首項(xiàng) 第148頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四注意：例如， 的次數(shù)為5，首項(xiàng)為 多元多項(xiàng)式的首項(xiàng)未是最高次項(xiàng) 第149頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四定理14 當(dāng) 時(shí), 積 的首項(xiàng)等于 的首項(xiàng)與 的首項(xiàng)的積 推論1若 則積 的首項(xiàng)等于 的首項(xiàng)的積二、有關(guān)性質(zhì)推論2若 則 第150頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四若多項(xiàng)式 為m次齊次

43、多項(xiàng)式 中每個(gè)單項(xiàng)式全是m次的，則稱 三、齊次多項(xiàng)式定義第151頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四1兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的積仍然是齊次多項(xiàng)式； 積的次數(shù)等于這兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的次數(shù)之和 2任一 次多項(xiàng)式 都可唯一地表成其中 是 次齊次多項(xiàng)式，稱之為 的 次齊次成分性質(zhì)第152頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四特別地， 4 積的次數(shù)因子的次數(shù)之和3 設(shè) 的 次齊次成分為 則積第153頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四四、n 元多項(xiàng)式函數(shù) 與一元多項(xiàng)式一樣我們可以定義n元多項(xiàng)式函數(shù)、 函數(shù)值等概念第154頁，共175頁，2022

44、年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四一、一 元多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系二、n元對稱多項(xiàng)式1.11 對稱多項(xiàng)式三、一元多項(xiàng)式的判別式第155頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四韋達(dá)定理設(shè) 若 在 上有 個(gè)根 ，則 把展開，與比較，即得根與系數(shù)的關(guān)系： 一、一 元多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系第156頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四（所有可能的 i 個(gè)不同的 的積之和），特別地 ， 為其根，則有第157頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四二 、n 元對稱多項(xiàng)式定義設(shè) ，若對任意 ，有則稱該多項(xiàng)式為對稱多項(xiàng)式 如，第158頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四下列n個(gè)多項(xiàng)式稱為 個(gè)未定元 的初等對稱多項(xiàng)式第159頁，共175頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)34分，星期四1對稱多項(xiàng)式的和、積仍是對稱多項(xiàng)式；對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式仍為對稱多項(xiàng)式則是 元對稱多項(xiàng)式特別地，初等對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)