1、.求等比數(shù)列通項公式的常用方法等比數(shù)列的通項公式是研究等比數(shù)列的性質與其前 n 項和的基礎，也是研究數(shù)列問題的基石，所以等比數(shù)列通項公式的求法在等比數(shù)列的研究中占有重要的地位，下文就介紹求等比數(shù)列通項公式的常用方法 .一定義法：先根據(jù)條件判斷該數(shù)列是不是等比數(shù)列， 若是等比數(shù)列則又等比數(shù)列定義直接求它的通項公式 .例 1求下列數(shù)列的通項公式5，-15，45， -135，405， -1512解：所給的數(shù)列是等比數(shù)列， 且是首項為 5，公比為 -3。所以通項 an5 ( 3) n 1二公式法：如果數(shù)列是等比數(shù)列，只要知道首項與公比，就可以根據(jù)等比數(shù)列的通頂公式 an a1qn 1 來求。例 2：數(shù)

2、列 an 為等比數(shù)列，若 a1a2a3 7, a1 a2 a38 ，求通項 an解 ， 由 已 知 得 a23a1a2a38 （ 利 用 等 比 數(shù) 列 的 性 質 ） a22 ，Q a1a2a3 7,a2a2 a2q7即 22q 5 02q25q2 0，解得qqq2 或1q2當 q2 時，得 a11 ，an2n1當 q1 時，得 a14，an23n2評：等比數(shù)列的通項公式有時為了需要，不一定非得由a1 與 q 來表示，也可以用其他項來相互表示如 anamqn m例 3：已知等比數(shù)列an中， a33, a10384 ，則該數(shù)列的通項 an =解： a10 a3q10 3 ,q7a1038412

3、8q 2, ana3qn 33 2n 3a33注：此類題目都會很醒目的出現(xiàn)等比數(shù)的字眼，目的求首項與公比，當然求首項和公比可靈活一些，如用等比數(shù)列的性質以及變換式anamqn m .三遞推關系式法：給出了遞推公式求通項，常用方法有兩種：（一）是配常數(shù)轉化為等比數(shù)列，從而再求通項例 4已知數(shù)列an 中 a11 ， an 1，求通項公式an2an 1.解：由已知得： an 112(an1) ， an 112數(shù)列 an1 是首項為an1a1 12，公比為 2 的等比數(shù)列 an1(a11)2n12n .即 an2n1 .評： 對于 pan 1 qa nr ( pq) 形 式的 遞 推 關 系式 ，可

4、以配 常數(shù) ，即p( an 1k ) q(ank ) ， 這里 kr從而轉化為等比數(shù)列，再求通項。也可以qp用迭代法。如an 12an1，an2an 11 ，2an 122 an22 ，22 an 223 an 322L L2n 2 a22n 1 a12n 2 ，將上列各式相加得 an2n 1a1(12222n2 )2 n 11.（二）取倒數(shù)轉化為等比數(shù)列，從而再求通項 .例 5已知數(shù)列 an中 a1 2 ， an 12an，求通項公式 an .an 1解： 易知 an0 ，由 an 12an，兩邊取倒數(shù)得1111，即an122anan 1111 ( 11) .數(shù)列11 是首項為 111，公比

5、 1為的等比數(shù)列，an 12 anana122 111 ( 1 ) n 1 故 an1n .an22112四利用 Sn 與 an 的關系： an 與 Sn 的關系為 anS1 (n1)，把 Sn 轉化SnSn 1( n2)為 an 的遞推關系式，再求通項 .例 6已知數(shù)列 an的前 n 的和為 sn ，且 (3m)sn2manm3 ，其中 m 為常數(shù)， m3 ，求通項公式 an .解： (3m)sn 2manm3當 n2時， (3m)sn 12man 1m 3 (3m)an 2man2man 1an2m( m3的常數(shù) ) ，數(shù)列 an 是，an1m 3.首項為 a11 ，公比為2m 的等比數(shù)列. an( 2m ) n 1 .m3m3五實際問題中，根據(jù)題中的含義建立數(shù)列模型后，再研究 a n 與 an 1 的關系，求等比數(shù)列的通項例 7從盛滿 a 升 (a1) 純酒精的容器里倒出1 升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去，問第n 次操作后溶液的濃度是多少？解：開始的濃度為1，操作一次后溶液的濃度是a111 ，操作 n 次后溶液a的濃度為 a n ，由題意知： an 1an (11 ) ，數(shù)列 an 是首項為 a1 1 1 ，