1、主要內(nèi)容第八節(jié)定義主要結(jié)論若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形介紹一、定義從前面第五節(jié)的討論可以知道，并不是對于每一個線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣成為對角形.下面先介紹一下，在適當(dāng)選擇的基下,一般的一個線性變換能化簡成什么形狀.在這一節(jié)，我們的討論限制在復(fù)數(shù)域中.定義 13 形式為的矩陣稱為若爾當(dāng)(Jordan)塊，其中 是復(fù)數(shù).由若干個若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣稱為若爾當(dāng)形矩陣，其一般形狀如其中并且 1 , 2 , s 中有一些可以相等.例如都是若爾當(dāng)塊，是一個若爾當(dāng)形矩陣.而一級若爾當(dāng)塊就是一級矩陣，因此若爾當(dāng)形矩陣中包括對角矩陣.因為若爾當(dāng)形矩陣是下三角形矩陣，所以不難算出，在一個線性

2、變換的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中，主對角線上的元素正是特征多項式的全部根(重根按重數(shù)計算) .這一節(jié)我們將利用線性變換按它的不變子空間的直和分解的性質(zhì)來證明下列重要結(jié)論.二、主要結(jié)論定理 16 設(shè) A 是復(fù)數(shù)域上線性空間 V 的一個線性變換，則在 V 中必定存在一組基，使 A 在這組基下的矩陣是若爾當(dāng)形矩陣.證明設(shè) A 的特征多項式為1 , 2 , s 是 f () 的全部不同的根.由知 V 可分解成 A 的不變子空間的直和V = V1 V2 Vs ,其中我們?nèi)缒茏C明在每個 Vi 上有一組基使 A |Vi 在該基下矩陣為若爾當(dāng)形矩陣，則定理得證.為此需證明：引理 n 維線性空間 V 上線性變換 B 滿足B

3、 k = 0 ，k 是某正整數(shù)，就稱 B 為 V 上冪零線性變換.對冪零線性變換 B ，V 中必有下列形式的一組元素作為基于是 B 在這組基下的矩陣為k1k2ks證明我們對 V 的維數(shù) n 作歸納法.n =1 .這時 V 有基 1 ，且 B1 = 11 .由B k1 = 1k1 = 0 ,得 1 = 0 .于是 1 ( B1 =0 )，是要求的基.設(shè)線性空間維數(shù) n 時，引理的結(jié)論成立.對滿足引理條件的 n 維線性空間 V，考察 B 的不變子空間 B V.若 B V 的維數(shù)等于 V 的維數(shù)，則B V = V.于是B kV =B k-1 (B V ) = B k-1V = B k-2V = =V

4、. 但 B kV = 0，得 V = 0，矛盾.故 B V 的維數(shù)小于n .將 B 看成 B V 上的線性變換，仍有B k = 0 .由歸納法假設(shè)， BV上有基其中 k1 , k2 , , kt 皆為正整數(shù).由于 1 , 1 , , t 皆屬于B V，有1 , 2 , , t V使 B1 = 1 , , Bt = t .排出下列向量集合：其中實線方框中的向量組正是 (4) 中的向量組，虛線方框中的向量組正是實線方框中各向量在 B 下的原像所成的向量組.最后一行中的是 B 的核 B -1(0) 中的向量，它們是 B V 的基中的部分向量，故是線性無關(guān)的.t+1 , , s 是 B -1(0) 中

5、的向量，它們與合起來正是 B -1(0) 的一組基，并組成上述向量組(5) 的最后一行.由 知虛線方框中的向量與最后一行的向量合起來就是 V 的一組基，且符合引理的要求 ( 這時 kt+1 = = ks =1 ) .完成了歸納法.引理證畢現(xiàn)在回來證明定理 16 .在 Vi 上有作則由引理，有 Vi 的基使 B 的矩陣為形狀如 (3) 的若爾當(dāng)形.于是 A | Vi = B + i E 在該基下的矩陣為 (3) 中矩陣與 i E 的和，即為l1l2lt也是若爾當(dāng)形.把每個 Vi 的上述基合起來是 V 的基， A 在該基下的矩陣仍為若爾當(dāng)形矩陣.證畢上述結(jié)果用矩陣表示就是：定理 17 每個 n 級

6、復(fù)矩陣 A 都與一個若爾當(dāng)形矩陣相似.定理 17 是借助于線性變換的不變子空間的直和分解及取適當(dāng)基向量來達(dá)到證明的.這是用線性變換的工具來解決矩陣問題的范例.但這方法用于計算一般矩陣的若爾當(dāng)形卻不方便.甚至也難于判斷兩個 n n 矩陣何時是相似的.這些問題將留待下一章中用 - 矩陣的工具來解決.在那兒同樣可以得到定理 16 及定理 17，并且能得到若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性的結(jié)論.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束

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