1、三重積分的計直角坐標(biāo)系中將三重三重積分的計直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積nif(,i ,i f(x,y,z)dV i上每一點(diǎn)xyz) 分析：三重積分和積分區(qū) 0 時，積分值等于每一函數(shù)值和體積有關(guān)，fx, yz)dV 之和問題如何將區(qū)域 中的每一點(diǎn)都計算一如圖，閉區(qū)在 xoy面的投影為閉區(qū)域 zz z2(x, yz z1(如圖，閉區(qū)在 xoy面的投影為閉區(qū)域 zz z2(x, yz z1(x,y),z z2(x,y),S1 S2 z z1(x, y過點(diǎn)xyD作直線a yDy y2(x)bx(x, y)z 穿入，從穿出12y y (x)11.先單后先將 x, y 看作定值，將 fx, yz)只

2、看作 zz (x,yF(x,y)先將 x, y 看作定值，將 fx, yz)只看作 zz (x,yF(x,y)2z1(x,yf(x,y,z)dz計算 Fx, y) 在閉區(qū)間 D 上的二重積z (x,y f(x,y,z)dzdD 2z1(x,yF(x,D(1) 式稱為“先單后重”積分公式D: y1(x) ya xby2(x),by (xz (x,yf(x,y,z)dxdydz2y1(x2f(x,y,z)dz.az1(x,y這是平行于z 軸且穿過閉區(qū)域注的直線這是平行于z 軸且穿過閉區(qū)域注的直線閉區(qū)域 的邊界曲面S 相交不多于兩點(diǎn)情形“先單后重計算步驟：(1) 定投影區(qū)、(2定上下（后）（3z2

3、21xydz x 2,010 212y y 解： 2d02x2122dxy zy1002110z2 21xydz x 2,010 212y y 解： 2d02x2122dxy zy10021102 y z2x01若 x ， y z m，則注 f1(xfyf)dO12bdmlf (xf2(3(zz1ac1I zdxdydz其中2及平面 x y z 1解：的投影區(qū)域I zdxdydz其中2及平面 x y z 1解：的投影區(qū)域Dxy z1上下邊界曲面分別為z 0z 1 x B所11xOI zyA1xx 111zx0001I f x, y, z)dxdydz為三次I f x, y, z)dxdydz為

4、三次分，其中積分區(qū)域 為由曲z 2 x2所圍成的閉區(qū)域z x2y2z x2 2y2解由z 2 x2得交線投影區(qū)x2 y2 :2x2x22y2I f(x,y,y11 x:1y11 x:1 x2 y1 x2x1x2x22x21x22y2I f(x,y,z)dz.4 I xcos(yz)dxdydz，其中由曲面 x zx0y0yz4 I xcos(yz)dxdydz，其中由曲面 x zx0y0yz y2 在 xoz z x2Cyz :0 z ,0 x 2Dxzz2O上下邊界分別為y 0,y z2xABzDDxzdxdzI xcos( y z)dy20zdxxcos(yz)dy220002 的體積其求

5、yzd解：zz22 x22 的體積其求yzd解：zz22 x2222y 在 xoy zD:O xxx dz22xyDxy 22yy2010220102r2 r)r( 4(23例 計算三重積分2xdydz，其中 1zz1y 1所圍成，將xoz平面解如圖z12例 計算三重積分2xdydz，其中 1zz1y 1所圍成，將xoz平面解如圖z12原式y(tǒng)1x21 1 x2 dz2211(1 x2 281 16 求積分 I yz6 求積分 I yz zx xydV (x, y,z)| x2 y2 z2 4a2,x2 yI yzdV zxdV xy 2axa 0)yz和 xyyxoz yzdV 0,xydV

6、zx關(guān)于zxoyzxdV I 注：利用被積函數(shù)奇偶性和積分注：利用被積函數(shù)奇偶性和積分區(qū)域?qū)ΨQ性計算三重積分如果積分區(qū)域 關(guān)于yoz 坐標(biāo)平面對稱，f(x,y,f(x,y,z) f(x,y,z).f(x,y,z) f(x,y,z).2f(x,y,前z截面法的一般步驟(1)把積分區(qū)域向某軸（例如投影，得投影區(qū)間z截面法的一般步驟(1)把積分區(qū)域向某軸（例如投影，得投影區(qū)間c1c2軸對zc1c2用過z軸且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz;計算二重積分 fx, yz)dxdy其結(jié)果為z的函數(shù)F (z)；zyOxc2F(z)dz即得三重積分值c f(x,y,z)dV 2f(x,y,Dz2.先重后例

7、7 ydz ,其中為三個坐標(biāo)z 1z110解zyo1Dz (| x例7 ydz ,其中為三個坐標(biāo)z 1z110解zyo1Dz (| x yzy1y1x ) 1z)x2x y 11( 112dzD.z20 x1O圍計算三重積分z2dxdydz，其是由橢球x2y2 z2計算三重積分z2dxdydz，其是由橢球x2y2 z21所成的空間閉區(qū)域a2b2c2z(x,y,z)|c z 解Dzx2y2z21b2c2a2oycz2dzdxdy,xcx2y2z2y a2z22bczz2y2 2 (b 22ccDzz22x2y2z2y a2z22bczz2y2 2 (b 22ccDzz22cxz2c2d2cc 4 abc3三重積分交換積分次序33x3 22 1I dxf(x,y,z三重積分交換積分次序33x3 22 1I dxf(x,y,z)dz2例9 給定積000試將其變換為先xyz的三次積分方法：依次交換相鄰的兩個定積分的次序，直到換成所要的次序1dx f(x, y,解I z33x033x3 322 f(x,y,z)z 33x2200 f(x,y,y22xO22x233 dzf(x,y,300z322x233 1I dxdzf(x,y,3000z33x