1、第1頁第1頁三類基本方程在直角坐標(biāo)系中表示一、 波動(dòng)方程二、熱傳導(dǎo)方程三、拉普拉斯方程第2頁第2頁 定解問題適定性：解存在性、解唯一性和解穩(wěn)定性； 若一個(gè)定解問題存在唯一且穩(wěn)定解，則此問題稱為適定。 定解問題泛定方程+定解條件邊界條件擬定本征值和本征函數(shù)要求掌握三類邊界條件常見例子（見第一章課件，如邊界吸熱，放熱，絕熱，自由冷卻，邊界固定，邊界為自由端等）以及初始條件表述辦法。初始條件擬定級(jí)數(shù)疊加系數(shù)第3頁第3頁1、線性二階偏微分方程普通形式 該方程為齊次該方程為非齊次數(shù)學(xué)物理方程分類 方程為雙曲型方程為拋物型方程為橢圓型若方程中與u相關(guān)項(xiàng)冪指數(shù)均為1，方程為線性。第4頁第4頁行 波 法一、行

2、波法主要用來求解無界區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程定解問題達(dá)朗貝爾公式第5頁第5頁對(duì)無限長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)波動(dòng)方程，任意擾動(dòng)總是以行波形式分為兩個(gè)方向傳播出去，波速為 ，也即 :以速度 沿 負(fù)方向移動(dòng)行波以速度 沿 正方向移動(dòng)行波通解物理意義： 第6頁第6頁二、普通二階齊次線性偏微分方程特性線求法： 其特性方程為：其特性方程解即為特性線方程：如第7頁第7頁雙曲型方程過其中每一點(diǎn)有兩條不同實(shí)特性線橢圓型方程過其中每一點(diǎn)不存在實(shí)特性線拋物型方程過其中每一點(diǎn)有一條實(shí)特性線三、傅里葉級(jí)數(shù) 第8頁第8頁傅里葉變換式傅里葉逆變換式復(fù)數(shù)形式傅里葉變換第9頁第9頁基本思想：通過度離變量，把偏微分方程分解成幾種常微分方程，常微分方程帶有

3、附加條件而構(gòu)成本征值問題。分離變量(傅立葉級(jí)數(shù))法要求能純熟應(yīng)用分離變量法求解波動(dòng)方程，熱傳導(dǎo)方程，拉普拉斯方程（矩形區(qū)域和圓形區(qū)域）定解問題。第10頁第10頁解題環(huán)節(jié):邊界是否齊次寫出本征值、本征函數(shù)、待求物理量傅立葉級(jí)數(shù)展開式邊界齊次化寫出定解問題方程非齊次項(xiàng)和初值條件級(jí)數(shù)展開代入原泛定方程得到另一變量微分方程和初值寫出解表示式和系數(shù)第11頁第11頁邊界齊次化（考點(diǎn)）第12頁第12頁第13頁第13頁邊界條件（四種）： 第14頁第14頁波動(dòng)方程： 熱傳導(dǎo)方程： 第15頁第15頁拉普拉斯方程： 1、矩形區(qū)域： 2、圓域（圓盤、圓環(huán)區(qū)域）（重點(diǎn)）： 第16頁第16頁若研究區(qū)域包括圓心，必須考慮該

4、自然邊界條件。滿足有界性條件 通解為： 在求疊加系數(shù)時(shí)，要善于利用初始條件，注意比對(duì)等號(hào)兩邊系數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)疊加系數(shù)目的.第17頁第17頁求解非齊次方程特性函數(shù)法第18頁第18頁將V（x,t）按W（x,t）本征函數(shù)進(jìn)行展開，如：令：若 表示式能夠?qū)懗申P(guān)于x正余弦形式， 不用展開，不然， 也需要按W本征函數(shù)展開。 第19頁第19頁將展開式代入原方程，注意等號(hào)兩邊比對(duì)，代入初始條件，化簡(jiǎn)疊加系數(shù)。詳細(xì)內(nèi)容參見課件中相關(guān)例題。本部分重點(diǎn)復(fù)習(xí)第三章課件中倒數(shù)第二個(gè)例題。第20頁第20頁格林函數(shù)主要掌握使用格林函數(shù)求解三維拉普拉斯方程1、 熟記第一格林公式和第二格林公式-第一格林公式 -第二格林公式 第2

5、1頁第21頁2 拉普拉斯方程鈕曼問題 有解必要條件3 拉普拉斯方程解唯一性問題結(jié)論 狄利克雷問題在原定解問題中解是唯一擬定； 鈕曼問題解在相差一個(gè)常數(shù)下也是唯一擬定.4、三維拉普拉斯方程基本解.或第22頁第22頁使用鏡像法求上半空間內(nèi)格林函數(shù)在狄利克雷問題中第23頁第23頁為上半空間 格林函數(shù).球域內(nèi)格林函數(shù)：詳細(xì)內(nèi)容參見課件上相關(guān)例題。第24頁第24頁貝塞爾函數(shù)n階貝塞爾方程做代換 , n階貝塞爾方程原則形式.熟記！熟記！第25頁第25頁貝塞爾函數(shù)級(jí)數(shù)解法n階貝塞爾方程一個(gè)特解熟記！第26頁第26頁或當(dāng) n 不為整數(shù)時(shí), 和 線性無關(guān)n階貝塞爾方程通解為 另兩個(gè)特解第27頁第27頁當(dāng)n為整數(shù)

6、時(shí)，有：當(dāng)n為整數(shù)時(shí), 與 線性相關(guān)n階貝塞爾方程通解只可寫為貝塞爾函數(shù)性質(zhì)：1 有界性 第28頁第28頁n為偶數(shù)時(shí)， 為偶函數(shù)n為奇數(shù)時(shí)， 為奇函數(shù)性質(zhì)2 奇偶性 性質(zhì)3 遞推性（大題考點(diǎn)） 詳細(xì)內(nèi)容參見課件上相關(guān)例題第29頁第29頁貝塞爾方程 本征值為 與本征值相應(yīng)本征函數(shù)為： 第30頁第30頁稱為貝塞爾函數(shù)模。傅立葉-貝塞爾級(jí)數(shù)第31頁第31頁往年考題第32頁第32頁定解問題適定性指是_。1定解問題中定解條件包括_，2. 邊值問題 固有值為_ ，_ ，n = _ 。固有函數(shù)為第33頁第33頁先求出相應(yīng)齊次方程滿足齊次邊界條件固有函數(shù)系，為_，再設(shè) u( x, t)= _，將自由項(xiàng)按此函數(shù)系展開為_，一起代入原方程，利用初始條件，求出待定函數(shù)，最后得u ( x,t ) = _。3. 對(duì)于非另一方面方程定解問題通常采用固有函數(shù)法求解，比如對(duì)定解問題第34頁第34頁5. 貝塞爾方程通解可表示為 _ 。= ， =_。6. 第一類貝塞爾函數(shù)二、用格林函數(shù)法求解球域內(nèi)拉普拉斯方程狄利克雷問題： （10分） 第35頁第35頁四、（12分）求解下列定解問題 三、（12分）求解熱傳導(dǎo)方程定解問題 第36頁第36頁五、（12分）求下列狄利克雷問題解（其中a為常數(shù)）六、（12分）用達(dá)朗貝爾公式求波動(dòng)