1、第二章 2.2 解線性方程組迭代法 數學與統(tǒng)計學院第1頁第1頁第2頁第2頁 解線性方程組兩類辦法直接法: 通過有限次運算后可求得方程組準確解辦法(不計舍入誤差!)迭代法：從解某個近似值出發(fā)，通過結構一個無窮序列去迫近準確解辦法。第3頁第3頁 迭代法研究主要問題1）迭代格式結構；2）迭代收斂性分析；3）收斂速度分析；4）復雜性分析；（計算工作量）5）初始值選擇。 第4頁第4頁迭代格式結構把矩陣A分裂為則 第5頁第5頁迭代過程B稱為迭代矩陣。給定初值 就得到向量序列定義：若 稱逐次迫近法收斂， 不然，稱逐次迫近法不收斂或發(fā)散。第6頁第6頁問題： 是否是方程組（1）解？定理1：任意給定初始向量 ，若

2、由迭代公式（2）產生迭代序列收斂到 ，則 是方程組（1）解。證： 第7頁第7頁逐次迫近法收斂條件定理2：對任意初始向量 ，由（2）得到迭代序列收斂充要條件是迭代矩陣 譜半徑證：因此第8頁第8頁要檢查一個矩陣譜半徑小于1比較困難，因此我們希望用別辦法判斷是否有定理3：若逐次迫近法迭代矩陣滿足 ，則逐次迫近法收斂。Remark:由于矩陣范數 ， ， 都能夠直接用矩陣 元素計算，因此，用定理3，容易判別逐次迫近法收斂性。第9頁第9頁問題：如何判斷能夠終止迭代？定理4：若迭代矩陣 滿足 則 （3） （4） Remark:(4)式給出了一個停止迭代判別準則。(3）式指出 越小收斂越快。 ，第10頁第10

3、頁證：第11頁第11頁Jacobi 迭代=第12頁第12頁Jacobi迭代分裂第13頁第13頁迭代過程：若記第14頁第14頁算法描述1 輸入2 if , then 2.1 for 2.1.1 s=0, 2.1.2 for 2.1.3 2.1.4 if then 第15頁第15頁 2.2 k=k+1 2.3 if then 2.3.1 2.3.2 goto 2 else 輸出 結束。 else 2.4 輸出 迭代次數太大。 3 結束 第16頁第16頁Gauss-Seidel迭代假設Jacobi迭代第17頁第17頁分裂第18頁第18頁算法描敘1 輸入2 if , then 2.1 for 2.1.

4、1 s=0， 2.1.2 for 2.1.3 第19頁第19頁 2.1.4 if then 2.2 k=k+1 2.3 if ,輸出結果，結束。 else 2.4 輸出迭代次數太大。 3 結束 第20頁第20頁Remark:Gauss-Seidel迭代法計算過程比Jacobi迭代法更簡樸。計算過程中只需用一個一維數組存儲迭代向量。Gauss-Seidel迭代不一定比Jacobi迭代收斂快。第21頁第21頁例第22頁第22頁希望直接對系數矩陣A研究這倆種迭代收斂條件。第23頁第23頁定理5 設A是有正對角元n階對稱矩陣，則Jacobi迭代收斂 A和2D-A同為正定矩陣。證：記則 即 ，從而有相同譜半徑。第24頁第24頁由A對稱性， 也對稱，因而特性值全為實數，記為則 任一特性值為 。 A ， 正定。 故 正定。第25頁第25頁A正定 正定， 特性 值小于1。若 2D-A正定, 特性值小于1, 因此 特性值不小于1。 第26頁第26頁定理6 A按行（列）嚴格對角占優(yōu)，則Jacobi迭代收斂。引理 A按行（列）嚴格對角占優(yōu) （ ） 證 （提醒） 第27頁第27頁定理7 A按行嚴格對角占優(yōu)，則Gauss- Seidel迭代收斂。證 設 是 任一特性值，x 是相應特性向量。設若