1、2.4矩 陣 的 秩1矩陣的秩2矩陣的初等變換3用初等變換求矩陣的秩4線性方程組與矩陣的初等變換本節(jié)先建立矩陣的秩的概念,討論矩陣的初等變換，并提出求秩的有效方法再利用矩陣的秩來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法 內(nèi)容豐富，難度較大.定義1一.矩陣的秩定義2 由本例可知，一般矩陣當(dāng)行數(shù)與列數(shù)較高時，按定義求秩很麻煩而對于行階梯形矩陣，它的秩就等于非零行的行數(shù)，一看便知毋須計算.因此自然想到用什么方法可把矩陣化為行階梯形矩陣,且變化后兩個矩陣的秩能相等？現(xiàn)作準備工作，給出初等變換的概念！二.矩陣的初等變換矩陣之間的等價關(guān)系具有以下性質(zhì)：c可用初等變換把矩

2、陣B化為行階梯形矩陣但兩個等價矩陣的秩是否相等？下面的定理對此作出肯定回答.定理 1：初等變換不改變矩陣的秩初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.證 經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變, 即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變.例2解例3解下面內(nèi)容與求秩無關(guān)，進一步化簡行階梯形矩陣，看是什么樣子？例 5解 下面討論矩陣的性質(zhì)，前面我們已經(jīng)提出了矩陣秩的一些最基本的性質(zhì)，歸納起來有：證證 以后我們還要介紹兩條常用的性質(zhì)，現(xiàn)在羅列于下： 例 6證引例線性方程組與初等變換關(guān)系回顧消元法解線性方程組求解線性方程組消元法解方程組解于是解得總結(jié)：1

3、上述解方程組的方法稱為消元法2始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍（與相互替換）（以替換）（以替換）3上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的初等行變換練習(xí)：求解發(fā)現(xiàn)：1若A的秩為r,則同解方程組含有r個方程。2同解方程組含方程的個數(shù)變量個數(shù)，則有非零解。=系數(shù)矩陣的秩得到齊次線性方程組有非零解的判定條件證必要性.(),nDnAnAR階非零子式中應(yīng)有一個則在設(shè)=(),根據(jù)克拉默定理個方程只有零解所對應(yīng)的nDn從而這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR即用反證法，充分性.(),nrAR=設(shè).個自由未知量從而知其有rn-任取一個自由未知量為，其余自由未知量為，即可得方程組的一個非零解 .推論：小結(jié)(2)初等變換法1. 矩陣秩的概念2. 求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));推論