1、第五節(jié) 定積分在幾何上應(yīng)用一、元素法二、平面圖形面積三、旋轉(zhuǎn)體體積四、平行截面面積為已知立體體積五、平面曲線弧長六、旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積七、小結(jié) 思考題第1頁第1頁回顧曲邊梯形求面積問題一、元素法abxyo第2頁第2頁面積表示為定積分環(huán)節(jié)下列（3） 求和，得A近似值第3頁第3頁abxyo（4） 求極限，得A準確值提醒面積元素第4頁第4頁第5頁第5頁元素法普通環(huán)節(jié)：第6頁第6頁這個辦法通常叫做元素法應(yīng)用方向：平面圖形面積；體積；平面曲線弧長；功；水壓力；引力和平均值等第7頁第7頁曲邊梯形面積曲邊梯形面積二、平面圖形面積1、直角坐標系情形第8頁第8頁解兩曲線交點面積元素選 為積分變量第9頁第9頁解兩曲線交

2、點選 為積分變量第10頁第10頁于是所求面積闡明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)形式問題：積分變量只能選 嗎？第11頁第11頁解兩曲線交點選 為積分變量第12頁第12頁假如曲邊梯形曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形面積第13頁第13頁解橢圓參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積第14頁第14頁面積元素曲邊扇形面積2、極坐標系情形第15頁第15頁解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積第16頁第16頁解利用對稱性知第17頁第17頁 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓錐圓臺三、旋轉(zhuǎn)體體積第18頁第18頁xyo旋轉(zhuǎn)體體積為第19頁第19頁解直線 方程為第20頁第

3、20頁第21頁第21頁解第22頁第22頁第23頁第23頁解第24頁第24頁第25頁第25頁補充利用這個公式，可知上例中第26頁第26頁解體積元素為第27頁第27頁四、平行截面面積為已知立體體積 假如一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸各個截面面積，那么，這個立體體積也可用定積分來計算.立體體積第28頁第28頁解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積第29頁第29頁解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積第30頁第30頁五、平面曲線弧長第31頁第31頁弧長元素弧長1、直角坐標情形第32頁第32頁解所求弧長為第33頁第33頁解第34頁第34頁曲線弧為弧長2、參數(shù)方程情形第35頁第35頁

4、解星形線參數(shù)方程為依據(jù)對稱性第一象限部分弧長第36頁第36頁證第37頁第37頁依據(jù)橢圓對稱性知故原結(jié)論成立.第38頁第38頁曲線弧為弧長3、極坐標情形第39頁第39頁解第40頁第40頁解第41頁第41頁 設(shè)一旋轉(zhuǎn)體側(cè)面由一段曲線 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而得.為求其面積A,在a,b上取典型小區(qū)間x,x+dx,相應(yīng)于此區(qū)間上窄帶形側(cè)面可近似地當作弧微分ds繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成.六、旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積第42頁第42頁于是這一窄帶形側(cè)面能夠用一個半徑為|f(x)|、高為ds圓柱面來近似代替,從而得側(cè)面積微分元素因此此處假設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo)第43頁第43頁例19 求半徑為R球表面積解 以球心為原點建立一平面直角坐標系,則該球是平面上半圓盤 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成旋轉(zhuǎn)體,其表面積為第44頁第44頁求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形面積.（注意恰當選擇積分變量有助于簡化積分運算）七、小結(jié)第45頁第45頁旋轉(zhuǎn)體體積平行截面面積為已知立體體積繞 軸旋轉(zhuǎn)一周繞 軸旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周第46頁第46頁平面曲線弧長概念直角坐標系下參數(shù)方程情形下極坐標系下弧微分概念求弧長公式第47頁第47頁思考題第48頁第48頁思考題解答交點立體體積第49頁第49頁練 習(xí) 題1第50頁第50頁第51頁第51頁第52頁第52頁練習(xí)題1答案第53頁第53頁練 習(xí)