1、第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1 矩 陣 的 初 等 變 換 二、消元法解線性方程組一、矩陣的初等變換1、定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)2、定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng) 稱為初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同逆變換逆變換逆變換等價關系的性質：具有上述三條性質的關系稱為等價3、定義3 如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作A B解用“回代”的方法求出解：小結：1上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程

2、次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍（與相互替換）（以替換）（以替換）3上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算若記則對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣B(方程組 (1) 的增廣矩陣）的變換特點：（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個臺階 只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元都稱為行階梯形矩陣和矩陣4、特點：（1）是行階梯形矩陣（2）非零行的第一個

3、非零元為1非零首元1所在的列其他元素為0都稱為行最簡形矩陣矩陣5、行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標準形例如，例1 將下列矩陣化為行最簡形，標準形2、三種初等矩陣例2 以下矩陣是否初等矩陣?4、初等矩陣均可逆3、初等矩陣的轉置矩陣仍為初等矩陣.四、初等矩陣的應用例4 定理1 設 A 是一個 m n 矩陣 , 對 A 施行一次初等行變換，相當于在 A 的左邊乘以相應的 m 階初等矩陣；對 A 施行一次初等列變換 , 相當于在 A 的右邊乘以相應的 n 階初等矩陣.初等變換初等矩陣左乘：行變右乘：列變五、初等行變換求逆矩陣 解例5例6解2 矩 陣 的 秩一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法三、矩陣

4、秩的一些結論一、矩陣秩的概念矩陣的秩顯然有：例1解例2解計算A的3階子式，例3解問題：經(jīng)過初等變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法1、初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.2、例2 另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！例4行初等變換則這個子式便是 A 的一個最高階非零子式.例5解分析：例6解：第二、三行元素成比例，所以，另解因為R(A)=2，所以所有的三階子式都等于零。所以例7三、矩陣秩的一些結論9.例7 設A為n階矩陣，證明利用(A+E)-(A-E)=2E3 線 性 方 程 組 的 解一、線性方程組有解的判定條件二、線性方程

5、組的解法一、線性方程組有解的判定條件 線性方程組系數(shù)矩陣為線性方程組可記為：復習，引入m=n 時, A 是 n 階方陣 , 若 |A| 0 , 則可用克拉默法則求唯一解，或用 A 的逆矩陣表示解 若 解唯一D =|A| 0； 解不唯一或無解，則D =|A| =0 若|A| =0，則有解時如何求解？2) 對一般的情況mn如何判定有沒有解? 有解時如何求解?例1 若某方程組經(jīng)同解變換化為顯然，有唯一解.例2 若某方程組經(jīng)同解變換化為顯然，無解.例3 解方程組解無解.例4 解方程組解為方程組的全部解. 增廣矩陣經(jīng) 行 初等變換化為行最簡形矩陣，該階梯形與方程組解的關系：行最簡形矩陣中非零行的行數(shù)未知

6、量個數(shù)無窮多解該數(shù)不為零，無解行最簡形矩陣中非零行的行數(shù)=未知量個數(shù)唯一解1. 非齊次線性方程組有唯一解bAx=()()nBRAR=()()nBRAR=有無窮多解.bAx=無解bAx=()()BRAR例5 求解齊次線性方程組二、線性方程組的解法例6 求解齊次線性方程組例7 求解齊次線性方程組2. 齊次方程方程組例8 求解非齊次線性方程組故方程組無解例9 求解非齊次線性方程組例10 求解非齊次方程組的通解例11 設有線性方程組解其通解為這時又分兩種情形：另解:由于方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)可考慮用下面的方法:齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解.求解線性方程組步驟:求非齊次線性方程組 練習：求齊次線性方程組 練習1： 討論a取何值時，方程組有唯一解？ 有無窮多解？無解？練習2：方程組何時有解， 并求其通解 三、推廣到矩陣方程定理7 矩陣方程AX=B有解充要條件是R(A)=R(A,B).定理8 設AB=C,則定理9 矩陣方程 只有零解的充分必要條件是R(A)=n.()()nBRAR=()()nBRAR=有無窮多解.bAx=