1、第二章 邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)2.1 基本邏輯運(yùn)算2.2 邏輯函數(shù)變換和化簡(jiǎn)2.3 邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法本章要求： 掌握邏輯代數(shù)基本公式、運(yùn)算定律、規(guī)則。熟悉邏輯函數(shù)表示辦法以及邏輯函數(shù)公式法化簡(jiǎn)。掌握卡諾圖及用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)辦法。第1頁(yè)第1頁(yè) 2.1 基本邏輯運(yùn)算數(shù)字電路研究是電路輸入輸出之間邏輯關(guān)系，邏輯關(guān)系普通用邏輯函數(shù)來(lái)描述，因此數(shù)字電路又稱(chēng)邏輯電路，相應(yīng)研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)是由邏輯變量和基本邏輯運(yùn)算符構(gòu)成表示式，其變量只能取兩個(gè)值（二值變量），即0和1，中間值沒(méi)故意義。0和1表示兩個(gè)對(duì)立邏輯狀態(tài)。比如：電位低高（0表示低電位，1表示高電位）、開(kāi)關(guān)開(kāi)合

2、等。A 為原變量， 為反變量 第2頁(yè)第2頁(yè) 1. 基本運(yùn)算公式(0-1律，還原律) 與（乘） 或（加） 非第3頁(yè)第3頁(yè) 2. 基本運(yùn)算定律結(jié)合律互換律分派律普通代數(shù)不合用!第4頁(yè)第4頁(yè)證實(shí):右邊 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分派律=A +A(B+C)+BC ; 結(jié)合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 結(jié)合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左邊第5頁(yè)第5頁(yè)吸取律: 吸取多出（冗余）項(xiàng)，多出（冗余）因子被取消、去掉 被消化了。)（1）原變量吸?。鹤C實(shí)：A+AB=A(1+B)=A1=A長(zhǎng)中含短，留下短。（2）反變量吸?。鹤C實(shí)：長(zhǎng)中含反，

3、去掉反。想一想： ?第6頁(yè)第6頁(yè)（3）混合變量吸取：證實(shí)：1吸取正負(fù)相對(duì)，余全完。第7頁(yè)第7頁(yè)反演律（德 摩根 (De Morgan)定理）能夠用列真值表辦法證實(shí)：第8頁(yè)第8頁(yè) 3. 基本運(yùn)算規(guī)則（1）運(yùn)算順序：先括號(hào) 再乘法 后加法。（2）代入規(guī)則：在任何一個(gè)包括變量 A 邏輯 等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有 A 位置，則等式仍然成立。例：已知?jiǎng)t得到第9頁(yè)第9頁(yè)（3）反演規(guī)則：將函數(shù)式 F 中所有 + 變量與常數(shù)均取反 （求反運(yùn)算）互補(bǔ)運(yùn)算2.不是一個(gè)變量上反號(hào)不動(dòng)。注意:用處：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。新表示式：F顯然：1. 變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算先后順序不變第10頁(yè)第10頁(yè)例1：與或

4、式注意括號(hào)注意括號(hào)第11頁(yè)第11頁(yè)例2：與或式反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)第12頁(yè)第12頁(yè)（4）對(duì)偶規(guī)則：若兩邏輯式相等，則它們對(duì)偶式也相等。對(duì)偶式：對(duì)于任何一個(gè)邏輯式 Y， 若將其中 “” 換成 “+”， “+” 換成 “”，0 換成 1，1 換成 0， 則得到一個(gè)新邏輯式 Y， 則 Y 叫做 Y 對(duì)偶式對(duì)偶式第13頁(yè)第13頁(yè)2.2 邏輯函數(shù)變換和化簡(jiǎn)四種表示辦法邏輯代數(shù)式 (邏輯表示式, 邏輯函數(shù)式)11&1ABY 邏輯電路圖:卡諾圖n個(gè)輸入變量 種組合。真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值不同組合與所對(duì)應(yīng)輸出變量值用列表方式一一對(duì)應(yīng)列出表格。2.2.1 邏輯函數(shù)表示辦法：四種，并可互相轉(zhuǎn)換第14頁(yè)第14頁(yè)

5、1、 從真值表寫(xiě)出邏輯函數(shù)式不同表示方法之間相互轉(zhuǎn)換：普通辦法：（1）找出真值表中是邏輯函數(shù)為1那些輸入變量取值組合；（2）每組輸入變量取值組合相應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為 1 寫(xiě)入原變量，取值為 0 寫(xiě)入反變量；（3）將這些乘積項(xiàng)相加，即得輸出邏輯函數(shù)式。第15頁(yè)第15頁(yè)比如：由左圖所表示三變量邏輯函數(shù)真值表，可寫(xiě)出其邏輯函數(shù)式：驗(yàn)證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出相應(yīng)輸出狀態(tài)。第16頁(yè)第16頁(yè)辦法：普通按二進(jìn)制順序，輸出與輸入狀態(tài)一一相應(yīng)，列出所有也許狀態(tài)。比如：2、 從邏輯函數(shù)式寫(xiě)出真值表第17頁(yè)第17頁(yè)3、 從邏輯函數(shù)式畫(huà)出邏輯圖辦法：圖形符號(hào)代替式中運(yùn)算符號(hào)即可例：已

6、知邏輯函數(shù)為畫(huà)出相應(yīng)邏輯圖&C1A1 1B&1 Y第18頁(yè)第18頁(yè)邏輯代數(shù)式是把邏輯函數(shù)輸入、輸出關(guān)系寫(xiě)成與、或、非等邏輯運(yùn)算組合式。也稱(chēng)為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”形式。例： 一個(gè)邏輯函數(shù)能夠表示為不同表示式。對(duì)應(yīng)邏輯圖也不同。實(shí)際應(yīng)用中，電路越簡(jiǎn)樸，可靠性越高，成本越低，故常需對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變換和化簡(jiǎn)。第19頁(yè)第19頁(yè)2.2.2 邏輯函數(shù)變換和化簡(jiǎn)與-或式：由幾種乘積項(xiàng)相加構(gòu)成邏輯式?；?jiǎn)目的：得到邏輯函數(shù)最簡(jiǎn)形式。最簡(jiǎn)與-或式：邏輯式中包括乘積項(xiàng)已經(jīng)至少，并且每個(gè)乘積項(xiàng)里因子至少。通常先化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)與-或式，再轉(zhuǎn)換成其它形式第20頁(yè)第20頁(yè)2.2.2 邏輯函數(shù)變換和化簡(jiǎn)（公式法） 重復(fù)使用

7、邏輯代數(shù)基本公式和慣用公式消去函數(shù)式中多出乘積項(xiàng)和多出因子，以得到函數(shù)式最簡(jiǎn)形式。例1：(1)吸取法:利用第21頁(yè)第21頁(yè)例2：反變量吸取提出AB=1，并項(xiàng)提出A (2) 并項(xiàng)法: 第22頁(yè)第22頁(yè)例3：化簡(jiǎn)（3）配項(xiàng)法化簡(jiǎn)例4：第23頁(yè)第23頁(yè)化簡(jiǎn)（4）加項(xiàng)法例5：再看一例題第24頁(yè)第24頁(yè)例5：化簡(jiǎn)吸取吸取吸取吸取第25頁(yè)第25頁(yè) 利用公式法進(jìn)行化簡(jiǎn)問(wèn)題： 復(fù)雜 技巧性強(qiáng) 是否最簡(jiǎn)尚不得而知 第26頁(yè)第26頁(yè) 2.3 邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法 2.3.1. 最小項(xiàng)和最大項(xiàng)一、最小項(xiàng)1、定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包括n個(gè)因子乘積項(xiàng)，并且這幾種變量均以原變量或反變量形式在m中出現(xiàn)一次，則稱(chēng)m

8、為該組變量最小項(xiàng)。 即輸入變量每一個(gè)組合，它構(gòu)成邏輯函數(shù)基本單元。2、特點(diǎn)：第27頁(yè)第27頁(yè) （1） n變量最小項(xiàng)應(yīng)為2n個(gè)； （2）在輸入變量任何取值下必有一個(gè)最小 項(xiàng)并且僅有一個(gè)最小項(xiàng)值為1; （3） 全體最小項(xiàng)之和為1; （4） 任意兩個(gè)最小項(xiàng)乘積為0; （5）相鄰性：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不 同則這兩個(gè)最小項(xiàng)含有相鄰性。 （6）含有相鄰性兩個(gè)最小項(xiàng)之和能夠合并 成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子;第28頁(yè)第28頁(yè)以三變量邏輯函數(shù)為例分析最小項(xiàng)表示及特點(diǎn)最小項(xiàng)使最小項(xiàng)為1變量取值相應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101234567

9、m0m1m2m3m4m5m6m7變量賦值為1時(shí)用該變量表示；賦0時(shí)用該變量反來(lái)表示。可見(jiàn)輸入變量八種狀態(tài)分別唯一地相應(yīng)著八個(gè)最小項(xiàng)。第29頁(yè)第29頁(yè) 當(dāng)輸入變量賦值使某一個(gè)最小項(xiàng)等于1時(shí)，其它最小項(xiàng)均等于0。第30頁(yè)第30頁(yè)之因此稱(chēng)之為最小項(xiàng)，是由于該項(xiàng)已包括了所有輸入變量，不也許再分解。比如：對(duì)于三變量邏輯函數(shù)，假如某一項(xiàng)變量數(shù)少于3個(gè)，則該項(xiàng)可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個(gè)，則該項(xiàng)不能繼續(xù)分解。第31頁(yè)第31頁(yè)相鄰 最小項(xiàng)合并：若兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰則能夠消去一對(duì)互反因子合并成一項(xiàng)。 第32頁(yè)第32頁(yè)邏輯相鄰邏輯相鄰項(xiàng)能夠合并，消去一個(gè)因子第33頁(yè)第33頁(yè)二、最大項(xiàng)1、定義：在n變量邏輯函數(shù)中，

10、若M為n個(gè)變量之和，并且這幾種變量均以原變量或反變量形式在M中出現(xiàn)一次，則稱(chēng)M為該組變量最大項(xiàng)。2、特點(diǎn)： （1）n變量最大項(xiàng)應(yīng)為2n個(gè)。 （2） 輸入變量每一組取值都使一個(gè)且 僅有相應(yīng)最大項(xiàng)值等于0。第34頁(yè)第34頁(yè)（3）全體最大項(xiàng)之積為0；（4）任意兩個(gè)最大項(xiàng)和為1；（5）相鄰性：若兩個(gè)最大項(xiàng)只有一個(gè)因子不同則這兩個(gè)最大項(xiàng)含有相鄰性。（6）含有相鄰性兩個(gè)最大項(xiàng)之積能夠合并成一項(xiàng)并消去一對(duì)因子;第35頁(yè)第35頁(yè)最大項(xiàng)使最大項(xiàng)為0變量取值相應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101234567M0M1M2M3M4M5M6M7第3

11、6頁(yè)第36頁(yè)三、最大項(xiàng)和最小項(xiàng)之間關(guān)系比如第37頁(yè)第37頁(yè)2.3.2 邏輯函數(shù)兩種原則形式 能夠把任何一個(gè)邏輯函數(shù)普通表示式化為最小項(xiàng)之和原則形式利用1. 最小項(xiàng)之和形式原則與或表示式第38頁(yè)第38頁(yè)比如 給定邏輯函數(shù)則可化為第39頁(yè)第39頁(yè)例：將邏輯函數(shù)展開(kāi)為最小項(xiàng)之和形式第40頁(yè)第40頁(yè)2. 最大項(xiàng)之積形式任何一個(gè)邏輯函數(shù)都能夠化成最大項(xiàng)之積原則形式若給定則第41頁(yè)第41頁(yè)例：將邏輯函數(shù)展開(kāi)成最大項(xiàng)之積形式解：已求得第42頁(yè)第42頁(yè)2.3.3 卡諾圖 卡諾圖：將n個(gè)輸入變量所有最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰最小項(xiàng)放在相鄰幾何位置上，所得到陣列圖就是n變量卡諾圖。第43頁(yè)第43頁(yè)m

12、3m2m1m0AB0 101m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD00 01 11 1000 01 11 10m6m7m5m4m2m3m1m000 01 11 1001ABC表示最小項(xiàng)卡諾圖兩變量卡諾圖四變量卡諾圖三變量卡諾圖闡明：一格一個(gè)最小項(xiàng)相鄰兩格為邏輯相鄰項(xiàng)第44頁(yè)第44頁(yè)有時(shí)為了以便，用二進(jìn)制相應(yīng)十進(jìn)制表示單元格編號(hào)。單元格值用函數(shù)式表示。ABC0001111001F( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 )1,2,4,7單元取1，其它取0 A B C 編號(hào) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1

13、3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7第45頁(yè)第45頁(yè)ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格編號(hào):第46頁(yè)第46頁(yè)從真值表到卡諾圖：相應(yīng)填寫(xiě)2.3.4 邏輯函數(shù)卡諾圖表示 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB01010111輸出變量Y值輸入變量例1：二輸入變量卡諾圖第47頁(yè)第47頁(yè)邏輯相鄰：相鄰單元輸入變量取值只能有一位不同。0100011110 ABC00000111輸入變量輸出變量Y值A(chǔ) B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1例2：

14、三輸入變量卡諾圖注意：00與10邏輯相鄰。第48頁(yè)第48頁(yè)ABCD0001111000011110四變量卡諾圖編號(hào)為0010單元相應(yīng)于最小項(xiàng)：ABCD=0100時(shí)函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)。只有一項(xiàng)不同例3：四輸入變量卡諾圖第49頁(yè)第49頁(yè)2.3.4 邏輯函數(shù)卡諾圖表示把邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和形式；在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)相應(yīng)位置添1；在其余位置上添入0；任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于它卡諾圖中添入 1 那些最小項(xiàng)之和。從函數(shù)式到卡諾圖：第50頁(yè)第50頁(yè)例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：先將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)之和形式第51頁(yè)第51頁(yè)1101010000100000ABCD00 01 11 1000

15、01 11 10Y第52頁(yè)第52頁(yè)已知函數(shù)卡諾圖，寫(xiě)出該其邏輯式1000100000000101ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y第53頁(yè)第53頁(yè)2.3.5 邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)1. 合并最小項(xiàng)規(guī)則：個(gè)最小項(xiàng)相鄰并排成一個(gè)矩形組，假如由則它們能夠合并為一項(xiàng)，并消去n對(duì)互反因子。n=1，合并一對(duì)因子n=2，合并兩對(duì)因子第54頁(yè)第54頁(yè)0110101100 01 11 1001ABC0100111010110100ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y合并兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)第55頁(yè)第55頁(yè)1111111100 01 11 1001ABC1101111111111101

16、ABCD00 01 11 1000 01 11 10Y合并四個(gè)相臨最小項(xiàng)第56頁(yè)第56頁(yè)1001111111111001ABCD00 01 11 1000 01 11 10YB合并八個(gè)相臨最小項(xiàng)第57頁(yè)第57頁(yè)2. 卡諾圖化簡(jiǎn)環(huán)節(jié)將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和形式；畫(huà)出表示該邏輯函數(shù)卡諾圖；找出能夠合并最小項(xiàng)；選取化簡(jiǎn)后乘積項(xiàng)；合并圈選?。喝簩幋笪鹦?； 圈數(shù)寧少勿多； 圈圈含新第58頁(yè)第58頁(yè)例1：化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001111000011110A第59頁(yè)第59頁(yè)1110101100 01 11 1001ABC解：例

17、2：化簡(jiǎn)第60頁(yè)第60頁(yè)例3：化簡(jiǎn)解：1001000000101001ABCD00 01 11 1000 01 11 10F第61頁(yè)第61頁(yè)例4：化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解：由Y畫(huà)出卡諾圖，得出1111111011101111ABCD00 01 11 1000 01 11 10F想一想：能否圈 0？第62頁(yè)第62頁(yè)3. 含有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 舉例闡明：三個(gè)邏輯變量A、B、C分別表示 一臺(tái)電動(dòng)機(jī)正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止命令。 A=1 表示正轉(zhuǎn)，B=1 表示反轉(zhuǎn)， C=1 表示停止也許取值只有001，010，100當(dāng)中某一個(gè)； 而000，011，101，110，111中任何一個(gè)都不也許出現(xiàn)，可表示為：（1）約束

18、項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中無(wú)關(guān)項(xiàng)第63頁(yè)第63頁(yè) 約束項(xiàng)：這些恒等于 0 最小項(xiàng)。 由于函數(shù)對(duì)輸入變量取值所加限制而產(chǎn)生，主線不會(huì)出現(xiàn)，故寫(xiě)進(jìn)函數(shù)式中不會(huì)改變函數(shù)值?；虻?4頁(yè)第64頁(yè) 任意項(xiàng)：在輸入變量一些取值下函數(shù)值是1是0皆可，并不影響電路功效,在這些變量取值組合下，其值等于1那些最小項(xiàng)。 無(wú)關(guān)項(xiàng)：約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱(chēng),慣用d 表示。 約束項(xiàng)和任意項(xiàng)即能夠?qū)懭牒瘮?shù)式，也可從函數(shù)式中刪掉，不影響函數(shù)值。第65頁(yè)第65頁(yè)（2） 含有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn) 在真值表和卡諾圖中用（或）表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。 合并最小項(xiàng)時(shí)，無(wú)關(guān)項(xiàng)即可作為0（圈0）又可作為1（圈1），以期得到最大圈。例5：化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)約束條件：解：第66頁(yè)第66頁(yè)例6：利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解：由F畫(huà)出卡諾圖，得出1011101110100ABCD00 01 11 1000 01 11 10F第67頁(yè)第67頁(yè)我們來(lái)分析一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：某水庫(kù)設(shè)有三個(gè)水位檢測(cè)點(diǎn)，裝有A、B、C三個(gè)干濕傳感器，當(dāng)傳感器被水浸泡時(shí)輸出1，不然（不浸水時(shí)）輸出0。該水庫(kù)有大小兩個(gè)閘門(mén)GL、GS。A為警戒水位點(diǎn)，B比警戒水位A高1米，C比警戒水位高2米