1、點 , 直 線 , 平 面 之 間 的 位 置 關 系 一,平面的基本性質 公理 1: 假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi) , 那么這條直線在這個平面內(nèi) . 公理 2: 過不在同始終線上的三點 , 有且只有一個平面 . 留意 : 1 過一條直線和直線外一點 公理 3:2如 果 經(jīng)兩 過個 兩不 條重 相合 交的 直平 線面有一個公共點 均,有那且么只它有們一有個且平只面有一條過該點公共直線 . 3 經(jīng)過兩條平行直線 用途 公理 1 證明點在平面內(nèi) 證明直線在平面內(nèi) 公理 2 確定平面的條件 證明有關點,線共面問題 公理 3 確定兩個平面的交線 證明三點共線或三線共點 二,空間直線與直線的位置關系

2、 1,位置關系 : 共面 平行 共面與否 相交 一個公共點 : 相交 異面 公共點個數(shù) 平行 2,公理 4平行公理 : 平行于同始終線的兩條直線相互平行無公.共點異面 3,公理 5: 空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行 , 那么這兩個角相等或互補 . 4,異面直線的夾角 : 定義 : 已知兩條異面直線 a, b 經(jīng)過空間任意一點 O 作直線 a a,b b, 們把兩相交直線 a ,b 所成的銳角 或直角 叫做異面直線 a,b 所成的角 我 或夾角 . 范疇 : 0, 2 . 特別地 : 假如兩異面直線所成的角是 b. 三,空間中的直線與平面的位置關系 90 , 我們就稱這兩條直線相互垂直 ,

3、記作 a 四,平面與平面的位置關系有兩種 平行 無公共點 相交 有一條公共直線 【例 1】以下命題中正確選項 A. 三點確定一個平面 B. 兩條直線確定一個平面 C. 兩兩相交的三條直線確定在同一平面內(nèi) D. 過同一點的三條直線不愿定在同一平面內(nèi) 解析 :A, B, C 均不中意公 2 及其推論 , 故 D 正 理 【例 2】如 A 表示點 ,a 表示直線 , , 表示平面 , 就以下表述中 , 錯誤選項 確 . .,A a.A .,A a.A. 第 1 頁,共 7 頁 ,A, =a.Aa a,A . .a. 解析 :a . 的含義是 a 上全部點都在平面 , 故 A 正確 ; 反之直線 a

4、上有一點不 上 在 上 , 就說明 a., 故 D 正確 , 但是 a. 并不代表全部點都不在 , 故 B 上 錯誤 .C 就是公理 3, 故 C 正 答案:B 確. 【例 3】給出下面四個命題 : 假如直線 ac,b c, 那么 a,b 可以確定一個平面 ; 假如直線 a 和 b 都與直線 c 相交 , 那么 a,b 可以確定一個平面 ; 假如 a c,b c, 那么 a,b 可以確定一個平面 ; 直線 a 過平面 內(nèi)一點與平面 外一 點 和 b 是異面直線 . 上述命題中 , 真命題的個數(shù)是 個 個 個 個 , 直線 b 在平面 內(nèi)不過該點 , 那么 a 解析 : 中, 由公理 4 知,a

5、 b, 故正確 ; 中 ,a,b 可能異面 , 故錯誤 ; 中 ,a,b 可能異面 , 故錯誤 ; 正確 . 答案 :B 【例 4】在正方體 ABCD A B C D中 ,E .F 分別為棱 AA.CC的中點 , 就在 空間中與三條直線 A D .EF.CD 都相交的直線 A. 不存在 B. 有且只有兩條 C. 有且只有三條 D. 有許多條 【例 5】三條直線兩兩垂直 , 那么在以下四個結論中 , 正確的結論共有 這三條直線必共點 ; 其中必有兩條是異面直線 中必有兩條在同一平面內(nèi) 個 個 個 個 ; 三條直線不行能共面 ; 其 解析 :1 三條直線兩兩垂直時 , 它們可能共點 如正方體同一個

6、頂點上的三條棱 , 也可能不共點 如正方體 ABCDA1B1C1D1中的棱 AA1,AB,BC, 故結論不正 確, 也說明必有結論不正確 ; 假如三條直線在同一個平面內(nèi) , 依據(jù)平面幾何 中的垂直于同一條直線的兩條直線平行 , 就導出了其中兩條直線既平行又垂 直的沖突結論 , 故三條直線不行能在同一個平面內(nèi) 三條直線兩兩垂直 , 這三條直線可能任何兩條都不相交 , 結論正確 ; , 即任意兩條都異面 如正 方體 ABCD A1B1C1D1中的棱 AA1,BC和 C1D1,故結論不正確 . 應 類型一 點共線問題 選 D. 解題預備 : 證明共線問題的常用方法 1 可由兩點連一條直線 , 再驗證

7、其他各點均在這條直線上 ; 2 可直接驗證這些點都在同一條特定的直線上相交兩平面的唯獨交線 , 關 鍵是通過繪出圖形 , 作出兩個適當?shù)钠矫婊驇兔ζ矫?, 證明這些點是這兩個 平面的公共點 . 【例 1】 已知正方體 ABCD A1B1C1D1中 ,E .F 分別為 D1C1.C1B1 的中點 ,AC BD=P,A1C1 EF=Q.求證 : 1D .B.F.E 四點共面 ; 2 如 A1C 交平面 DBFE 于 R 點, 就 P.Q.R 三點共線 . 第 2 頁,共 7 頁 解 1 如以下圖 , 由于 EF 是D1B1C1 的中位所以 EFB1D1. 線 , 在正方體 AC1 中 ,B1D1B

8、D, 所以 EFBD. 所以 EF,BD 確定一個平面 , 即 D.B.F.E 四點共面 . 2 在正方體 AC1 中, 設 A1ACC1 確定的平面為 , 又設平面 BDEF 為 . 由于 QA1C1,所以 Q , 又 QEF,所以 Q . 就 Q 是 與 的公共點 , 同理 ,P 點也是 與 的公共 . 點 所以 =PQ. 又 A1C =R, 所以 RA1C,R 且 R , 就 RPQ,故 P.Q.R 三點共線 . 類型二 線共點問題 解題預備 : 證明共點問題 , 常用的方法是 : 先證其中兩條直線交于一點 , 再證交點 在第三條直線上 , 有時也可將問題轉化為證明三點共線 . 【例 2

9、】 如以下圖 , 已知正方體 ABCDA1B1C1D1中,E .F 分別為棱 AB,AA1 的中 點. 求證 : 三條直線 DA,CE,D1F 交于一點 . 證明： 直線 DA.平面 AD1,直線 D1F.平面 AD1,明顯直線 DA 與直線 D1F 不平行 , 設 直線 DA 與直線 D1F 交于點 M. 同樣 , 直線 DA 與直線 CE 都在平面 AC 內(nèi)且不平行 , 設直線 AD 與直線 CE 相交 于點 M. 又 E.F 為棱 AB.AA1 的中點 , 易知 MA=AD,MA=AD,所以 M.M為直線 AD 上的同 一點 , 因此 , 三條直線 DA.CE.D1F 交于一點 . 類型

10、三 線共面問題 證明共面問題的常用方法： 證明如干條線 或如干個點 共面 , 一般來說有兩種途徑 : 一是第一由題給條件中 的部分線 或點 確定一個平面 , 然后再證明其余的線 或點 均在這個平面內(nèi) ; 二是將全部元素分為幾個部分 , 然后分別確定幾個平面 , 再證這些平面重合 . 類型四 異面直線所成的角 解題預備 : 1. 求異面直線所成的角 , 關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直 線相交 , 或將兩條直線同時平移到某個位置 直線平移 , 中位線平移 , 補形平移 . , 使其相交 . 平移直線的方法有 : 2. 求異面直線所成的角的一般步驟 : 一作: 即據(jù)定義作平行線 ,

11、 作出異面直線所成 的角 ; 二證 : 即證明作出的角是異面直線所成的角 ; 三求 : 在三角形中求得直 線所成的角的某個三角函數(shù)值 . AD=1,BC= ,3 且 AD BC,對角線 【例 3】 在空間四邊形 ABCD 中 , 已BD 13 , AC 知 3, 22第 3 頁,共 7 頁求 AC 和 BD 所成的角 . 解：作平行線 , 找與異面直線所成的角相等的平面角 , 將空間問題轉化為平面問 題. 如圖 , 分別取 AD.CD.AB.BD的中點 E.F.G.H,連接 EF.FH.HG.GE.GF. 由 三 角 形 的 中 位 線 定 理 知 ,EF AC, 且 EF= GH 3,GE

12、BD,且 GE= 13 .GE 和 EF 4 4所成的銳角 或直角 就是 AC 和 BD12 所 成, HF 的 2 3角 . 同 理 , GH AD,HF BC. 又 AD BC, GHF=90 , GF2=GH2+HF2=1. 實戰(zhàn)演練 一,選擇題： . 1以下命題正確選項 （ ） A兩個平面可以只有一個交點 B一條直線與一個平面最多有一個公共點 C兩個平面有一個公共點,它們可能相交 D兩個平面有三個公共點,它們確定重合 2下面四個說法中,正確的個數(shù)為 （ ） （ 1）假如兩個平面有三個公共點,那么這兩個平面重合 （ 2）兩條直線可以確定一個平面 （ 3）如 M, M, l ,就 Ml （

13、 4）空間中,相交于同一點的三直線在同一平面內(nèi) A 1 B2 C 3 D4 3ABCDA1B1C1D1 是正方體, O B1D1的中點,直線 A1C 交平面 AB1D1于點 M,就 以下結論中錯誤選項 是 （ ） A A, M,O 三點共線 BM,O,A1,A 四點共面 C A, O,C,M 四點共 DB,B1,O,M 四點共4已知平面 內(nèi)有許多條直線都與平面 平行,那 面 面 么 （ ） A B 與 相 C 與 重 D 或 與 5兩等角的一組對應邊平行,就 交 合 相交 （ ） A另一組對應邊平行 C另一組對應邊也不行能垂直 B另一組對應邊不平行 D以上都不對 6如以下圖,點 S 在平面 A

14、BC 外, SBAC,SB ACE ,F 分別是 SC 和 AB 的中點,就 EF 的長是 2, ） （ A 1 B 2第 4 頁,共 7 頁C 2D 1 2E,F 分別為 AB,CD 27平面 平面 , AB,CD 是夾在 和 間的兩條線 的中點, 就 EF 與 的關系（ ） D不能確定 A平行 是 B相交 C垂直 8經(jīng)過平面外兩點與這個平面平行的平面 （ ） D有許多個 A只有一個 B至少有一個 C可能沒有 9已知 ABCD是空間四邊形形, E, F,G,H分別是 AB,BC,CD,DA 的中點,如 果對角線 AC4,BD2,那么 EG2HF2的值等于 （ ） B15 C20 D25 A

15、10 10 如 三 個 平 面 把 空 間 分 成 6 個 部 分 , 那 么 這 三 個 平 面 的 位 置 關 系 是 （ ） A三個平面共線； B有兩個平面平行且都與第三個平面相交； C三個平面共 線,或兩個平面平行且都與第三個平面相交； D三個平面兩兩相交； 二,填空題： 11如以下圖,平面 M,N 相互垂直,棱 l上有兩點 A,B, BAC AC M, BD N,且 ACl ,AB8cm,AC6 cm, BD 24 cm,就 CD 12如以下圖, A 是 BCD 所在平面外一點, M,N 分別是 ABC和 ACD的重心,如 BD6,就 MN 13已知平面 平面P 是 , 外一點,P

16、點的兩條, 過 直 線 PAC,PBD分別交 于 A,B,交 于 C,D,且 PA=6, AC=9,AB=8,就 CD的長為 14在棱長為 a的正方體 ABCDA1B1C1D1中, D1到 B1C的 距離為, A 到 A1C 的距離為 三,解答題：文字說明,證明過程或演算步驟 共 76 分. 15（ 12分）設 P 是 ABC所在平面外一點, P 和 A,B,C的距離相等, 為直角 . 求證：平面 PCB平面 ABC 16（ 12 分）如以下圖,三個平面兩兩相交,有三條交線,求證這三條交線交于 17（ 12分）如以下圖,正方體 ABCD A1B1C1D1中, E,F 分別是 AB,BC的中 一

17、點或相互平行 G 為 DD1上一點, 且 D1G：GD1：2,ACBDO,求證：平面 AGO/平面 D1 18（ 12分）如以下圖,已知空間四邊形 EF ABCD,E,F 分別是邊 AB,AD的中 點, 第 5 頁,共 7 頁F,G 分別是邊 BC,CD 上的點,CF CG 2,求證直線 EF,GH, AC且 CB CD 交 于一點 319（14分）如以下圖,四棱錐 PABCD中,底面 ABCD是矩形, PA平面 M,N 分別是 AB,PC 的中點, PAADa ABCD, （ 1）求證： MN平面 PAD； （ 2）求證：平面 PMC平面 PCD 20（14分）如圖 272,棱長為 a的正方

18、體 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分別是 B1C1, C1D1 的中點, （ 1）求證： E,F,B,D 四點共面； （ 2）求四邊形 EFDB 的面積 參考答案（四） 一, CADDD BACAC 二, 11 26 cm；12 2； 1320 或 4； 14 6a , 6 a； 3CA 2三, 15證明：如答圖所示,取 BC 的中點 D,連PD,AD, D 是直角三角ABC 的斜邊 BC 的中P BD=CD=A,D又 PA=PB=P,CPD 是公共邊 PDA= PDB=POC=9PDBC, PDDA, PD平面 ABC 又 PD 平面 PCB 平面 PCB平面 ABC. 16證明：如

19、答圖所示,設已知平面 ,B P Dl , , l 1, l 2, l 3 ,假如 l ll ll 1, l 2, l 3 中有任意兩條交于一點 P,設 l1 l 2P, 即 Pl 1, P, P,就點 P 在平面 a lb P l 2,那么 , 的 交線 l3 上,即 l 1 , l 2, l 3 交于一點如（ a）圖；假如 l1, D1O H B B1F C1l 2, l 3 中任何兩條都不相交,那么,由于任意兩條都共 面,所以 l 1 l 2 l 3 如（ b）圖. A1G 17如答圖所示,設 EFBD H,在 DD1H 中, DO 2DG , A DCDH 3DD 1GO/D1H,又 G

20、O GO/平面 D1EF, 平面 D1EF, D1H平面 D1EF, E 在 BAO中, BEEF, BHHO, EH/AO AO 平面 D1EF,EH平面 D1EF, AO/ 平面 D1EF, AO GOO,平面 AGO/平面 D1EF. 18如答圖所示, AEEB, AHHD, EH/BD,且 B E A G 第 6 C 頁,共 7 頁EH 1 BD, 2HDF CF CG 2, FG/BD,且 FG 2 BD, CB CD 3 3EH/FG,且 EH FG, 故四邊形 EFGH 為梯形,就 EF 與 GH 必相交, 設交點為 P,P平面 ABC,又 P平面 DAC, 又平面 BAC平面 DAC AC,故 PAC, 即 EF,GH, AC交于一點 . MNB C19證明：如答圖