1、- 高中數(shù)學(xué)必修四第一章學(xué)問點(diǎn)梳理 一,角的概念的推廣 任意角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點(diǎn)從一個位置轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形； 正角,負(fù)角,零角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)成的角叫做正角, 按順時針方向旋轉(zhuǎn)所成的角叫做負(fù)角, 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)所成的叫做零角； 可見, 正確懂得正角,負(fù)角和零角的概, 有轉(zhuǎn)動； 象限角,軸線角 當(dāng)角的頂關(guān)鍵是看射線旋轉(zhuǎn)的方向是逆時針,順時針仍是沒 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合, 角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合時, 那么角的終邊在第幾象限 （終邊的端點(diǎn)除外） ,就說這個角是第幾象限角； 當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合, 角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合時, 終邊落在坐標(biāo)軸上

2、的角叫做軸 線角； 終邊相同角 全部與角 終邊相同的角,連同角 在內(nèi),可構(gòu)成集合 S= | = +k 360 ,k Z ,即任 一與角 終邊相同的角,都可以表示成角 與整數(shù)個周角的和； 二,弧度制 角度定義制 規(guī)定周角的 1 為一度的角,記做 1, 60 進(jìn)制； 360 這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制,角度制為 弧度制定義 1 ,長度等于半徑的弧度所對的圓心角叫做 制叫做弧度制； 1 弧度記做 1rad ； 2 ,依據(jù)圓心角定理,對于任意一個圓心角 1 弧度的角；用弧度作為單位來度量角的單位 ,它所對的弧長與半徑的比與半徑的大小無 關(guān),而是一個僅與角 有關(guān)的常數(shù),故可以取為度量標(biāo)準(zhǔn)

3、； 弧度數(shù) 一般地,正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是 | 0. 假如 半徑為 r 的圓的圓心角 所對的弧的長為 l ,那么,角 的弧度數(shù)的確定值是 l ； 的正負(fù)由角 的終邊的旋轉(zhuǎn)方向準(zhǔn)備,逆時針方向?yàn)檎?順時針方向?yàn)閞 負(fù)； 三,任意角的三角函數(shù) 任意角的三角函數(shù)的定義 設(shè) 是一個任意大小的角, 的終邊上任意sin P 的坐標(biāo)是（ x,y ）,它與原點(diǎn)的距離 r（ r x2 y2 0 ）,那么 點(diǎn) y ； 1,比值 y 叫做 的正弦,記sin ,即 r 做 r 第 1 頁,共 5 頁- - 2,比值 x 叫做 的余弦,記做 cos ,即 cos x； r r 3

4、,比值 y 叫做 的正切,記 tan ,即 tan y ； 做 x x 另外,我們把比值 x 叫做 的余切,記 cot ,即 cot x ；把比值 r 叫做 的正 做 割, y y x 記做 sec ,即 sec r ；把比值 r 叫做 的余割,記 csc ,即 csc r ； 做 x y y 對于一個確定的角 ,上述的比值是唯獨(dú)確定的, 它們都可以看成從一個角的集合到一個比 值的集合的映射,是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù),我們把它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)； 誘導(dǎo)公式一 終邊相同角的同一個三角函數(shù)的值相等； sin k 2 sin , cos k 2 cos , tan k 2 tan ,以上

5、k Z； 利用此公式,可以把球求任意角的三角函數(shù)值化為求 正弦線,余弦線,正切線 0 到 2 角的三角函數(shù)值； y 1,如以下圖,設(shè)任意角 的終邊與單位圓交于 P（ x,y ）,那么 y y 點(diǎn) sin y , P r 1 x x cos x ； oM x r 1 過點(diǎn) P（ x,y ）作 PM x 軸于 M,我們把線段 MP , OM 都看做規(guī)定 了方向的有向線段：當(dāng) MP 的方向與 y 軸的正方向一樣時, MP 是正的；當(dāng) MP 的方向與 y 軸的負(fù)方向一樣時, MP 是負(fù)的；因此,有向線段 MP 的符號與點(diǎn) P 縱坐標(biāo)的符號總是一樣 的,且 |MP|=|y| ,即總有 MP=y ；同理也

6、有 OM=x 成立；從而 siny MP , cos x OM ； 我們把單位圓中規(guī)定了方向的線段 MP , OM 分別叫做角 的正弦線,余弦2,如以下圖,過 線； A （ 1,0 ）作 x 軸的垂線,交 的終OP 的 y P T x 延長線（當(dāng) 為第一,四象限角時）或這條終邊的反向 邊 延 長線（當(dāng) 為其次,三象限角時）于T ,借助于有向線 點(diǎn) y AT AT ；于是,我們 段 OA , AT,我們有 tan MA 把規(guī)定了方向的線段 AT 叫做 x OA O 的正切線； 特別地,當(dāng) 的終邊在 x 軸上時,點(diǎn) A 與點(diǎn) T 重合, tanAT 0 ；當(dāng) 的終邊落y 軸上時, OP 與垂線平行

7、,正切線不存在； 在 四,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 第 2 頁,共 5 頁- - 依據(jù)三角函數(shù)的定義,可以推導(dǎo)出同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系； 由三角函數(shù)定義有 sin y , cos x , tan y ； cos21 ； sin 2cos 2r r x y 2 x2x2 r 2y2 r 21 ,即 sin 2r 2當(dāng) k r r k , k Z ,即同一個角 的正 k Z 時, sin tan 弦, 2 cos 2 余弦的平方和等于 1,商等于 角的正切（其k , k 2 Z ）； 中 關(guān)于公式 sin 2cos 21 的深化 ；1 sin sin cos cos 2 ；

8、1 sin sin cos 1 sin sin 如： 1 sin8 sin 4 cos4 sin 4 cos4 ； 1 sin8 2 2 sin 4 cos4 五,正弦,余弦的誘導(dǎo)公式 誘導(dǎo)公式二 sin sin , cos cos , tan tan ； 誘導(dǎo)公式三 sin sin , cos cos , tan tan ； 誘導(dǎo)公式四 sin sin , cos cos , tan tan ； 的三角函數(shù),等 以上幾個誘導(dǎo)公式可以表達(dá)為：對于 k 2 k Z ,就 , 于 的同名函數(shù)值,前面加上一個 看成銳角時原三角函數(shù)值的符把 號； 也可以簡潔地說成“函數(shù)名不變,符號看象限” ； 誘導(dǎo)公

9、式五 sin 2 cos , cos 2 sin ； 誘導(dǎo)公式六 sin cos , cos 2 sin ； 2 可以概括為： 的正弦（余弦）函數(shù)值,分別等于 2 一個把 看成銳角時原函數(shù)值的符號； 的余弦（正弦）函數(shù)值,前面加上 也可以簡潔地說成“函數(shù)名轉(zhuǎn)變,符號看象限” ； 六,兩角和與差的正弦,余弦,正切 第 3 頁,共 5 頁- - 兩角和的正弦,余弦,正切 sin sin cos cos sin ,cos cos cos sin sin ,tan tan tan ；1 tan tan 兩角差的正弦,余弦,正切 sin sin cos cos sin ,可以看做 ,進(jìn)行推 cos co

10、s cos sin sin ,tan tan tan ；1 tan tan 此處公式較多,可熟記兩角和的三個公式,兩角的差 導(dǎo)； 積化和差公式 1 sin sin , sin cos cos sin 2 1 sin 2 1 cos sin , , cos cos cos 2 1 cos sin sin cos ； 和差化積公式 2 cos , 2sin sin sin sin sin 2 2 , 2cos sin cos cos 2 2 , 2cos cos cos cos 2 2 ； 2sin sin 2 2 課后練習(xí)題 1.將 300 o 化為弧度為（） A 4 ； B 5 ； C 7 ；

11、 D 7 ； 4 3 3 6 第 4 頁,共 5 頁- - 2. 假如點(diǎn) Psin cos ,2 cos 位于第三象限,那么角 所在象限是（） .第一象限 B. 其次象限 C.第三象限 D.第四象限 3以下選項(xiàng)中表達(dá)正確選項(xiàng) （） A 三角形的內(nèi)角是第一象限角或其次象限角 B銳角是第一象限的角 C其次象限的角比第一象限的角大 D 終邊不同的角同一三角函數(shù)值不相等 4以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是（） A y sin | x | B y sin 2 x C y sin x D y sin x 1 5. 1 2sin 2 cos 2 等于（） A sin2 cos2B cos2 sin2 C （sin2 cos2） D sin2+cos2 6如角 的終邊落在直線 y=2 x 上,就 sin 的值為（） 1 5 2 5 1 A. B. C. D. 5 5 5 2 7.如點(diǎn) P 在角 的終邊的反向延長線上,且 OP 1,就點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（） A cos ,sin ; B cos , sin ; C cos , sin ; D cos , sin ; 8.已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) p0 （ -3 , -4 ）,就 cos 的值為（ ） 2 4 3 4 3 A. B. C. D