1、6.3數(shù)據(jù)擬合與回歸分析在對(duì)工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理中，人們除了使用插值的方法來揭示數(shù)據(jù)間的 關(guān)系以外，使用數(shù)據(jù)擬合以及回歸也能很好的描述數(shù)據(jù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)據(jù)插值是在純粹的自變量與因變量之間的數(shù)量關(guān)系上作分析；數(shù)據(jù)擬合則考慮如 何選擇函數(shù)整體逼近所給的數(shù)據(jù)點(diǎn)列；數(shù)據(jù)的回歸分析則考慮隨機(jī)誤差對(duì)原始數(shù)據(jù)的影 響，探討如何選用函數(shù)即能反映數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，又能使整體的誤差最小。對(duì)于點(diǎn)對(duì)（xi，yi）,j=1,2,3,k，根據(jù)其特征用某種形式的函數(shù)y = f （x, a , a ,., a ）來作為未知函數(shù)的近似表達(dá)式，其中a 1,a2，., a為待定常數(shù)。求函數(shù)f的問題即為數(shù)據(jù) 擬合。在實(shí)際中

2、常用到最小二乘擬合方法，其數(shù)學(xué)問題表述如下：min 寸（f （x , a , a ,. a ） - y ）2。i 12 nii = 1一般多項(xiàng)式擬合公式：y = a xn-1 + a xn-2 + . + a x + a.。回歸分析與擬合有著緊密的聯(lián)系，針對(duì)回歸函數(shù)的性質(zhì)分為線性回歸與非線性回歸。 在實(shí)際應(yīng)用中，為使預(yù)測值（1）一元線性回歸模型設(shè)有數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)（,*）門二1,2,3,k,存在關(guān)系y. = P +P x + , i = 1,2,k其中6。，6稱為回歸系數(shù)，E i是隨機(jī)誤差，它們相互獨(dú)立，且服從正態(tài)N （0, Q 2） 分布。對(duì)乃0, 6 1通常用最小二乘估計(jì)求得。（2）多元線性回歸模

3、型設(shè)隨機(jī)變量y的取值依賴于x 1,x2,.,xp （其中每個(gè)xi均為列向量），且有關(guān)系y = P + P x +P x + + P x +J i 01 i12 i 2p ip N （0q 2）, i = 1,2, - , n,i其中P ，P 1，- P p，為回歸系數(shù)， ,為隨機(jī)誤差。（3）多項(xiàng)式回歸模型在一元回歸中，點(diǎn)對(duì)（xi，yi）,j=1,2,3,-,k,是n-1次多項(xiàng)式的關(guān)系y = a xn-1 + a xn -2 + a x + a 1 + 8是隨機(jī)誤差，且服從正態(tài)N (0,Q 2)分布。6.3.1 Matlab中數(shù)據(jù)擬合與回歸方法在Matlab中常用的擬合與回歸的函數(shù)主要有：pol

4、yfit, polyval, polyconf, polytool, regress等。其使用格式分別如下所述。POLYFIT多項(xiàng)式擬合POLYFIT(X,Y,N)P,S = POLYFIT(X,Y,N)P,S,MU = POLYFIT(X,Y,N)參數(shù)N整數(shù)，擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，P擬合多項(xiàng)式系數(shù)，S 結(jié)構(gòu)數(shù)組，包含Vandermonde矩陣(R)的Cholesky因子，自由度(df),殘 差范數(shù)(normr)，MU 以 XHAT = (X-MU(1)/MU(2)此處 MU(1) = mean(X)，MU(2) = std(X)的方 式求擬合多項(xiàng)式系數(shù)。POLYVAL多項(xiàng)式求值= POLYVAL

5、(P,X)= POLYVAL(P,X,MU)Y,DELTA = POLYVAL(P,X,S)Y,DELTA = POLYVAL(P,X,S,MU)參數(shù)P是一個(gè)長度為N+1的向量，其元素是關(guān)于X的多項(xiàng)式的系數(shù)，其多項(xiàng)式為Y = P(1)*XN + P(2)*X(N-1) + . + P(N)*X + P(N+1)，X，Y多項(xiàng)式在自變量X上的值為Y，S 由polyfit所得，包含Cholesky因子，自由度，殘差范數(shù)，MU 由polyfit所得，按XHAT = (X-MU)/MU方式求多項(xiàng)式在X的值，DELTA 按S中殘差范數(shù)求Y +/- delta.，如輸入數(shù)據(jù)的誤差是獨(dú)立且有常數(shù)方差的 正態(tài)分

6、布，Y +/- delta.至少包含50%的預(yù)測值；若MU是用戶自行設(shè)置的， 則Y +/- delta.包含100(1-MU)%的預(yù)測值，缺省值取MU=0.05。POLYTOOL數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)(x,y)的多項(xiàng)式擬合及交互圖形窗口POLYTOOL(X,Y,N,ALPHA)給出用N階多項(xiàng)式擬合(X,Y)數(shù)據(jù)，并用兩條紅線界定出100(1-alpha)%置信區(qū) 間。N的缺省值為1，alpha的缺省值為0.05oREGRESS多元線性回歸(最小二乘意義)b = REGRESS(y,X)B,BINT,R,RINT,STATS = REGRESS(y,X,alpha)參數(shù)b,B返回線性模型y = Xb的系數(shù)b,

7、其中X是n*p矩陣，y是n*x1向量ALPHA置信水平默認(rèn)為0.5R殘差向量BINT回歸系數(shù)的 100(1-ALPHA)RINT殘差向量的 100(1-ALPHA)STATS復(fù)相關(guān)系數(shù)R2,F統(tǒng)計(jì)量的值,相應(yīng)于F值的概率p。6.3.2 Matlab的擬合與回歸應(yīng)用實(shí)例設(shè)有某地銀行兩年的月度數(shù)據(jù)(矩陣形式)，其每一列分別表示的數(shù)據(jù)為：銀行存款 余額，居民儲(chǔ)蓄余額，銀行貸款余額，工業(yè)貸款，農(nóng)業(yè)貸款，商業(yè)貸款。a= 20.04425.080132.686211.51211.018617.831419.86625.209530.455110.82670.950916.349820.63445.3483

8、30.092810.55950.938917.178720.45135.466231.386710.70641.001017.397021.30145.576431.199910.81070.975316.923221.72555.735132.398411.14690.999817.605321.77795.934232.786111.37641.062817.637321.96236.090032.702111.60701.062817.192722.30386.144533.266411.74471.149517.493422.64676.264233.375311.90201.2037

9、17.342823.26546.342334.397212.27191.251317.871324.19166.110036.280013.27441.316218.341823.67086.813035.896411.29281.324518.215423.53776.825035.012311.12051.342518.156422.92436.948134.125610.85151.385117.659823.53687.235134.012510.56091.475217.122923.71647.523933.895911.92991.522917.594624.09027.8086

10、35.259312.29561.540917.946725.30898.082936.335712.86161.805118.081925.37488.312736.035612.68131.672617.821825.63018.435537.544113.05381.718119.127826.28088.581438.262713.15851.788020.560726.67668.680838.605613.03151.690820.233828.41007.660041.395914.76661.570220.7094。例1擬合居民儲(chǔ)蓄余額，作線性，二次，三次多項(xiàng)式擬合。作一次擬合x

11、=(1:24);p=polyfit(x,a(:,2),1);y=polyval(p,x);res=a(:,2)-y;plot(x,a(:,2),，-o，,x,y,，+-，);figure;plot(x,res,，+-，);采用一次多項(xiàng)式擬合的曲線及誤差曲線圖作二次擬合x=(1:24)，;p=polyfit(x,a(:,2),2);y=polyval(p,x);res=a(:,2)-y;plot(x,a(:,2),，-o，,x,y,，+-，);figure;采用二次多項(xiàng)式擬合的曲線及誤差曲線圖作三次擬合x=(1:24)，;p=polyfit(x,a(:,2),3);y=polyval(p,x);

12、res=a(:,2)-y;plot(x,a(:,2),，-o，,x,y,，+-，);figure;plot(x,res,，+-，);采用三次多項(xiàng)式擬合的曲線及誤差曲線圖例2運(yùn)用polytool函數(shù)，可觀察每次的擬合曲線(綠色曲線)、原始數(shù)據(jù)(蘭色+)與 置信區(qū)間(紅色曲線)的情況，調(diào)整的degree(擬合多項(xiàng)式的次數(shù))的值，則在圖形窗口立即給出新的擬合曲線及置信區(qū)間 p=polytool(x,a(:,2),6);例3建立銀行存款余額與居民儲(chǔ)蓄余額的線性回歸方程。這是一元線性回歸問題，其解 決的方式有兩種：其一是應(yīng)用多項(xiàng)式擬合函數(shù)；其二是用解線性方程組。方式1.設(shè)銀行存款余額為y=a(:,1)，

13、居民儲(chǔ)蓄余額為x=a(:,2)p=polyfit(x,y,1);即最好的擬合直線為y = 1.7175x+ 11.6976.用y1=polyval(p,x)求得回歸值，可作圖觀察其回歸直線與原數(shù)據(jù)點(diǎn)的情況 plot(x,y,.,-+r)。plot(x,y1,-o,x,y,-o)方式2.使用解線性方程組得形式，可得到相同的結(jié)果。y=a(:,1);x=a(:,2) ones(size(y);p=xy;y1=x*p.例4.建立銀行存款余額與居民儲(chǔ)蓄余額、銀行貸款余額、工業(yè)貸款、農(nóng)業(yè)貸款、商業(yè)貸 款之間的線性回歸方程。方式1.解線性方程組。y=a(:,1);x=a(:,2:6),ones(size(y

14、);p=cy;得到線性回歸方程y=1.0552*x1+0.5751*x2+0.2754*x3-1.9128*x4-0.2415*x5-0.0449y1=x*p;plot(y,.); hold on; plot(y1,，r+-，)方式2使用多元線性回歸函數(shù)y=a(:,1);x=a(:,2:6),ones(size(y);b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);回歸系數(shù)估計(jì)值：b =1.0552, 0.5751, 0.2754, -1.9128, -0.2415, -0.0449。其回歸方程為：y=1.0552*x1+0.5751*x2+0.2754*x3-1.9128*

15、x4-0.2415*x5-0.0449。回歸系數(shù)置信區(qū)間：bint =0.29811.81230.30810.8421-0.10050.6514-5.16801.3425-0.67210.1891-3.64593.5562。殘差向量：r = -0.9852, -0.3152，0.7657, -0.1549, 0.4941，0.1805, -0.1352，-0.2378, -0.0778, 0.1002, 0.1656, 0.2158, -0.2951, 0.1352, -0.0625, 0.4349, 0.2049, -0.4870, 0.2053, -0.0653, -0.5073, 0.0271, -0.1091, 0.5031。殘差向量置信區(qū)間：rint =-1.5527-0.4177-1.14210.51170.08851.4430-0.99480.6851-0.32851.3167-0.67061.0315-1.00510.7347-1.03700.5614-0.96030.8048-0.77450.9749-0.