1、巧用組合數(shù)公式求數(shù)列的和吳少華夏茂權(quán)(吉林省德惠市實驗中學(xué)130300)組合數(shù)與和式有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，從某個角度看，組合數(shù)是完成某 件事的方法種數(shù)，如果我們將完成此事件的方法按一定規(guī)則進行分類，由 不同的分類方法可得到不同的組合數(shù)公式，而用這些公式求某些數(shù)列的和 是非常方便和簡捷的。下面我們給出兩個重要的組合數(shù)公式。公式 1 Cm + Cm + Cm +Cm = Cm+1此公式可由下面方法推得從m + n + 1個不同元素中取出m個不同元素的組合數(shù)為Cm+1先 m+k+1將其分為m + n + 1個元素中不含其中一個元素匕的和含元素匕的兩類而這兩類的組合數(shù)分別為Cm+1與Cm即得Cm+1 =

2、Cm+1 + Cm，依此再將 m+k m+km+k +1 m+k m+k組合數(shù)Cm+1分為兩類可得Cm+1 =Cm+1 +Cm ，不斷將組合數(shù)上標為 m+km+k m+k-1 m+k -1m +1的項進行如此分類即得公式1。公式 2 C0. Ck + C1 . Ck-1+ C2 . Ck-2 + Cm Ck-m _ Ck 此公式可由下面方法推得。從放在一個盒中的m個不同黑球與n個不同白球中任取出k的球的方法種數(shù)為七+n ,將取出的k個球按所含白球數(shù)分類，分為含白球數(shù)為0個，1個，2個.*個共k+1類，取法種數(shù)分別為C0. * Cm. Cn-1，C% Ck-2，Cm Ck-m即得公式2。下面舉例

3、說明以上兩個公式在數(shù)列 求和方面的應(yīng)用。例 1 s =1X2+2X3+3X4+.+nX(n+1)求 $nn解：1X2+2X3+3X4+. +nX(n+1)= 2( C2 + C2 + C2 +. + C2*) TOC o 1-5 h z .Jc3 =( + 2知 + D nn+23例 2 求 S = 12+22+32+n2(n + 1)n解：. c2 =.2 c2 =n2+nn+12n+1c(n + 1)n.2 ( c2 + c2 + c2 +. + c2Q = S +2.2 c3 = sn+2 n(n + 2)(n + 1)n(n + 1)n:=S +2 n2整理得S = nn(n + 1)

4、(2n +1)6例 3 求 S = 13+23+33+n3(n + 2)(n +1) n 解：c3 = .6 c3 =n3+3n2+2nn+26n+2n( n + 1)(2n +1)(n + 1)n6 ( c3 + c3 + c3 +. + c3 ) = S +3+2345n+2n62en( n + 1)(2n +1)(n + 1)n e.6 c：+3 = S +3 6 +2 一 解出 S 并整理得(n +1)2 n 2用類似的方法可求出任4,官5的和。例4 一盒內(nèi)有大小相同的黑球M個，白球N個，從中任取m個球(m WM, mWN),求含有白球的個數(shù)&的數(shù)學(xué)期望。解：由題意&的所有可能取值為0

5、, 1, 2, ., m。分布列為：g012m-1mpc0 cmN McmM + Nc1 cm-1c 2 cm-2cm-1c1Ncmc 0N McmM + NcmM + NcmM + NcmM + N1.Eg =cmM + N(c1 cm-1 +2 c 2 cm - 2+.,+(m-1)c m-1 c 1NM+mcmc0 )NMN MNMN12m 一 1mEg =(c1 cm-1 +c 2 c m-2 +. . +c m-1 c 1+cmc0 )cmNM + NNMN N MNNMN N MNEg =CmM + Nm(C0 Cm-1 + C1Cm-2 + + Cm-2C1 + Cm-1C0 )