1、第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì) 第二節(jié) 不定積分的積分方法第四章 一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用 第三節(jié) 定積分的概念 第四節(jié) 微積分基本公式 第五節(jié) 定積分的積分方法 第六節(jié) 廣義積分第七節(jié) 定積分的應(yīng)用 一、不定積分的概念 二、基本積分公式 三、不定積分的性質(zhì)第一節(jié) 不定積分的概念及性質(zhì) 1原函數(shù)的概念 原函數(shù)說明：一、不定積分的概念 2. 不定積分的概念 例 1 求下列不定積分： 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算之間的互逆關(guān)系： 由于求不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，所以由導(dǎo)數(shù)公 式可以相應(yīng)地得出下列積分公式： 二、 基本積分公式 性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分 號(hào)外，即 性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分，

2、等于各函數(shù)積分 的代數(shù)和，即 例 4 求下列不定積分：三、 不定積分的性質(zhì) 例 5 求下列不定積分: 例 6 求下列不定積分： (2)得 思考題2思考下列問題： 一、換元積分法 二、分部積分法 三、簡(jiǎn)單有理數(shù)的積分 第二節(jié) 不定積分的積分方法 1第一換元積分法(湊微分法) 直接驗(yàn)證得知,計(jì)算正確 ，我們可以把原積分作下列變形后計(jì)算： 換和計(jì)算： 一、換元積分法 還成立?回答是肯定的,我們有下述定理： 可一般化為下列計(jì)算程 序： 下面的例子,將繼續(xù)展示湊微分法的解題技巧 例 6 求下列積分： 解 （1） 本題六個(gè)積分今后經(jīng)常用到，可以作為公式使用 例 7 求下列積分： 解 本題積分前，需先用代數(shù)

3、運(yùn)算或三角變換對(duì)被 積函數(shù)做適當(dāng)變形 本題說明，選用不同的積分方法，可能得出不同形式 的積分結(jié)果 第二換元積分法 一般地說，當(dāng)被積函數(shù)含有二、分部積分法 解一 分項(xiàng)，湊微分 解五 分部積分 利用多項(xiàng)式除法，總可把假分式化為一多項(xiàng)式與真 分式之和，例如 多項(xiàng)式部分可以逐項(xiàng)積分，因此以下只討論真分式的積 分法 三、簡(jiǎn)單有理式的積分 化真分式為部分分式之和舉例說明： 有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下面 三種形式: 前兩種積分，簡(jiǎn)單湊微分法即可獲解，下面舉例說 明（3）式的積分方法 思考題 1. 第一換元法（即湊微分法）與第二換元法的區(qū)別是 什么？ 一、定積分的實(shí)際背景 二、定積分的概念三、

4、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)第三節(jié) 定積分的概念第三節(jié) 定積分的概念 1. 曲邊梯形的面積 曲邊梯形:若圖形的三條邊是直線段，其中有兩條垂直 于第三條底邊，而其第四條邊是曲線，這樣的圖形稱為曲 邊梯形，如左下圖所示.yOMPQNBxCAA推廣為一、定積分的實(shí)際背景 曲邊梯形面積的確定方法：把該曲邊梯形沿著 y軸方向切割成許多窄窄的長(zhǎng)條，把每個(gè)長(zhǎng)條近似看作一個(gè)矩形，用長(zhǎng)乘寬求得小矩形面積，加起來就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細(xì)，誤差越小，于是當(dāng)所有的長(zhǎng)條寬度趨于零時(shí)，這個(gè)階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了.如下圖所示： 0 x1x2xxn Oxy y = f (x)0 x= ax

5、n=b 2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 二、定積分的概念 三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)仍有思考題 一、變上限的定積分 二、牛頓-萊布尼茨 （Newton-Leibniz）公式 第四節(jié) 微積分基本公式第四節(jié) 微積分基本公式 一、變上限的定積分如右圖所示:例 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 二、牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式 例1 求定積分： 思考題 一、定積分的換元積分法 二、定積分的分部積分法 第五節(jié) 定積分的積分方法第五節(jié) 定積分的積分方法一、定積分的換元積分法注意:求定積分一定要注意定積分的存在性. 二、定積分的分部積分法一、無窮區(qū)間上的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分 第六節(jié) 廣

6、 義 積 分第六節(jié) 廣 義 積 分一、無窮區(qū)間上的廣義積分二、被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分一、 定積分應(yīng)用的微元法二、用定積分求平面圖形的面積三、用定積分求體積四、平面曲線的弧長(zhǎng)第七節(jié) 定積分的應(yīng)用五、定積分的物理應(yīng)用六、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題舉例 第七節(jié) 定積分的應(yīng)用 用定積分計(jì)算的量的特點(diǎn)： 一、 定積分應(yīng)用的微元法 用定積分概念解決實(shí)際問題的四個(gè)步驟： 定積分應(yīng)用的微元法： 微元法中微元的兩點(diǎn)說明： 1. 直角坐標(biāo)系下的面積計(jì)算 二、用定積分求平面圖形的面積 2. 極坐標(biāo)下的面積計(jì)算 1. 平行截面面積為已知的立體體積三、用定積分求體積解 取坐標(biāo)系如圖，則底圓方程為 .2、 旋轉(zhuǎn)體體積 四、平面曲線的弧長(zhǎng) 思考題 1. 功 (1) 變力做功 五、定積分的物理應(yīng)用 于是功為 若移至無窮遠(yuǎn)處，