1、2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何12020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何核心素養(yǎng) 1.理解空間向量的概念,掌握空間向量的表示方法.(數(shù)學(xué)抽象)2.學(xué)會(huì)空間向量的線性運(yùn)算及它們的運(yùn)算律.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能用空間向量的線性運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的立體幾何問題.(邏輯推理)4.理解空間向量夾角的概念,并掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算律.(數(shù)學(xué)抽象)5.能用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的角度和長(zhǎng)度等問題.(邏輯推理)核心素養(yǎng) 1.理解空間向量的概念,掌握空間向量的表示方法.(思維脈絡(luò)思維脈絡(luò)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一天,梭子魚、蝦和天鵝發(fā)現(xiàn)路上有一輛車,上面裝滿

2、了好吃的東西,于是就想把車子從路上拖下來,三個(gè)家伙一齊鉚足了勁,使出了平生的力氣一起拖車,可是,無論它們?cè)鯓佑昧?小車還是在老地方一步也動(dòng)不了.原來,天鵝使勁往天上提,蝦一步步向后倒拖,梭子魚又朝著池塘拉去.同學(xué)們,你們知道這樣拉車,車子為什么不動(dòng)嗎?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一天,梭子魚、蝦和天鵝發(fā)現(xiàn)路上有一輛車,上面激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1.空間向量的概念 空間向量空間中既有大小,又有方向的量零向量、單位向量始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量,記為0.模等于1的向量稱為單位向量,一般記為e向量的模(或長(zhǎng)度)表示向量a的有向線段的長(zhǎng)度,記作|a|相等向量大小相等、方向相同的向量平行向量(或共線向量)方向相同或者

3、相反的兩個(gè)非零向量共面向量空間中的多個(gè)向量,如果表示它們的有向線段通過平移之后,都能在同一平面內(nèi)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1.空間向量的概念 空間向量空間中既有大小,激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷(1)兩個(gè)有共同始點(diǎn)且相等的向量,其終點(diǎn)必相同.()(2)兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量.()(3)在空間中,任意一個(gè)向量都可以進(jìn)行平移.()答案:(1)(2)(3)微練習(xí)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,與向量AD相等的向量共有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案:C 激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.空間向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算律 (3)數(shù)乘:a,當(dāng)0,a0時(shí),|a|=|a|,而且a的方向:

4、當(dāng)0時(shí),a與a方向相同;當(dāng)0時(shí),a與a方向相反;當(dāng)=0或a=0時(shí),a=0.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.空間向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算律 (3)數(shù)乘激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥(4)線性運(yùn)算律 加法交換律:a+b=b+a;加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c);分配律:(+)a=a+a,(a+b)=a+b.名師點(diǎn)析 空間向量的線性運(yùn)算中,加法滿足三角形法則和平行四邊形法則,減法滿足三角形法則.(2)以向量a,b對(duì)應(yīng)的有向線段為鄰邊的平行四邊形中,a+b與a-b對(duì)應(yīng)的有向線段所表示的是兩條對(duì)角線,|a+b|與|a-b|為兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度.(3)三個(gè)不共面的向量和,等于以這三個(gè)向量對(duì)應(yīng)的有向線段為鄰邊的平行六面體中,與

5、這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的體對(duì)角線所表示的向量.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥(4)線性運(yùn)算律 激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷空間中兩個(gè)非零向量相加時(shí),可以在空間中任取一點(diǎn)作為它們的共同始點(diǎn).()答案:微練習(xí)1A.a+b+cB.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c答案:C 激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷答案:C 激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2 微思考首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形,它們的和向量有什么特點(diǎn)?提示:和向量為0.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)2 微思考激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥3.空間向量的夾角 激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥3.空間向量的夾角 激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷答案:微思考兩個(gè)非零向量共線時(shí),其夾角分別是多少?提示:兩個(gè)非零向量共線且

6、同向時(shí),=0;兩個(gè)非零向量共線且反向時(shí),=.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥4.空間向量的數(shù)量積(1)定義:空間中已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a|b|cos叫做a,b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積),記作ab.即ab=|a|b|cos.(2)規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0.微判斷若非零向量a,b為共線且同向的向量,則ab=|a|b|.()答案:微思考兩個(gè)向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量有何不同?提示:兩個(gè)向量的數(shù)量積是它們的模與其夾角的余弦值的乘積,其結(jié)果是實(shí)數(shù);數(shù)乘向量是一個(gè)數(shù)與一個(gè)向量的乘積,其結(jié)果仍是一個(gè)向量,如0a=0,而0a=0.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥4.空間向量的數(shù)量積微判斷激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥5.空間

7、向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)abab=0;(2)aa=|a|2=a2;(3)|ab|a|b|;(4)(a)b=(ab);(5)ab=ba(交換律);(6)(a+b)c=ac+bc(分配律).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥5.空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析 (1)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算符號(hào)是“”,不能省略,更不能寫成“”;(2)空間向量的數(shù)量積(內(nèi)積)是一個(gè)實(shí)數(shù)而不是一個(gè)向量,它有別于數(shù)乘向量;(3)若ab=k,不能得出a= ;(4)ab的充要條件是ab=0,這是用向量證明空間中垂直關(guān)系的根本方法,同時(shí)也說明了命題“ab=0a=0或b=0”是錯(cuò)誤的.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析 (1)空間向量的數(shù)量積

8、的運(yùn)算符號(hào)是激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷(1)對(duì)于非零向量b,由ab=bc,可得a=c.()(2)對(duì)于向量a,b,c,有(ab)c=a(bc).()答案:(1)(2)微練習(xí)已知|a|=1,|b|= ,且a-b與a垂直,則a與b的夾角為()A.60B.30C.135D.45解析:a-b與a垂直,(a-b)a=0,aa-ab=|a|2-|a|b|cos答案:D激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)空間向量的概念例1給出下列命題:兩個(gè)空間向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同;若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b;在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有 ;若空間向

9、量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p;空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4B.3C.2D.1探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)空間向量的概念探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 解決有關(guān)向量概念的問題,要熟練掌握空間向量的有關(guān)概念,注意區(qū)分向量與向量的模以及數(shù)量.相等向量只需方向相同,長(zhǎng)度相等,與向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)沒有必然的聯(lián)系.尤其要注意解決此類概念問題時(shí),要多結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析,并要與平面向量中的結(jié)論進(jìn)行類比.探究一探究二探究

10、三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 解決探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是()A.空間向量不滿足加法結(jié)合律B.若|a|=|b|,則a,b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同解析:A中,空間向量滿足加法結(jié)合律;B中,|a|=|b|只能說明a,b的長(zhǎng)度相等而方向不確定;C中,向量作為矢量不能比較大小,故選D.答案:D探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1下列探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)空間向量的線性運(yùn)算例2如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.探

11、究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)空間向量的線性探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)例3已知在平行六面體ABCD - ABCD中,M為CC的中點(diǎn)(如圖).化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)例3已知在平行探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 (1)對(duì)于借助幾何圖形的向量運(yùn)算,應(yīng)該在線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上挖掘好幾何體中本身的特征

12、,如平行、垂直、相等等.(2)化歸與轉(zhuǎn)化思想意識(shí)要加強(qiáng),除借助向量的運(yùn)算律外,還可以將已知向量轉(zhuǎn)化為與之相等的向量以方便其運(yùn)算,如例3中第(2)問將探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 (1探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究

13、一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求向量的數(shù)量積 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求向量的數(shù)量積探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 求兩個(gè)向量m,n的數(shù)量積一般分為兩個(gè)層次:一是結(jié)合圖形確定向量m,n的模及的大小,直接利用空間向量數(shù)量積的定義來求,此種情況下要注意向量夾角的正確性;二是選定一組基向量表示向量m,n,從而把m,n的數(shù)量積通過運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基向量之間的數(shù)量積來求.題目中沒有明確基底的時(shí)候,合理選取基底是至關(guān)重要的,比如此題的基底選取既方便向量表示,又方便

14、計(jì)算.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 求兩探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練4如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),求:探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練4探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用數(shù)量積證明垂直問題例5如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.求證:PABD.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用數(shù)量積證明

15、探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 (1)由數(shù)量積的性質(zhì)abab=0可知,要證兩直線垂直,可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量(a,b是非零向量),只要證明這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.(2)用向量法證明線面(面面)垂直,離不開線面(面面)垂直的判定定理,需將線面(面面)垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,然后利用向量法證明線線垂直.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 (1探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練5如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點(diǎn),G為CC1的中點(diǎn),求證:A1O平面GBD.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂

16、檢測(cè)變式訓(xùn)練5如圖探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用數(shù)量積求解距離或長(zhǎng)度問題例6平行四邊形ABCD中,AB=2AC=2且ACD=90,將它沿對(duì)角線AC折起,使AB與CD成60角,求B,D間的距離.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用數(shù)量積求解探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題,其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端

17、點(diǎn)的向量,將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式,求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式 求解即可.探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 利用探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練6在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,求AC1的長(zhǎng).探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練6在平探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)易錯(cuò)點(diǎn)因?qū)⑾蛄繆A角與直線夾角混淆而致錯(cuò)案例 如圖,空間四邊形ABCD中,每條邊的長(zhǎng)度和兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度都等于1,M,N分別是AB,AD

18、的中點(diǎn),計(jì)算探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)易錯(cuò)點(diǎn)因?qū)⑻骄恳惶骄慷骄咳骄克奶骄课逅仞B(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.“兩個(gè)非零空間向量的模相等”是“兩個(gè)空間向量相等”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:B探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.“兩個(gè)非零探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.若a,b,c為空間兩兩夾角都是60的三個(gè)單位向量,則|a-b+2c|=.解析:|a-b+2c|