1、第4節(jié) 地理建模方法概述數(shù)據(jù)分析法機(jī)理分析法量綱分析法類比分析法仿真模擬方法第1頁（一）探索性數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析目標(biāo)，是從大量雜亂無章數(shù)據(jù)中發(fā)覺隱藏規(guī)律。一、數(shù)據(jù)分析法 探索性數(shù)據(jù)分析是對(duì)測(cè)量、調(diào)查、試驗(yàn)所得到一些初步雜亂無章數(shù)據(jù)，在盡可能少先驗(yàn)假定下進(jìn)行處理，經(jīng)過作圖、制表等形式和方程擬合、計(jì)算一些特征量等伎倆，探索數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和規(guī)律一個(gè)數(shù)據(jù)分析方法。第2頁探索性數(shù)據(jù)分析主要特點(diǎn): （1）探索性數(shù)據(jù)分析主要是“讓數(shù)聽說話” （2）不執(zhí)著于方法理論依據(jù)研究目地理現(xiàn)象雜亂無章地理數(shù)據(jù)篩選模型搜集資料不做假設(shè)或少做假設(shè)耐抗性分析殘差分析重新表示圖表啟示讓數(shù)聽說話檢驗(yàn)修正模型揭示規(guī)律 隱藏規(guī)律圖3.4.1

2、 探索性數(shù)據(jù)分析地理建模方法第3頁（二）數(shù)據(jù)分析地理建模實(shí)例1. 城市體系位序規(guī)模法則 19，奧爾巴哈（F. Auerbach）指出，在一定地域范圍內(nèi)，城市人口規(guī)模與位序之間展現(xiàn)出一定規(guī)則。通常人口規(guī)模居第2位城市其人口為居第1位城市人口二分之一，第3位城市為第一位城市人口1/3，以下類推。這種城市位序與人口規(guī)模之間關(guān)系，稱為等級(jí)規(guī)模，或位序規(guī)模法則(rank-size rule)。第4頁 1949年，濟(jì)普夫（G.K. Zipf）愈加明確了這一規(guī)律，其數(shù)學(xué)表示為（Zipf, 1949）： 式中：n為城市數(shù)目；r為各城市按人口從大到小排列次序；Pr為第r個(gè)城市人口數(shù)；k為常數(shù)，普通可取首位城市人

3、口數(shù)；q為大于0待定指數(shù)。若q1,說明城市體系規(guī)模分布相對(duì)均勻，規(guī)模結(jié)構(gòu)呈序列型；若q1,說明規(guī)模結(jié)構(gòu)呈首位型。第5頁2.霍登定律 描述河流網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)數(shù)量關(guān)系三定津，即霍登（R. E. Horton）三定律，是數(shù)據(jù)分析法建立地理模型又一成功實(shí)例。這三個(gè)定律，是霍登在20世紀(jì)40 年代（Horton, 1945），經(jīng)過大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)研究得到，其數(shù)學(xué)表述以下： 河流數(shù)定律： 式中，Nu是在m級(jí)水系中u級(jí)河流數(shù)，Rb為分叉系數(shù)， 即： .。第6頁 河流長(zhǎng)度定律： 式中，Lu 是u級(jí)河流平均長(zhǎng)度，L1是一級(jí)河流平均長(zhǎng)度， 為河流長(zhǎng)度系數(shù)，即： 。 流域面積定律： 式中， 是u級(jí)水系流域平均面積， 是一級(jí)水

4、系流域平均面積， 為流域面積系數(shù)。第7頁所謂機(jī)理，是指事物改變理由與道理。機(jī)理分析，就是分析現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)（或過程）因果關(guān)系，作用原理。機(jī)理分析法建立地理模型過程，就是構(gòu)建在結(jié)構(gòu)上或功效上與真實(shí)地理系統(tǒng)同構(gòu)原型系統(tǒng)過程。二、機(jī)理分析法第8頁（一）結(jié)構(gòu)分析法 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)概念，指將系統(tǒng)了解為由諸要素相互聯(lián)絡(luò)、相互依賴、相互作用、相互耦合而成整體。 系統(tǒng)整體屬性大于組成系統(tǒng)各要素屬性總和。其數(shù)學(xué)邏輯表述為： 設(shè)：系統(tǒng)是由N個(gè)事物（要素）組成，用Ai表示第i 個(gè)事物孤立狀態(tài)時(shí)所含有屬性全體所組成集合（ =1，2，., N），用A表示系統(tǒng)屬性全體所組成集合，則有以下關(guān)系存在（郭俊義，1987）： ，且第9頁 對(duì)

5、于地理系統(tǒng), 設(shè)a為系統(tǒng)統(tǒng)一某功效屬性度量單位數(shù)量，度量系統(tǒng)中第i ( i1 , 2 ，N ）個(gè)組成事物這一功效屬性數(shù)量為ai，則客觀情況表示a和 關(guān)系有以下三種可能情形：( I ) 該式中表示情形表明系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)比較臺(tái)理，各要素之間關(guān)系比較協(xié)調(diào)，功效比較完善。 第10頁( II ) 該式表示系統(tǒng)維持其存在，不至于解體基本要求。( III )該式表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不合理，諸要素之間關(guān)系互不協(xié)調(diào)，功效缺損；這種情形發(fā)展必定結(jié)果是系統(tǒng)走向崩解和滅亡。 第11頁 基于以上事實(shí)，結(jié)構(gòu)分析方法在研究地理系統(tǒng)時(shí)，重視系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。這一分析法認(rèn)為，地理系統(tǒng)分析就是要在其結(jié)構(gòu)現(xiàn)實(shí)狀況分析與評(píng)價(jià)基礎(chǔ)上，尋求一個(gè)最優(yōu)結(jié)構(gòu)，

6、從而以確保系統(tǒng)功效最優(yōu)。所以，立足于結(jié)構(gòu)分析法建立地理模型往往是結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型。 普通而言，優(yōu)化模型即能夠是單目標(biāo)，也能夠是多目標(biāo)。譬如，對(duì)于某區(qū)域（生態(tài)經(jīng)濟(jì)）系統(tǒng)而言，其系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)選擇能夠是在維持生態(tài)平衡條件下，使經(jīng)濟(jì)收益最大，當(dāng)然也能夠選擇生態(tài)效益和經(jīng)濟(jì)收益作為系統(tǒng)優(yōu)化雙重目標(biāo)。第12頁（二）功效分析法 功效分析法基本理論依據(jù)來自于功效系統(tǒng)概念。所謂功效系統(tǒng)概念，系指暫時(shí)不論事物本質(zhì)、只著重研究行為操作問題。 功效分析法，只重視地理系統(tǒng)輸入、輸出行為，而并不重視、也不去研究實(shí)現(xiàn)這種輸入輸出變換系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與過程，只把注意力集中到輸入與輸出之間關(guān)系上。 地理系統(tǒng)X2 .XnY1Y2Yn .X1圖

7、3.4.2 地理系功效分析第13頁（三）過程分析法 過程分析法強(qiáng)調(diào)研究對(duì)象歷時(shí)性。這就要求我們?cè)谶M(jìn)行地理建模分析時(shí)，不但要重視系統(tǒng)與要素、要素與要素、系統(tǒng)與環(huán)境之間相互聯(lián)絡(luò)，而且還要重視地理系統(tǒng)演化過程。 微分方程建模方法，又是過程分析建模法慣用建模方法之一。 城市化問題是城市地理學(xué)關(guān)注主要問題之一。幾十年來，許多學(xué)者曾從不一樣角度和側(cè)面，致力于城市化模型研究。其中，Keyfitz模型，是一個(gè)基于過程分析人口城市化模型。 第14頁 假如記U為城市人口，R為農(nóng)村人口，則：城市人口與農(nóng)村人口比率為X = U/R，城市化水平為ZU/(U+R). (3.4.9) (3.4.10)式中，為農(nóng)村人口自然增

8、加率，為城市人口自然增加率，m是農(nóng)村人口向城市遷移率。 第15頁 依據(jù)（3.4.9）式和（3.4.10）式，做簡(jiǎn)單推導(dǎo)運(yùn)算，能夠得到描述城市人口與農(nóng)村人口比率（X）微分方程： (3.4.11)第16頁對(duì)方程（3.4.11）式積分，得到方程(3.4.12) ： (3.4.12) 經(jīng)過簡(jiǎn)單地推導(dǎo)能夠知，對(duì)應(yīng)于（3.4.11）式，城市化水平（Z）隨時(shí)間動(dòng)態(tài)過程能夠用以下微分方程表示： (3.4.13) 第17頁 為了求得Z穩(wěn)定狀態(tài)或均衡水平，能夠把（ 3.4.13）式深入寫成： (3.4.14)輕易求得，Z穩(wěn)定值為 或 。能夠經(jīng)過線性穩(wěn)定分析確定系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)，即任何對(duì)于穩(wěn)定值偏離將伴隨時(shí)間遞減，從而

9、使系統(tǒng)回到穩(wěn)定狀態(tài)。 時(shí)，城市化水平穩(wěn)定值為 。這就是說，按照Keyfitz模型預(yù)測(cè)，城市化水平極限值將到達(dá)1。 第18頁 Keyfitz模型沒有考慮城市人口向農(nóng)村遷移情況，Rogers（1984）對(duì)Keyfitz模型做了深入修正。Rogers模型數(shù)學(xué)表示以下： 在（3.4.15）和（3.4.16）式中，表示城市人口向農(nóng)村遷移率，其它變量含義與Keyfitz模型中相同。顯然，當(dāng) 時(shí)，Rogers模型就變成了Keyfitz模型。 (3.4.15)(3.4.16)第19頁 依據(jù)（3.4.15）式和（3.4.16）式，進(jìn)行推導(dǎo)運(yùn)算，能夠得到描述城市人口與農(nóng)村人口比率（X）微分方程： 推導(dǎo)運(yùn)算可知，城

10、市化水平（Z）隨時(shí)間改變動(dòng)態(tài)過程，能夠用以下微分方程表示： (3.4.17)(3.4.18)第20頁 在Rogers模型中，除了常數(shù)遷移率外，引入以相互作用為基礎(chǔ)引力常數(shù)，就得到聯(lián)合國(guó)模型： 在（3.4.19）和（3.4.20）式中，為引力作用常數(shù)，其它變量含義與Rogers模型中相同。 (3.4.19)(3.4.20)第21頁 與（3.4.17）式對(duì)應(yīng)，描述城市人口與農(nóng)村人口比率（X）改變微分方程為： 與（3.4.18）式對(duì)應(yīng)，描述城市化水平（Z）改變微分方程為： (3.4.21) (3.4.22)第22頁 在實(shí)際中，各參數(shù)改變?nèi)Q于自然資源、環(huán)境條件和社會(huì)經(jīng)濟(jì)很多方面（Ledent，198

11、2）。所以在實(shí)際中，這些參數(shù)應(yīng)該都是時(shí)變參數(shù)，它們都應(yīng)該與時(shí)間變量t相關(guān)，所以對(duì)應(yīng)于（3.4.19）、（3.4.20）、（3.4.21）和（3.4.22）式，它們分別應(yīng)該被表示為： 第23頁 這么，就增加了模型靈活性和使用范圍。當(dāng)各個(gè)時(shí)變參數(shù)為已知函數(shù)式，上述方程就描述了農(nóng)村人口、城市人口、城市人口與農(nóng)村人口百分比、以及城市化水平改變軌跡。 第24頁（四）實(shí)例：地理過程中人類活動(dòng)作用 從功效系統(tǒng)理論來看，任何自然地理過程（無人類活動(dòng)參加自然過程）都能夠看作是將一組自然輸入要素轉(zhuǎn)化為某種輸出過程（假如某自然過程有許多輸出，則能夠?qū)⑺纸鉃槿舾蓚€(gè)只有一個(gè)輸出自然過程）。 假如用x1，x2，xn代表

12、一組自然輸入要素，y代表與該組輸入要素相對(duì)應(yīng)輸出，則這一自然地理過程能夠描述為： (3.4.27)（3.4.27）式中，x1，x2，xn都是時(shí)間t函數(shù)。第25頁 由上述分析我們知道，對(duì)于有些人類活動(dòng)參加地理過程來說，人類活動(dòng)作用實(shí)際上相當(dāng)于一個(gè)調(diào)整器，它使自然過程“激勵(lì)響應(yīng)”效果得以放大，從而使一定自然要素輸入下輸出發(fā)生改變。這種輸入輸出關(guān)系能夠由下列圖（圖3.4.3）來描述。 圖3.4.3 地理過程輸入輸出變換自然過程x1.人類活動(dòng)M4x2xn第26頁這種關(guān)系能夠被定量描述為： (3.4.28)（3.4.28）式中，M 表示該地理過程中人類活動(dòng)強(qiáng)度。 對(duì)（3.4.28）式求導(dǎo)得：上式兩端同除

13、y，并定義xi對(duì)y輸出彈性系數(shù)為：第27頁則能夠得到： (3.4.29) 為了計(jì)算方便，（3.4.29）式可用下述差分方程代替：第28頁 假如在分析問題時(shí)，上式各項(xiàng)中時(shí)間步長(zhǎng)t 相同，則有： (3.4.30) （3.4.30）式左端為輸出y相對(duì)增加率，右端第一項(xiàng)為人類活動(dòng)強(qiáng)度相對(duì)增加率，第二項(xiàng)為諸輸入要素相對(duì)增加率與其對(duì)應(yīng)彈性系數(shù)乘積之和。第29頁 在實(shí)際問題分析中，諸自然輸入要素度量值xi（i=1，2，.，n）和輸出y都能夠經(jīng)過其觀察值求出它們?cè)跁r(shí)段t 內(nèi)相對(duì)增加率。所以，只要能設(shè)法確定出諸彈性系數(shù)i （i=1，2，.，n）值，就能夠由（3.4.30）式，用余值法求得在時(shí)段t內(nèi)，人類活動(dòng)強(qiáng)度

14、相對(duì)增加率M/M。這么，人類活動(dòng)對(duì)輸出y改變貢獻(xiàn)率就是： (3.4.31) 由以上分析推導(dǎo)過程能夠看出，彈性系數(shù)i實(shí)際上是輸出y相對(duì)改變率與輸入要素xi相對(duì)改變率比值，即：第30頁 實(shí)際上，若將i與地理過程類型（如侵蝕過程、堆積過程等）及其發(fā)生環(huán)境背景（如地貌形態(tài)、植被覆蓋情況等）聯(lián)絡(luò)起來考慮，那么彈性系數(shù)i則是與地理過程類型及其發(fā)生環(huán)境背景相關(guān)綜合性參數(shù)，它反應(yīng)是與環(huán)境背景相關(guān)地理過程輸出y 對(duì)輸入要素xi改變敏感程度。 普通地，在較小時(shí)間尺度和空間范圍內(nèi)，地理過程發(fā)生環(huán)境背景能夠認(rèn)為是不變。所以對(duì)某一特定地理過程而言，從系統(tǒng)分析敏感性分析角度來看，諸彈性系數(shù)i（i1，2，.，n）微小改變不

15、會(huì)引發(fā)輸出y巨變。第31頁 依據(jù)（3.4.9）式和（3.4.10）式，做簡(jiǎn)單推導(dǎo)運(yùn)算，能夠得到描述城市人口與農(nóng)村人口比率（X）微分方程： (3.4.11)當(dāng) 時(shí)， 最終能夠到達(dá)一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)： 。不過當(dāng) 時(shí)， 將伴隨時(shí)間不停增加。 第32頁（一）量綱與基本量綱量綱分析(Dimension Analysis)，是20世紀(jì)初提出在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型一個(gè)方法，它是在經(jīng)驗(yàn)和試驗(yàn)基礎(chǔ)上，依據(jù)量綱齊次性標(biāo)準(zhǔn)，確定各物理量之間關(guān)系分析方法。三、量綱分析法 為了用數(shù)學(xué)來描述物理對(duì)象，需要對(duì)其定量化。物理對(duì)象定量化需要有單位和數(shù)值，單位是作為度量標(biāo)準(zhǔn)某個(gè)物理量。第33頁 每個(gè)物理量都能夠由其它物理量導(dǎo)出。假如

16、要求一組基本物理量，那么其它物理量均能夠表述成這組基本物理量?jī)绱谓M合。這種基本物理量?jī)绱谓M合，就稱作該物理量量綱。通慣用量來表示物理量量綱，不一樣物理量往往有不一樣量綱。 比如，小時(shí)、分、秒是時(shí)間不一樣測(cè)量單位，但這些單位屬于同一個(gè)類，均為時(shí)間單位，用T表示，T 就是上述時(shí)間單位量綱。同理，米、厘米、毫米等同屬長(zhǎng)度單位，用L表示長(zhǎng)度量綱。噸、千克、克同屬質(zhì)量單位，用M表示質(zhì)量量綱。無單位物理量量綱記為1。第34頁（二）量綱齊次性標(biāo)準(zhǔn)與相同定律1.量綱齊次性標(biāo)準(zhǔn) 用數(shù)學(xué)公式來描述任何一個(gè)客觀規(guī)律時(shí)，等式兩邊量綱必須一致，這個(gè)要求稱為量綱一致標(biāo)準(zhǔn)。 量綱一致標(biāo)準(zhǔn)告訴我們，一個(gè)物理方程式等式兩邊應(yīng)該

17、含有相同量綱。不然，就是錯(cuò)誤物理方程式。也就是說，假如用一個(gè)數(shù)學(xué)方程描述一個(gè)物理過程，則方程中各項(xiàng)量綱必定相同，用量綱表示物理方程必定是齊次性。第35頁 量綱齊次性標(biāo)準(zhǔn)，用數(shù)學(xué)語言能夠表述為（胡云，）： 假設(shè)某系統(tǒng)（過程）有n個(gè)物理量Q1，Q2，.，Qn；其中基本量數(shù)目為m，它們對(duì)應(yīng)量綱分別為X1，X2，.，Xm。那么，任一個(gè)物理量Q量綱式可表示為這一組基本量量綱冪次積，即(3.4.32)式中，冪次指數(shù)1, 2, , m稱為量綱指數(shù)。(3.4.32)式兩端取對(duì)數(shù)，得到：(3.4.33)第36頁 量綱分析法中更為普遍方法是著名定理，又稱泊金漢定理，它是泊金漢（E.Buckingham）于1951

18、年提出，應(yīng)用廣泛。 定理能夠表述以下： 某系統(tǒng)（過程）假如包含有n個(gè)有量綱物理量Q1，Q2，.，Qn，它們之間關(guān)系為 其中可選出m（mn）個(gè)在量綱上相互獨(dú)立物理量，其余（n-m）個(gè)物理量在量綱上是非獨(dú)立。那么，這個(gè)系統(tǒng)（過程）等價(jià)地可由這n個(gè)物理量組成（ n-m ）個(gè)相互獨(dú)立無量綱（量綱為1）量 ， ，.， 所表示表示式來描述，即(3.4.34)(3.4.35)第37頁 式(3.4.35)與式(3.4.34)相比，所包含變量數(shù)目降低了m個(gè)，而且不論選取怎樣量綱系統(tǒng)，它們之間函數(shù)關(guān)系都是相同。所以，關(guān)系式（3.4.35）比有量綱關(guān)系式（3.4.34）應(yīng)用更為廣泛，假如據(jù)此進(jìn)行試驗(yàn)或模擬，能夠使工

19、作量大大降低。第38頁2. 相同性定律 兩個(gè)同類物理系統(tǒng)（過程）量綱為1量 值假如相同，則它們系統(tǒng)狀態(tài)亦相同。 所以，量綱為1量 值相同模型試驗(yàn)結(jié)果，能夠用來推測(cè)原型。因?yàn)槲锢砹砍闪㈥P(guān)系式是對(duì)基本方程進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算得到，所以關(guān)系式中出現(xiàn)數(shù)值系數(shù)數(shù)量級(jí)多為1。相反地，在幾個(gè)量之間進(jìn)行量綱分析時(shí)，假如依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果所決定系數(shù)值過大或過小，則可斷定在這幾個(gè)量之間可能存在相關(guān)性。 第39頁3. 地理相同準(zhǔn)則 馬藹乃（1997, ）研究認(rèn)為，因?yàn)閿?shù)理方程及其求解條件極其苛刻，只適合極少數(shù)簡(jiǎn)單地理現(xiàn)象研究。而對(duì)于眾多復(fù)雜地理現(xiàn)象與地理過程，應(yīng)該用量綱分析方法找出地理相同準(zhǔn)則，再進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到地理模型。第

20、40頁（一）科學(xué)發(fā)覺中類比分析法四、類比分析法 類比分析法，是依據(jù)兩個(gè)對(duì)象已知相同性，把其中一個(gè)對(duì)象已知特殊性質(zhì)遷移到另一對(duì)象上去，從而取得另一個(gè)對(duì)象性質(zhì)一個(gè)方法。 嚴(yán)格來說，類比法是一個(gè)尋求解題思緒、猜測(cè)問題答案或結(jié)論發(fā)覺方法，而不是一個(gè)論證方法，作用是啟迪思維，幫助我們尋求解題思緒。它是一個(gè)從特殊到特殊推理方法，是一個(gè)或然性推埋，其結(jié)論是否正確，還需要經(jīng)過嚴(yán)格證實(shí)。第41頁（二）類比法地理建模實(shí)例 1.熵概念及其產(chǎn)生與發(fā)展 熵，最初是在人們研究熱機(jī)效率時(shí)引入一個(gè)物理概念。第，次使用熵這個(gè)名詞是物理學(xué)家克勞修斯（Clausius R.）。1865 年，為了區(qū)分“守恒”和“可逆性”兩個(gè)概念，他

21、引入了一個(gè)不一樣于能量新概念，即熵。 熵僅與系統(tǒng)現(xiàn)時(shí)存在狀態(tài)相關(guān)，而與系統(tǒng)過去經(jīng)歷熱力過程無關(guān)。 大約在1870 年前后，玻爾茲曼（Boltzmann L.）從分子運(yùn)動(dòng)論角度對(duì)熱力學(xué)熵作出了新微觀解釋，使熵含義得到了第一次擴(kuò)展。第42頁 他認(rèn)為熵是分子運(yùn)動(dòng)混亂程度大小一個(gè)測(cè)度。系統(tǒng)吸收了熱量，系統(tǒng)物質(zhì)內(nèi)能增加，分子運(yùn)動(dòng)速度就增大，這么分子運(yùn)動(dòng)就愈加混亂，因而系統(tǒng)熵值就增大了。假如認(rèn)可分子每種微觀狀態(tài)出現(xiàn)機(jī)會(huì)都相等話，那么人們就會(huì)發(fā)覺，系統(tǒng)每一個(gè)宏觀狀態(tài)都與極其眾多微觀狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，那么，這時(shí)，熵就與該宏觀狀態(tài)下對(duì)應(yīng)微觀狀態(tài)個(gè)數(shù)對(duì)數(shù)之間存在線性關(guān)系，即：(3.4.44)（3.4.44）式中，K 就

22、是玻爾茲曼常數(shù)。第43頁 從概率論角度來看，每一個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)機(jī)會(huì)都相等，即意謂著每一個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)概率為：這么，（3.4.44）式能夠深入寫為： 從上式我們能夠看出，熵原來是從微觀狀態(tài)分布對(duì)系統(tǒng)宏觀狀態(tài)一個(gè)描述。由此我們能夠看到，玻爾曼茲解釋已使熵這一概念從對(duì)熱力過程（卡諾循環(huán)過程）中能量耗損描述，擴(kuò)展到從微觀狀態(tài)描述系統(tǒng)宏觀表現(xiàn)一個(gè)新領(lǐng)域。 (3.4.45)第44頁當(dāng)代信息論創(chuàng)始人申農(nóng)（Shannon, 1948）不但把他目光投向了信息概率分布，而且天才般地指出，假如一個(gè)信息中某種信號(hào)出現(xiàn)概率為Pi，那么它所帶信息量就是 ，所以，這一信息所含全部信息量就是 ，于是他定義信息熵為： （3.4

23、.46）式中，C是一個(gè)單位常數(shù)。當(dāng)H單位取納特（nat）時(shí)，C1；當(dāng)H單位取比特（bit）時(shí)， 。 那么，當(dāng)H單位取比特（bit）時(shí)，（3.4.46）式也能夠?qū)懗桑?3.4.46)(3.4.47)第45頁 對(duì)于連續(xù)性分布，仿（3.4.46）式，其信息熵也能夠被定義為：（3.4.48）式中，p(x)是隨機(jī)變量x分布密度函數(shù)。 申農(nóng)把熵概念用于信息論研究中，使熵概念又一次得到擴(kuò)展。在這個(gè)擴(kuò)展過程中，我們能夠看到，熵不但無須與熱力學(xué)過程相聯(lián)絡(luò)，而且也無須與微觀分子運(yùn)動(dòng)相聯(lián)絡(luò)，而是與事物分布緊密相關(guān)。熵最本質(zhì)東西就是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)科學(xué)計(jì)量描述。 (3.4.48)第46頁2. 地理系統(tǒng)熵模型 地理學(xué)家都希望

24、將墑這一概念引入自己研究領(lǐng)域，以推進(jìn)當(dāng)代地理學(xué)發(fā)展。 斯特拉勒曲線是20世紀(jì)50 年代美國(guó)理論地貌學(xué)家斯特拉勒提出流域地貌面積高程分析（The area-altitude analysis）方法。 圖3.4.4 斯特拉勒曲線1.0y 0old ageyouthmaturityx1.0第47頁 艾南山曾依據(jù)斯特拉勒（Strahler, 1952）曲線對(duì)地貌系統(tǒng)狀態(tài)描述，建立了地貌系統(tǒng)信息熵。 艾氏地貌系統(tǒng)信息熵為：（3.4.58）式中，(3.4.58)第48頁 蔣忠信（1987）研究發(fā)覺，滇西北金沙江、瀾滄江、怒江及其支流河谷縱剖面演化，可用伊凡諾夫（. B. BaOB）河流縱剖面方程來描述：（3.4.59）式中，h 為縱剖面上某點(diǎn)與河口高差，l為該點(diǎn)與河口之間水平距離，H和L分別為河源與河口之間高差和水平距離，形態(tài)指數(shù)N 恒為正。當(dāng)0N1時(shí)，剖面下凹。