1、特點與特點向量的觀點及其算定1.A是數(shù)域P上的一個n矩，是一個未知量，稱A的特點多式，()=|E-A|，是一個P上的對于的n次多式，E是位矩。()=|E-A|=n+1n-1+n=0是一個n次代數(shù)方程，稱A的特點方程。特點方程()=|E-A|=0的根(如：0)稱A的特點根(或特點)。n次代數(shù)方程在復數(shù)域內(nèi)有且有n個根，而在數(shù)域內(nèi)不必定有根，所以特點根的多少和有無，不與A相關，與數(shù)域P也相關。以A的特點0代入(E-A)X=，得方程(0E-A)X=，是一個次方程，稱A的對于0的特點方程。因|0E-A|=0，(0E-A)X=必存在非零解X(0)，X(0)稱A的屬于0的特點向量。所有0的特點向量全體組成

2、了0的特點向量空。一.特點值與特點向量的求法于矩A，由AX=0X，0EX=AX，得：0E-AX=即次性方程有非零解的充分必需條件是：即明特點根是特點多式|0E-A|=0的根，由代數(shù)基本定理有n個復根1,2,n，A的n個特點根。當特點根i(I=1,2,n)求出后，(iE-A)X=是次方程，i均會使|iE-A|=0，(iE-A)X=必存在非零解，且有無個解向量，(iE-A)X=的基解系以及基解系的性合都是A的特點向量。例1.求矩的特點與特點向量。解：由特點方程解得A有2重特點1=-2，有特點3=42于特點1=2=-2，解方程(-2E-A)x=得同解方程組x1-x2+x3=0解為x1=x2-x3(x

3、2,x3為自由未知量)分別令自由未知量得基礎解系所以A的對應于特點值1=2=-2的所有特點向量為x=k11+k22(k1,k2不全為零)可見，特點值=-2的特點向量空間是二維的。注意，特點值在重根時，特點向量空間的維數(shù)特點根的重數(shù)。對于特點值3=4，方程組(4E-A)x=得同解方程組為通解為令自由未知量x3=2得基礎解系所以A的對于特點值3=4得所有特點向量為x=k33例2.求矩陣的特點值與特點向量解：由特點方程解得A有單特點值=1，有2重特點值=0123對于1=1，解方程組(E-A)x=得同解方程組為同解為令自由未知量x3=1，得基礎解系所以A的對應于特點值1=1的所有特點向量為x=k11(

4、k10)對于特點值2=0，解方程組(0E-A)=3得同解方程組為通解為令自由未知量x3=1，得基礎解系此處，二重根=0的特點向量空間是一維的，特點向量空間的維數(shù)特點根的重數(shù)，這類狀況下，矩陣A是損失的。所以A的對應于特點值=0得所有特點向量為x=k2323例3矩陣的特點值與特點向量解：由特點方程解得A的特點值為1=1,2=i,3=-i對于特點值1=1，解方程組(E-A)=，由得通解為令自由未知量x1=1，得基礎解系1=(1,0,0)T，所以A的對應于特征值1=1得所有特點向量為x=k11對于特點值2=i，解方程組(iE-A)=得同解方程組為通解為令自由未知量x3=1，得基解系2=(0,i,1)

5、T，所以A于特點2=1的所有特點向量x=k22(k20)。于特點3=-i，解方程(-E-A)x=，由得同解方程通解令自由未知量x=1，得基解系=(0,-i,1)T，所以A的于333=-i的所有特點向量x=k33。特點根復數(shù)，特點向量的分量也有復數(shù)出。特點向量只好屬于一個特點。而特點多個，他都是次性方程(iE-A)x=方程(iE-A)x=的基解系就是屬于特點征向量。的特點向量卻有無的非0解。此中，的性沒關的特性1.n方A=(aij)的所有特點根1，2，,n(包含重根)，第二個式子：由達定理，12n=(-1)nn又|E-A|=n+1n-1+n-11+n頂用=0代入二，得：|-A|=n，而|A|=(

6、-1)nn=12n，性2.假如可逆A的一個特點根，x的特點向量，是A-1的一個特點根，x仍的特點向量。：但是A-1的一個特點根。此中0，是因0不會可逆的特點根，否則，若=0,|A|=1n=0，A奇怪，與A可逆矛盾。2性3.假如方A的一個特點根，x的特點向量，m是Am的一個特點根，x仍的特點向量。：1)Ax=x，二左乘A，得：A2x=Ax=Ax=x=2x，可2是A2的特點根；2)若m是Am的一個特點根，Amx=mx，二左乘A，得：Am+1x=AAmx=Amx=mAx=mx=m+1x，得m+1是Am+1的特點根用法了然m是Am的一個特點根。性4.1，2，,m是方A的互不同樣的特點。xj是屬于i的特點向量(i=1,2,m)，x1,x2,xm性沒關，即不同樣特點的特點向量性沒關。性4出了屬于不同樣特點的特點向量之的關系，因此是一個很重要的。性4可推行：1，2，,m方A的互不同樣的特點，x,x,x1,k1是屬于1的性沒關特點向量，1112xm1,xm2,xm,