1、2.5 重要的連續(xù)型分布 一、指數(shù)分布二、正態(tài)分布三、小結(jié)2一、指數(shù)分布定義2.5.1: 如果隨機(jī)變量X的概率密度為其中0,則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。易知,其分布函數(shù)為3指數(shù)分布的分布函數(shù)推導(dǎo)當(dāng)X0時(shí),當(dāng)X 0時(shí),4指數(shù)分布的期望、方差5指數(shù)分布應(yīng)用背景指數(shù)分布經(jīng)常用來(lái)作各種“壽命”分布的近似。如隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間, 某些消耗性產(chǎn)品(電子元件等)的壽命等等, 都常被假定服從指數(shù)分布。假若產(chǎn)品的失效率為，則產(chǎn)品在t(t0)時(shí)間失效的分布函數(shù)為 F(t)=1-e-lt而產(chǎn)品的可靠度為 R(t)=1-F(t)=e-lt對(duì)指數(shù)分布,任何實(shí)數(shù)a，b (0 a 0時(shí)，= 1- 在t時(shí)刻之前無(wú)汽車(chē)過(guò)

2、橋于是8例3. 顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布,X的計(jì)時(shí)單位為分鐘.若等待時(shí)間超過(guò)10分鐘,則他就離開(kāi).設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行5次,以Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù),求Y分布律及至少有一次沒(méi)有等到服務(wù)的概率P(Y 1). 解:由題意不難看出YB(5,p) 其中的概率p=P(X10)， 現(xiàn)X的概率密度函數(shù)為 因此,Y的分布律為于是 P(Y1)=1-P(Y=0)=1-(1-e -2)50.5167. 9二、正態(tài)分布正態(tài)分布也叫高斯分布, 它的一切可能取值為全體實(shí)數(shù)。正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛,在理論上研究最多的分布之一,故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。

3、定義2.5.2: 如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中s , m為常數(shù), 并且s 0, 則稱(chēng)X服從正態(tài)分布, 簡(jiǎn)記作XN(m , s2) 。特別地, 當(dāng)m=0, s =1時(shí), 稱(chēng)其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 其概率密度記為j (x), 這時(shí)X N(0,1) 。10泊松積分公式作極坐標(biāo)變換，令體積元為11正態(tài)分布的期望若隨機(jī)變量 XN(,2), 則 EX= 。證明:則12正態(tài)分布的方差若隨機(jī)變量 X N(,2), 則 DX= 2 。證明:則13正態(tài)分布的兩個(gè)特性 (1) 單峰對(duì)稱(chēng) 密度曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng) (2) 的大小直接影響概率的分布 越大,曲線(xiàn)越平坦,越小,曲線(xiàn)越陡峻。 決定了圖形的中心位置， 決定

4、了圖形中峰的陡峭程度. 正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)14 設(shè) X ,X 的分布函數(shù)是正態(tài)分布 的分布函數(shù)15正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和唯一確定， 當(dāng)和不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布1617標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖xj (x)01-118標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)特性(1) (x)有各階導(dǎo)數(shù)(2) (-x)= (x), 偶函數(shù)(3) 在(-,0)內(nèi)嚴(yán)格上升,在(0, +)嚴(yán)格下降.在x=0 處達(dá)到最大值: (0)=(2)-1/20.3989.(4) 在x = 1處有兩個(gè)拐點(diǎn);(5) x軸是(x)的水平漸近線(xiàn):標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表示為:19標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表一般的概率統(tǒng)計(jì)教

5、科書(shū)均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。（通常只有x0的正態(tài)分布表）如: 若ZN(0,1), (0)=0.5, (0.5)=0.6915;P1.32Z0 時(shí), 而當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 21例4. XN(0,1), 求P(X1.96), P(X-1.96), P(|X|1.96), P(-1X2), P(X5.9) 。解 P(X 1.96) =F(1.96) =0.975P(X -1.96)=P(X 1.96)=1-P(X 1.96)=1-F(1.96) =1-0.975=0.025P(| X |1.96)=P(-1.96 X 1.96)=F(1.96)-F(-1.96)=2F(1.96)-1=

6、0.95P(-1 X 2)=F(2)-F(-1)=F(2)-1-F(1)=0.81855P(X 5.9)=F(5.9)=122一般正態(tài)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的關(guān)系定理： 如果N(, 2), N(0,1), 其概率密度分布記為f(x)和(x), 分布函數(shù)分別記為F(x)及(x), 則定理：如果N( ,2), 而 =(-)/, 則 N(0,1) ?？梢宰C明, 服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X, 它的線(xiàn)性函數(shù)kX+b(k0)仍服從正態(tài)分布。23例5. X N(8,0.52), 求P(| X -8|3的值。 如在質(zhì)量控制中,常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3作兩條線(xiàn),當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線(xiàn)之外時(shí)發(fā)出警報(bào),表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。2627例8 一種電子元件的使用壽命(小時(shí))服從正態(tài)分布(100,225),某儀器上裝有3個(gè)這種元件,三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的。求使用的最初90小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率。解:設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),則 YB(3,p)，其中故282分布與正態(tài)分布的關(guān)系定理: 設(shè)X N(0,1), 則X2 2(1) 。證明: 設(shè)X2的概率密度為fX2(x), X的概率密度仍用(x) 表示。由分布函數(shù)法 FX2(x)=PX2 x當(dāng)x0時(shí),FX2(x)=0,故fX2(x)=0;當(dāng)x0時(shí), FX2(x)=PX2x=P-x1/2Xx1/2 = F(x1/2)- F(-x1/2)所以 這一節(jié)