1、高沖三函的念象性編稿：孫永釗 審稿：張林娟【考望近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因?yàn)楹男再|(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容學(xué)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)合起來(lái)，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上線段表示的三角函數(shù)值來(lái)獲得函數(shù)的性質(zhì)同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用形結(jié)合的 思想方法三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識(shí)內(nèi)容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內(nèi)容時(shí)有明顯的降調(diào)傾向突出正、余弦函數(shù)的主體地

2、位，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在課本知識(shí)的重現(xiàn)上，要注重抓基本知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)、基本方法的再識(shí)和基本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，使之形成比較完整的知識(shí)體系；第二、三輪復(fù)習(xí)基本綜合檢測(cè)題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當(dāng)然，這一部分知識(shí)最可出現(xiàn)的是“結(jié)合實(shí)際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用）來(lái)考查角函數(shù)性質(zhì)”的命題，因此，建議三角函數(shù)的復(fù)習(xí)應(yīng)控制在課本知識(shí)的范圍和難度上，這樣就能夠適應(yīng)來(lái)高考命 題趨勢(shì)。從近幾年高考試題來(lái)看，對(duì)三角函數(shù)的考查：一是以選擇填空的形式考查三角函

3、數(shù)的性質(zhì)及公的應(yīng)用，一般占兩個(gè)小題；二是以解答題的形式綜合考查三角恒等變換y 與向量等其他知識(shí)綜合及三角函數(shù)為背景的實(shí)際問(wèn)題.的性質(zhì)、三角函數(shù)預(yù)測(cè)今年，考查形式不變，選擇、填空題以考查三角函數(shù)性質(zhì)及公式應(yīng)用為主，解答題將會(huì)以量為載體，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)或者與函數(shù)奇偶性、周期性、最值等相結(jié)合，以小型綜合題式出 【識(shí)華方法技巧：1.八大基本關(guān)系依據(jù)它們的結(jié)構(gòu)為倒數(shù)關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系，用三角函數(shù)的定義反復(fù)明強(qiáng)化記憶，這是最有效的記憶方法。誘導(dǎo)公式用角度制和弧度制表示都成立，記憶方法可概括為“奇偶不變， 符號(hào)看象限與不變是相對(duì)于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的2.三角函數(shù)值的符號(hào)在求角的三函數(shù)值和三角

4、恒等變換中，顯得十分重要，根據(jù)三角函數(shù)的可簡(jiǎn)記為“一全正，二正弦，三兩切，四余弦含義是：在第一象限各三角函數(shù)值皆為正；在第二象限弦值 為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正第 頁(yè) 共 頁(yè) 左 0)向橫 坐標(biāo)伸(00)向橫 坐標(biāo)伸(00 時(shí)，=y =r 53 x t 4 , cos ， tan 5 r 5t t 4；y 3當(dāng) t0,cos0,sin- cos=75, 4 sin 5 5由 得 7 5 5第 頁(yè) 共 頁(yè)弓 扇 扇 弓 扇 扇 tan=43sin2cos2（2）21 sin cos 2 2 2 2 1 tan 2 2tan=43cos tan 1 tan 2 ( ) 2

5、) 【結(jié)華）對(duì)于 sin，sin，sin-cos這三個(gè)式子已知其中一個(gè)式子的值，其余二式的值可求。轉(zhuǎn)化的公式為sin)=12 sincos（2）關(guān)于 sin，cos的齊次式， 往往化為關(guān)于 tanx 的式子?！?4已知一扇形圓心角是，所在圓半徑是 。（1） 若=60，R=10cm,求扇的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積。（2） 若形的周長(zhǎng)是一定值 C（C0是多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？【路撥）利用弧長(zhǎng)、面積公式求解把扇形面積用表示出來(lái)或用弧長(zhǎng)表示出來(lái)，然后求 出函數(shù)的最值。【析）弧長(zhǎng)為 l ，形面積為 ，弓 60 R 10, l 1S 3 2 3)( cm ). sin 60（2）方法一：扇形周長(zhǎng)

6、C=2R+ C2S ) 2 l=2R+R=2 C 2 1 C 2 C 2 16.當(dāng)且僅當(dāng) 4，即=2（=-2 舍去）時(shí)，扇面積有最大值C 216。第 頁(yè) 共 頁(yè)max方法二：由已知 l =C, max R (l S Cl 2 2 )1 C C 2 (l ) 4 2 16當(dāng)l C 時(shí)， ，2 16此時(shí)l R2 22.2C 2當(dāng) 弧度，扇形面積有最值 。16【結(jié)華合理選擇變量，把扇形面積表示出來(lái)，體現(xiàn)了函數(shù)的思想，針對(duì)不同的函數(shù)類型，采用同 的方法求最值，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。舉反：【式若cos2sin 5,則tan=( )（A1 （B2 （） 2 2（）【析由cos 5可得：由 5 2sin ，又

7、由sin22 ，得 2 5 2sin）1 5 ， 5 可得， 5sin tan所以，2 【結(jié)華 于給出正弦與余弦的關(guān)系式的試題要能想到隱含條件：sin22 ，與它聯(lián)系成方程組，解方程組來(lái)求解。第 頁(yè) 共 頁(yè)類三誘公【 5化簡(jiǎn)：sin( )cos( ( k )【路撥化時(shí)注意觀察題設(shè)中的出現(xiàn)了 k ，討論 k 是數(shù)還是偶數(shù)。【析當(dāng)k ( n Z )時(shí)，原式 sin(2 n n cos( n 當(dāng)k 2 n Z )時(shí)原式 sin(2 n cos(2 sin(2 cos(2 cos( cos 綜上，原式-1【結(jié)華誘導(dǎo)公式用角度和弧度制表示都成立憶法可以概括奇偶不變號(hào)看象限“變不相于對(duì)偶關(guān)系的函數(shù)而言的與

8、 對(duì)偶式k 2+的整數(shù) k 來(lái)的，象限指k +中，將看作銳角時(shí)， k 2 2+所在象限，如將 2+)寫成 （ 3 + 3 是奇數(shù)為偶數(shù)符“sin 看作第四象限角 +2 2)“以 cos( +)=sin。2例 （ 宜賓縣模擬） ABC 中角 A 為角，且+cos A（1）求 fA）的最大值（2）若 ， 的三個(gè)內(nèi)角和 AC 邊長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥）先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) f（A據(jù) A 為角，確定 f（）最大值（2）利用 f（=1 出 AB、 三角，再用正弦定理求 AC 的長(zhǎng).【解析） 由已知得 f（A）=取值最大值，其最大值為第 頁(yè) 共 頁(yè)（II）由 fA）=1 得 （2A+）=在ABC 中由弦定理得：【總結(jié)

9、升華三恒等變換與解三角形的綜合問(wèn)題，是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)此類型題目要先化簡(jiǎn)再求 值。另外要特別注意角的取值范圍問(wèn).舉反：【變式 春 湛期末）若 cos= ， 第四象限角，求的值【解析】 是四象限角，cos= ，= ，=則原式= =，類四三函的象性 【 7求下列函數(shù)定義域：（1）求 y=lg(sinx-cosx)的定義域；（2）求函數(shù) 1 2cos 的定義域?！韭窊埽ǎ┬☆}實(shí)際就是求使 sinxcosx 的 的合，可用圖象或三角函數(shù)線解決 x 第（2）小題實(shí)際就是求使 0成立的 的，可用圖象或三角函數(shù)線解決。【析）使函數(shù)有意義，必須使 sinx-cosx0方法一：利用圖象。在同一坐標(biāo)系中畫出

10、0 y=sinx 和 y=cosx 的圖象，如圖所示：第 頁(yè) 共 頁(yè)1 1 在0內(nèi)，滿足 sinx=cosx 的 為 ， ，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)周期是 2所以定義域 4 為 4 kx k 4 k Z 方法二三角函數(shù)線，MN 為正線 為余弦線 sinxcosx,即 MNOM，則4x 54(在0,2)。定義域?yàn)?5 4 k Z方法 三sinx-cosx= sin(x- )0,將 x- 視為一個(gè)整體正弦函數(shù) 4 y=sinx 的象和性質(zhì)可知 2k x- 5 , 解 2k + x0) 的函，可先利用誘導(dǎo)公式把 x 的數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，得y=-Asin( x- ) ， 由 2 k2 k Z )得 到 函 數(shù) 的

11、 減 區(qū) 間 ， 由2 k2 Z )得到函數(shù)的增區(qū)間?！?9已知函數(shù) sin 2 （1）用五點(diǎn)法作出它的圖象；（2）指出這個(gè)函數(shù)的振幅、周、頻率、初相和單調(diào)區(qū)間；（3）說(shuō)明該函數(shù)的圖象可由 【析y sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到？（1） 2( 2 2 x) 2 x cos ) ) .列表描點(diǎn)繪圖如:2 30222x612371256y 020-20（2）如圖可知，此函數(shù)的振幅2周期為 ，率為1 ，初相為 . 3單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為 , 12 12 , 12 12k ，k第 12 頁(yè) 共 頁(yè) 橫 坐標(biāo)擴(kuò)大為來(lái)2倍 3 1 縱 坐標(biāo)擴(kuò)大到來(lái)3倍 6 1 y sin xa 橫 坐標(biāo)擴(kuò)大為來(lái)

12、2倍 3 1 縱 坐標(biāo)擴(kuò)大到來(lái)3倍 6 1 y sin xa ,06 （3） 圖象左平移 單位 縱坐不變 x )3橫坐標(biāo)縮短為來(lái)的.5倍 縱坐標(biāo)不變y sin(2 x )3縱坐標(biāo)擴(kuò)大到來(lái)2倍 橫坐標(biāo)不變【結(jié)華y 2sin(2 )3五點(diǎn)法作 A , )簡(jiǎn)圖時(shí)，五點(diǎn)取法是設(shè)t t 取 0、2、2、來(lái)求相應(yīng)的值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖；由y sin x的圖象變換出y 的圖象一般先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)，論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母 “角變化”多少；而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是此處的難點(diǎn)是函數(shù)圖象的平移，可以選擇畫出圖象后觀察；也可以直接由函數(shù)式子利用特殊置點(diǎn)

13、 （如：首點(diǎn)、波峰、波谷等）的坐標(biāo)判定，但其前提是兩個(gè)函數(shù)的名稱以及x 系數(shù)是相同.舉反：【式 】y sin( x 3)的圖象得到y(tǒng) 的圖象需要向平移個(gè)單位【案左，6；【析y x sin( x 2)，由y sin( x ) 的象到 y sin( ) 的圖象需要向左平移 個(gè)位 3 【式 】述如何由y 1 )3 的圖象得到 sin 的圖象【析方一y 1 sin(2 ) sin( x )3 3 縱坐不變 3圖向右平 個(gè)單位 縱標(biāo)不變y sin x y 3 坐標(biāo)不變.方二1 1圖向右平 個(gè)單位y sin(2 x )y sin 2 3 33縱標(biāo)不變橫坐標(biāo)擴(kuò)大為來(lái)2倍 坐標(biāo)擴(kuò)大原來(lái) 縱坐標(biāo)不變 3 坐標(biāo)不

14、變 sin x.【變式 】將函數(shù) sin 0)的圖象按向量 平移，平移后的圖象如圖所示，則平第 13 頁(yè) 共 頁(yè)max移后的圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是（ ）maxAy sin( x ) B x ) C y sin(2 ) D 6 )【案；把點(diǎn)(12, 代入選項(xiàng)即得。【 】下列函數(shù)的值.（1） sin cos x x 0,）y 2 3 x）y x cos x cos 【路撥 三角式確定的函數(shù)求解值域 .一可從兩個(gè)途徑入 一是三角式化為一個(gè)三角函數(shù)的形式，從而利用三角函數(shù)性質(zhì)求解值域，二是將三角式化為相同形，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求值 【析(1)y 3 x x 2sin( )6，x ， 7 x ,

15、6 .由正弦函數(shù)圖象可知：當(dāng)x 即 x 時(shí) ； 6 即 時(shí)，y min.所以函數(shù)值域?yàn)?(2) 由y 2 3 sin x去分母得：3 y sin ,移項(xiàng)整理 x y，由輔助角公式得： x 2 1 2） 2 y 2 , , |2 y 2 , 即| 2 y y .平方整理得8 2 y , 解：3 3 3 4 4，第 14 頁(yè) 共 頁(yè)2 2 2 2 2 2 所以函數(shù)值域?yàn)?3 3 3 .（3）由(sin x x2 2sin x x 得 x cos )2y sin x cos (sin x cos x) 2 x cos x) 令t cos 2 ) ， 2, 2 4y 21 t ) 2 ,t 2當(dāng)t 1

16、2時(shí)，y min54， 當(dāng)t 2時(shí)，y 2 .所以函數(shù)值域?yàn)?4, 2 .舉反的a【式 設(shè)關(guān)于的函數(shù)ay的值，并對(duì)此時(shí)的值求 a cos x a 的最大值。的最小值為f ( )試確定滿足f ( a 12【案令則 x ， 1,1，a a 2 t at ) 2 ，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t a2，當(dāng)a2 ，數(shù) 在 t 上遞增，y 12；當(dāng)a2，即 時(shí)，函數(shù)y在t 1,1上遞減，y 1 1，得 2 8與 矛盾；當(dāng)a 2，即 a 時(shí)，a 2 a min12，解得 或 （舍a 此時(shí) y .【式 】知函數(shù)f ( a cos 3a sin x 的定義域?yàn)?，值域?yàn)?,5，求常數(shù) 、 b 的【案f ( x) cos

17、2x 3 2 x 6) x 0,2 ， 2 x , 6 6（1）若 ，不符合題意.第 15 頁(yè) 共 頁(yè)2 2 （2） a ，有 時(shí)， ； x 6 時(shí) a 2 ， .（3）若 ，有 7 2 時(shí)， 4 6 2 6 時(shí) ， ， .故 ， 或 ， .類五函 y=Asin(x+的象性的合應(yīng)【 11】知函數(shù) x+),xR(其中 A0,0,0 )圖象與 x 軸交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)22交點(diǎn)之間的距離為 ，圖象上個(gè)最低點(diǎn)為 M( ,-2).32(1)求 f(x)的析式；(2)當(dāng) , ，求 的域 12 T 【路撥由 x 軸的交點(diǎn)中相鄰兩點(diǎn)的距離為 可 ，從而得 T=，即可得.由圖象2 低點(diǎn)得 A 及 的值，從而得函數(shù)

18、 的解析式，進(jìn)而得 f(x)值域.2 【析(1)由最低點(diǎn)為 ,-2),得 A=2.由 軸上鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為 ,得3 2T 2 ,即 T=,=2 T 2 =2.由點(diǎn) M( ,-2)在象上得 2sin(2 )=-2, sin( +3 3 3故 k Z k Z . 3 6 又(0, 故f x 2sin(2x 2 6（2） x , 12 2 3 當(dāng) 2x+ = ,即 x= 時(shí)f(x)得最大值 2;6 6 當(dāng) 2x+ = ,即 x= 時(shí)f(x)得最小-1, f(x)的值域?yàn)?1,2. 6 【結(jié)華確y +b 的析式的步驟：（1）求 A，b 確定數(shù)的最大值 M 和小值 m則 A=M M ，b= 。2

19、（2）求，確定函數(shù)的周期 T則 2；（3）求 常用方法有：代法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代此、 知）或代入圖象與直線 y=b 的點(diǎn)求解。 （此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上第 16 頁(yè) 共 頁(yè)向 平 個(gè)單位 倍、五點(diǎn)法：確時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第向 平 個(gè)單位 倍，0）為突破口。具體如下：第一點(diǎn)（即圖象上升時(shí)與 x 軸交點(diǎn)）為 ；第二點(diǎn)（即圖象的“峰點(diǎn) 2；第三點(diǎn)（即圖象下降時(shí)與 x 軸的點(diǎn)）為 ；第四點(diǎn)（即圖象的“谷點(diǎn) 32；第五點(diǎn)為 舉反：【式 1】把數(shù) ( x )的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng) 個(gè)位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有3點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍（縱坐標(biāo)不變到圖象所表示的

20、函數(shù)是（ ）A sin 2 x ， B ， R C sin 2 x ， D 2 x ， 【析y=sin xy sin( x )31 y sin(2 x )3，故選【式 】同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y x 1 x 0 的象和直線 y 2 2 2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )（A）（B（）2（D【析原數(shù)可化為：x xy x 0 = sin x 0, 2 2 2 2作出原函數(shù)圖像，截取 1部分，其與直線 的點(diǎn)個(gè)數(shù)是 2 個(gè)2【 】知函數(shù)f ( x) sin 2 ) 4 cos 2 （1）求函數(shù) )的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）函數(shù) f ( x)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以得到 sin 的圖象？【路撥根倍角公式將

21、函數(shù)解析化為一般要轉(zhuǎn)化為 y=Asin( 的形式求解?！疚?1)f ( ) sin2(43 ) cos 2 2第 17 頁(yè) 共 頁(yè)= x) x= 2 x cos 21 sin(2 )2 3最小正周期 單調(diào)遞增區(qū)間, ， k 向平移 1 個(gè)單位；向下平移 個(gè)單位【結(jié)華解析式與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)若求函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、值域等問(wèn)題時(shí)，一要 轉(zhuǎn)化為 y=Asin( )+k 的形式。舉反：【式 1 高清視三函的念圖和質(zhì) 4 368995】已知函數(shù)（）求f ( x) f ( x的最小正周期：6) 。（）求f ( x在區(qū)間 , 4 上的最大值和最小值?！疚鲆?yàn)閒 ( x) cos 6) 3 14

22、cos x( x cos ) 2 3 2 2cos 2 3 sin 2 x 6)所以f ( x的最小正周期.（）因?yàn)?x 4, 所以 6 623.于是，當(dāng)2 62,即x 6時(shí)，f ( x取得最大值 2；當(dāng)2 x ,x 時(shí), f ( ) 6 取得最小值1【式 】知函數(shù)f ( x) x2 第 18 頁(yè) 共 頁(yè)ma（）求maf ( x的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（）求f ( x在區(qū)間 上的最大值與最小值【析由已知可得f ( ) 2cosxsin 2 sin( x ) f 的最小正周期是 由 k 得 k x k , Z 3 x k , 4，所以函數(shù) f ( )的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,2k , k Z （）由（） f sin( x ) 因?yàn)?x 0, ，所以 5x 4，當(dāng) sin( x ) 時(shí)，即 x 時(shí)， f ( )取得最大值 【 13已知程2x x x 2 sin cos 2 2 （