1、電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)二二唯一性定理第1頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四2一、靜電問題的唯一性定理區(qū)域V可以分為若干個(gè)均勻區(qū)域Vi，每一均勻區(qū)域的電容率為i 。設(shè)V內(nèi)有給定的電荷分布(x) 。電勢(shì)在均勻區(qū)域Vi內(nèi)滿足泊松方程第2頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四3除此之外，要完全確定V內(nèi)的電場(chǎng)，還必須給出V的外邊界S上的一些條件。在兩區(qū)域Vi和Vj的分界面上滿足邊值關(guān)系第3頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四4唯一性定理：設(shè)區(qū)域V內(nèi)自由電荷分布為(x) ，在V的外邊界S上給定（i）電勢(shì)s或（ii）電勢(shì)的法向倒數(shù)(/n)s則V內(nèi)的

2、電場(chǎng)唯一地確定。也就是說，在V內(nèi)存在唯一的解，它在每個(gè)均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在兩均勻區(qū)域分界面上滿足邊值關(guān)系，并在V的邊界S上滿足給定的或 /n值。第4頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四5證明：設(shè)有兩組不同的解和滿足唯一性定理的條件。由得令第5頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四6在兩均勻區(qū)界面上有在整個(gè)區(qū)域V的邊界S上有或第6頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四7考慮第i個(gè)均勻區(qū)Vi的界面Si上的積分對(duì)所有分區(qū)Vi求和在均勻區(qū)界面 內(nèi)部邊界積分相互抵消 第7頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四8這說明

3、和至多只能相差一個(gè)常量。但電勢(shì)的附加常量對(duì)電場(chǎng)沒有影響，這就證明了唯一性定理。而右邊被積函數(shù)i()2 0。上式成立的條件是在V內(nèi)各點(diǎn)上都有=0 ，即在V內(nèi)，外邊界因 積分亦為零或 第8頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四9二、有導(dǎo)體存在時(shí)的唯一性定理當(dāng)有導(dǎo)體存在時(shí)，由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)我們知道，為了確定電場(chǎng)，所需要條件有兩種類型：一類是給定每個(gè)導(dǎo)體上的電勢(shì)i；另一類是給定每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷Qi。第9頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四10如圖設(shè)在某區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，除去導(dǎo)體內(nèi)部以后的區(qū)域?yàn)閂。設(shè)V內(nèi)有給定電荷分布，S上給定了|s 或(/n)|s值。第10頁，

4、共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四11第二類型：設(shè)區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，給定導(dǎo)體之外的電荷分布 ，給定各導(dǎo)體上的總電荷Qi以及V的邊界S上的 或/n 值，則V內(nèi)的電場(chǎng)唯一地確定。第一類型：當(dāng)每個(gè)導(dǎo)體上的電勢(shì)i給定時(shí)，即給出了V所有邊界上的 或(/n)值，因而由上一小節(jié)證明了的唯一性定理可知， V內(nèi)的電場(chǎng)被唯一確定。第11頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四12在第i個(gè)導(dǎo)體上滿足總電荷條件和等勢(shì)面條件以及在V的邊界S上具有給定的|s 或(/n)|s值。也就是說，存在唯一的解，它在導(dǎo)體以外滿足泊松方程第12頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，

5、星期四13證明設(shè)有兩個(gè)解和滿足或則滿足第13頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四14對(duì)區(qū)域V用公式第14頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四15上式左邊的面積分包括V的邊界S以及每個(gè)導(dǎo)體的表面Si上的積分。在Si上的積分在S上的積分由此第15頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四16即和至多只能相差一個(gè)常量，因而電場(chǎng)唯一確定。當(dāng)導(dǎo)體外的電勢(shì)確定后，導(dǎo)體上的電荷面密度由邊值關(guān)系確定第16頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四17例 如圖兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半部電容率為1，右半部電容率為2，設(shè)內(nèi)球殼帶

6、總電荷Q，外球殼接地，求電場(chǎng)和球殼上的電荷分布。第17頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四18設(shè)兩介質(zhì)內(nèi)的電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移分別為解第18頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四19如果我們假設(shè)E仍保持球?qū)ΨQ性，即此時(shí)邊值關(guān)系得到滿足。由于左右兩半是不同介質(zhì)，因此一般不同于只有一種均勻介質(zhì)時(shí)的球?qū)ΨQ解。在找嘗試解時(shí)，我們先考慮兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系第19頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四20導(dǎo)體球面上的積分將電場(chǎng)值代入得解出第20頁，共22頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)41分，星期四21則此解滿足唯一性定理的所有條件，因此是唯一正確的解。注意導(dǎo)體兩半球上的面電荷分布是不同的，但E卻保持球?qū)ΨQ性。第21頁，共22頁，2022年，5月20日，