1、新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)(必修1)知識點(diǎn)導(dǎo)學(xué)一、集合:1.集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,每一個對象叫集合的一個元素。2.元素的三個特性:(1)確定性:對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定集合的元素,(2)互異性:任何一個給定的集合中,任意兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素,(3)無序性:集合中的元素是平等的,沒有先后順序,判斷兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣,(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3.集合的表示:列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,用一個大

2、括號括起來,元素與元素之間用逗號隔開,描述法:將集合中元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法,語言描述法:如:不是直角三角形的三角形,數(shù)學(xué)式子描述法:如:不等式x-32的解集是xR|x-32或x| x-32。4.集合的分類:(1)有限集:含有有限個元素的集合,(2)無限集:含有無限個元素的集合,(3)空集:不含任何元素的集合,如:x|x2=-5。5.集合間的基本關(guān)系:(1)包含關(guān)系(子集):AB有兩種可能:A是B的一部分,A與B是同一集合,集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A,記作AB或BA,(2)相等關(guān)系(若55且55，則5=5),如:A=x|x2-1=0與B=-1,1相等,

3、對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,就說集合A等于集合B,即:A=B,任何一個集合是它本身的子集,AA,真子集:如果AB且AB,就說集合A是集合B的真子集,記作AB或BA,若AB且BC,則AC,若AB且BA,則A=B,(3)不含任何元素的集合叫空集,記為,規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。6.集合的運(yùn)算:(1)交集:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合叫A與B的交集,記作AB(讀作A交B),即AB=x|xA且xB,(2)并集:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合叫A與B的并集,記作

4、AB(讀作A并B),即AB=x|xA或xB,(3)交集與并集的性質(zhì):AA=A,A=,AB=BA,AA=A,A=A,AB= BA,(4)全集與補(bǔ)集:補(bǔ)集:設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集,即AS,由S中所有不屬于A的元素組成的集合叫S中子集A的補(bǔ)集(余集或差集),記作:CSA,即CSA =xxS且xA,全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集,通常用U來表示,性質(zhì):CU(C UA)=A,(CUA)A=,(CUA)A=U。函數(shù)單調(diào)性u=g(x)增增減減y=f(u)增減增減y=fg(x)增減減增二、函數(shù)概念及其性質(zhì):1.函數(shù)的概念:設(shè)A,B是兩個非空數(shù)集,按照

5、某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使得對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x)(xA),x叫自變量,x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域,與x的值相對應(yīng)的y值叫函數(shù)值,函數(shù)值的集合f(x)|xA叫函數(shù)的值域,(1)若只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域是指能使這個式子有意義的實(shí)數(shù)的集合,(2)函數(shù)的定義域,值域要寫成集合或區(qū)間的形式,(3)能使函數(shù)解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,(4)求函數(shù)定義域的主要依據(jù):分式的分母不為零,偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零,對數(shù)式的真數(shù)大于零,指數(shù)和對數(shù)式

6、的底數(shù)大于0且不等于1,如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的,那么它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合,指數(shù)為零底數(shù)不等于0,實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義,(5)函數(shù)三要素:定義域,對應(yīng)關(guān)系和值域,構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域,對應(yīng)關(guān)系和值域,值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,這兩個函數(shù)是同一個函數(shù),兩個函數(shù)相同當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān),(6)值域:函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域,熟練掌握一次函數(shù),二次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)的

7、值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。2.函數(shù)圖象:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x)(xA)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫函數(shù)y=f(x)(xA)的圖象,C上每一個點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x,y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)均在C上,記為C= P(x,y)|y=f(x),xA,圖象C一般是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有一個交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。3.區(qū)間:(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間,閉區(qū)間,半開半閉區(qū)間,(2)無窮區(qū)間,(3)區(qū)間的數(shù)軸表示。4.映射:一般地,設(shè)A,B是兩

8、個非空集合,如果按照某一個確定的對應(yīng)法則f,使得對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個映射,記作f:AB,給定一個集合A到B的映射,aA,bB且元素a和元素b對應(yīng),元素b叫元素a的象,元素a叫元素b的原象,函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應(yīng),集合A,B及對應(yīng)法則f是確定的,對應(yīng)法則具有方向性,強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng),它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的,映射f:AB應(yīng)滿足:(1)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的,(2)集合A中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個,(3)不要求集合B

9、中的每一個元素在集合A中都有原象。5.分段函數(shù):在定義域的不同部分上有不同的解析式的函數(shù),在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的解析式,分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而應(yīng)寫出函數(shù)的幾種不同解析式并用一個左大括號括起來,分別注明各部分自變量的取值范圍,(1)分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù),(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集。6.復(fù)合函數(shù):若y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則y=fg(x)=F(x)(xA),稱f,g的復(fù)合函數(shù),如:,等。7.函數(shù)的單調(diào)性:(1)增減性:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)

10、間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1x2時,都有f(x1)x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù),區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間,如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1f(x2),或當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù),區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間,函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì),(2)圖象特點(diǎn):函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù),函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的(從右到左是下降的),減函數(shù)的圖象從左

11、到右是下降的(從右到左是上升的),(3)函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法:A.定義法:任取x1,x2D且x11且*,當(dāng)是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù),的次方根用符號表示,式子叫根式,叫根指數(shù),叫被開方數(shù),當(dāng)是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,它們是互為相反數(shù),正數(shù)的正的次方根用符號表示,負(fù)的次方根用符號-表示,正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成(0),負(fù)數(shù)沒有偶次方根,0的任何次方根都是0,記作。當(dāng)是奇數(shù)時,當(dāng)是偶數(shù)時,(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:,零的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義,整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪,(3)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):(1),(2),(3

12、)。2.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì):(1)指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫指數(shù)函數(shù),x是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)镽,(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì):向x軸正負(fù)方向無限延伸，函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)圖象都在x軸上方，值域?yàn)榧碦+圖象關(guān)于原點(diǎn)和x軸及y軸都不對稱，是非奇非偶函數(shù)，函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(0,1)，在中，總有和圖象從左到右逐漸上升，從右到左逐漸下降圖象從左到右逐漸下降，從右到左逐漸上升增函數(shù),減函數(shù),(二)對數(shù)函數(shù):1.對數(shù):(1)一般地,如果,那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作(叫底數(shù),叫真數(shù),叫對數(shù)式),兩個重要對數(shù):常用對數(shù):以10為底的對數(shù),自然對數(shù):以無理數(shù)為底的對數(shù),(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):,換底公式:(

13、且,且,),(1),(2),2.對數(shù)函數(shù):(1)對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù)且叫對數(shù)函數(shù),是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+),對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,都不是對數(shù)函數(shù),只能稱其為對數(shù)型函數(shù),(2)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì):函數(shù)圖象都在y軸右側(cè),函數(shù)的定義域?yàn)?0,),向y軸正負(fù)方向無限延伸,函數(shù)的值域?yàn)镽函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)和x軸及y軸都不對稱,是非奇非偶函數(shù),函數(shù)圖象都過定點(diǎn)(1,0),在中，總有和增函數(shù)，圖像從左到右逐漸上升，從右到左逐漸下降減函數(shù)，圖像從左到右逐漸下降，從右到左逐漸上升,(三)冪函數(shù):1.定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),為常數(shù)。2.性質(zhì):(1)冪函數(shù)在(0,+)上都有定義,圖象都過定點(diǎn)(1,1),(2)當(dāng)時,圖象過原點(diǎn)且在區(qū)間上是增函數(shù),當(dāng)時,圖象下凸,當(dāng)時,圖象上凸,(3)當(dāng)時,圖象在區(qū)間上是減函數(shù),在第一象限,當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時,圖象在軸右方無限逼近軸正半軸,當(dāng)趨于時,圖象在軸上方無限逼近軸正半軸。四、函數(shù)應(yīng)用(函數(shù)的零點(diǎn)):1.使成立的實(shí)數(shù)叫函數(shù)的零點(diǎn),2.函數(shù)的零