1、非線性系統(tǒng)分析第1頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 知 識 要 點非線性系統(tǒng)的特點，非線性系統(tǒng)的相平面法分析-相軌跡、奇點、奇線、極限環(huán)，非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法-描述函數(shù)的定義、非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)、自持振蕩的條件，非線性系統(tǒng)的校正。第2頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.1 非線性系統(tǒng)概述 控制系統(tǒng)包含一個或一個以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)時，此系統(tǒng)則為非線性系統(tǒng)。7.1.1 非線性系統(tǒng)的特點1非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.系統(tǒng)的自持振蕩（自激振蕩）5.多值響應(yīng)和跳躍諧振 第3頁，

2、共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計方法 非線性系統(tǒng)采用非線性微分方程描述，至今尚沒有統(tǒng)一的求解方法，其理論也還不完善。由于非線性系統(tǒng)的特點，線性系統(tǒng)的分析方法均不能采用。分析非線性系統(tǒng)工程上常采用的方法有：1線性化近似法 對于某些非線性特性不嚴(yán)重的系統(tǒng)，或系統(tǒng)僅僅只研究平衡點附近特性時，可以用小偏差線性化方法，將非線性系統(tǒng)近似線性化。第4頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 2分段線性近似法 將非線性系統(tǒng)近似為幾個線性區(qū)域，每個區(qū)域有對應(yīng)的線性化微分方程描述。3相平面法 相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解分析

3、法，采用在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性系統(tǒng)在不同初始條件下系統(tǒng)的運動形式。該方法只適用最高為二階的系統(tǒng)。4描述函數(shù)法 描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)頻率特性法的推廣，采用諧波線性化將非線性特性近似表示為復(fù)變增益環(huán)節(jié)，應(yīng)用頻率法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。該方法適用于非線性系統(tǒng)中線性部分具有良好的低通濾波特性的系統(tǒng)。第5頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 5李雅普諾夫法 李雅普諾夫法是根據(jù)廣義能量函數(shù)概念分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性。原則上適用所以非線性系統(tǒng)，但對大多數(shù)非線性系統(tǒng)，尋找李雅普諾夫函數(shù)相當(dāng)困難，關(guān)于李雅普諾夫法在現(xiàn)代控制理論中作祥解。6計算機輔助分析

4、 利用計算機模擬非線性系統(tǒng)，特別上采用MATLAB軟件工具中的Simulink來模擬非線性系統(tǒng)方便且直觀，為非線性系統(tǒng)的分析提供了有效工具。第6頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.2 典型非線性特性 按非線性環(huán)節(jié)特性的形狀可以將非線性環(huán)節(jié)劃分為死區(qū)特性、飽和特性、繼電特性、間隙特性等。死區(qū)特性（不靈敏區(qū)）死區(qū)特性的的數(shù)學(xué)描述為： 第7頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 死區(qū)特性對系統(tǒng)性能的影響：（1）由于死去的存在，增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了系統(tǒng)的控制精度；（2）若干擾信號落在死區(qū)段，可大大提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

5、2飽和特性第8頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 飽和特性對系統(tǒng)性能的影響：（1）將使系統(tǒng)的開環(huán)增益有所降低，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利；（2）使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。 有時從系統(tǒng)安全性的考慮，常常加入各種限幅裝置，其特性也屬飽和特性。 第9頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 3間隙特性（回環(huán)特性）間隙特性對系統(tǒng)的影響：一般來說，間隙使系統(tǒng)輸出相位滯后，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，控制系統(tǒng)的動態(tài)特性變壞，甚至使系統(tǒng)振蕩；間隙的存在使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴大，穩(wěn)態(tài)特性變差。第10頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，

6、星期四第1章 引 論 4繼電器特性繼電器特性可包含理想繼電器特性、死區(qū)繼電器特性、回環(huán)繼電器特性和死區(qū)加回環(huán)繼電器特性如圖所示。 第11頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 （1）理想繼電器特性（2）死區(qū)繼電器特性第12頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 （3）回環(huán)繼電器特性 （4）死區(qū)加回環(huán)繼電器特性第13頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.3 相平面分析法 相平面法是龐加萊（Poincare）提出的，它是一種求解二階非線性微分方程組的圖解法，它比較直觀、準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性

7、、平衡狀態(tài)的特性、不同初始狀態(tài)和輸入信號下系統(tǒng)的運動形式。雖然相平面法適用一階、二階非線性控制系統(tǒng)的分析，但它形成特定的相平面法，它對弄清高階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、極限環(huán)等特殊現(xiàn)象，也起到了直觀形象的作用。 第14頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.3.1 相平面的基本概念 設(shè)二階非線性系統(tǒng)的微分方程為：若令 則二階系統(tǒng)可寫成兩個一階微分方程，即第15頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 1.相平面，相點和相軌跡 以 為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)的平面稱為相平面，相應(yīng)的分析法稱為相平面法；相平面上的點稱為相點；由某一初始條件出

8、發(fā)在相平面上繪出的曲線稱為相平面軌跡，簡稱相軌跡；不同初始條件下構(gòu)成的相軌跡，稱為相軌跡族，由相軌跡族構(gòu)成的圖稱為相平面圖，簡稱相圖。第16頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 2.相軌跡方程和平衡點考察二階非線性時不變微分方程:引入相平面的概念，將二階微分方程改寫成二元一階微分方程組: 第17頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 一般形式為消去時間變量t，得到相軌跡的斜率方程求解可得相軌跡方程，即表示相平面上的一條曲線，即相軌跡。第18頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 相軌跡的性質(zhì)

9、：1.一般情況下，相軌跡不相交。相點 處的斜率由唯一確定，不同條件下的相軌跡是不會相交。2. 當(dāng)某一相點 滿足第19頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 此時兩個狀態(tài)變量對時間的變化率都為零，系統(tǒng)的狀態(tài)不再發(fā)生變化，即系統(tǒng)到達(dá)了平衡狀態(tài)，相應(yīng)的狀態(tài)點（相點）稱為系統(tǒng)的平衡點。平衡點處有的斜率第20頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 則上式不能唯一確定其斜率，相軌跡上斜率不確定的點在數(shù)學(xué)上也稱為奇點，故平衡點即為奇點。 奇點處，由于相軌跡的斜率dx2dx1為不定值，可理解為有多條相軌跡在此交匯或由此出發(fā)，即相軌跡可以在奇點

10、處相交。第21頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.3.2 線性系統(tǒng)的相軌跡 線性二階系統(tǒng)微分方程為:相軌跡的斜率方程為:第22頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 系統(tǒng)的奇點(平衡點)滿足解得為系統(tǒng)的奇點。系統(tǒng)的特征根為對于不同的阻尼比二階系統(tǒng)的特征根不同，系統(tǒng)的時域響應(yīng)由特征根決定，而時域響應(yīng)和響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)決定系統(tǒng)的相軌跡。 第23頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 1、無阻尼運動（=0） 此時系統(tǒng)特征根為一對共軛虛根，相軌跡方程變?yōu)?對上式分離變量并積分，得式中，A為由初始條件

11、決定的積分常數(shù)。第24頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 初始條件不同時,上式表示的系統(tǒng)相軌跡是一族同心橢圓，每一個橢圓對應(yīng)一個等幅振動。在原點處有一個平衡點(奇點)，該奇點附近的相軌跡是一族封閉橢圓曲線，這類奇點稱為中心點。 無阻尼二階線性系統(tǒng)的相軌跡第25頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 2、欠阻尼運動（01） 系統(tǒng)特征方程的根為一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根,系統(tǒng)的零輸入解為 式中,A、B、為由初始條件確定的常數(shù)。時域響應(yīng)過程是衰減振蕩的。 第26頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引

12、論 可求出系統(tǒng)有一個位于相平面原點的平衡點（奇點），不同初始條件出發(fā)的相軌跡呈對數(shù)螺旋線收斂于該平衡點，這樣的奇點稱為穩(wěn)定焦點。欠阻尼二階線性系統(tǒng)的響應(yīng)和相軌跡第27頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 3、過阻尼運動（1） 系統(tǒng)特征根為兩負(fù)實根,已知系統(tǒng)零輸入解的表達(dá)式為 式中,A1,A2初始條件決定的常數(shù)；1,2特征根第28頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 不同初始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖所示。相軌跡是一族匯聚到原點的拋物線，單調(diào)地趨于平衡點(奇點)坐標(biāo)原點，如圖所示。這種奇點稱為穩(wěn)定節(jié)點。 過阻尼二階線性系統(tǒng)的響

13、應(yīng)和相軌跡第29頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 4、負(fù)阻尼運動(0)（系統(tǒng)不穩(wěn)定，根據(jù)極點位置分三種情況分別討論）(l)-10時,特征根為S右半平面的共軛復(fù)根,響應(yīng)為振蕩發(fā)散,相軌跡是一族從原點向外卷的對數(shù)螺旋線,如圖所示。 奇點為坐標(biāo)原點,稱為不穩(wěn)定焦點。 -10 時的相軌跡第30頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 (2) -1時，特征根是兩個正實根，響應(yīng)為單調(diào)發(fā)散，相軌跡是一族從原點出發(fā)向外單調(diào)發(fā)散的拋物線，如圖所示。奇點為坐標(biāo)原點，稱為不穩(wěn)定節(jié)點。 -1時的相軌跡第31頁，共124頁，2022年，5月20日，

14、15點7分，星期四第1章 引 論 (3)對圖所示的正反饋二階系統(tǒng) 方框圖其特征方程式為特征根為第32頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 特殊情況：兩邊積分得：雙曲線方程特征根為一正，一負(fù)第33頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 特征根為一對符號相反的實根，響應(yīng)依然單調(diào)發(fā)散的，相軌跡是一族雙曲線，如圖所示。這時的奇點也是坐標(biāo)原點，稱為鞍點。相軌跡第34頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 以上分析表明，二階線性系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上位置不同時，時域響應(yīng)的形式不同，相軌跡的形狀也完全不同。

15、可見相軌跡的形狀與系統(tǒng)閉環(huán)極點的位置密切相關(guān)，與奇點類型也密切相關(guān)。第35頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 第36頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 第37頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.3.3 二階非線性系統(tǒng)的線性化對于非線性系統(tǒng)，描述二階非線性系統(tǒng)的微分方程為表示非線性系統(tǒng)的平衡點（奇點），它往往不止一個。第38頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 對于非線性系統(tǒng)，奇點類型與相軌跡的類型僅適用于奇點附近的區(qū)域。整個系統(tǒng)的相圖就可能由

16、幾個不同類型的相軌跡組成。對于非線性系統(tǒng)奇點性質(zhì)分析，采用小范圍線性化的方法。假設(shè)奇點在坐標(biāo)原點，將 在奇點附近展開成泰勒級數(shù)，并取一次近似，第39頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 假若平衡點在坐標(biāo)原點時得：第40頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 令：方程組可改寫為特征方程線性化方程組第41頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 在一般情況下，線性化方程在平衡點附近的相軌跡與非線性系統(tǒng)在平衡點附近的相軌跡具有同樣的形狀特征。但是，若線性化方程求解至少有一個根為零，根據(jù)李雅普諾夫小偏

17、差理論，不能根據(jù)一階線性化方程確定非線性系統(tǒng)平衡點附近的特性，此時，平衡點附近的相軌跡要考慮高階項。第42頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 例：確定非線性系統(tǒng)的奇點及附近的相軌跡。解：令求得奇點（0，0），（-2，0）。第43頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 （1）奇點（0，0）線性化方程為特征根（0,0)奇點為穩(wěn)定焦點，其附近的相軌跡為收斂的對數(shù)螺旋線。（2）奇點（-2，0）奇點不在坐標(biāo)原點，令 ，則原方程變?yōu)榈?4頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 線性化方程：特征根S1=

18、-1.69，S2=1.19（-2，0）奇點為不穩(wěn)定的鞍點，相軌跡為雙曲線。第45頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 系統(tǒng)的相平面圖第46頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 對于非線性系統(tǒng)還有一種與線性系統(tǒng)不同的運動狀態(tài)-自持振蕩，它在相平面圖上表現(xiàn)為一條孤立封閉曲線，稱之為極限環(huán)或奇線。極限環(huán)附近的相軌跡都卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。因此，極限環(huán)將相平面分成內(nèi)部平面和外部平面，極限環(huán)內(nèi)部（外部）的相軌跡，不能穿過極限環(huán)進入它的外部（內(nèi)部）。2. 極限環(huán)（奇線）第47頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星

19、期四第1章 引 論 分析極限環(huán)鄰近相軌跡的特點，可將極限環(huán)分成：（1）穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)，穩(wěn)定極限環(huán)對應(yīng)穩(wěn)定的自持振蕩。（2）不穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均從該極限環(huán)發(fā)散出去，不穩(wěn)定極限環(huán)對應(yīng)不穩(wěn)定的自持振蕩。第48頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 （3）半穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡有一側(cè)收斂于該極限環(huán)，而另一側(cè)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，半穩(wěn)定極限環(huán)。穩(wěn)定的極限環(huán)可通過實驗觀察到。第49頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.3.4 相軌跡圖的繪制 繪制相軌跡圖可

20、采用解析法、圖解法、實驗法和計算機輔助法。1解析法 解析法一般用于系統(tǒng)的微分方程比較簡單或可以用分段線性化的方程。例7-3 試?yán)L制圖7-15所示系統(tǒng)在三種情況下的 第50頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 分別對應(yīng) 平面上為開口向右，向左頂點在c軸上的兩條拋物線。位置與初始條件或另一個區(qū)域的相軌跡與開關(guān)線的交點有關(guān)。開關(guān)線是過坐標(biāo)原點的直線，斜率與 值有關(guān)。第51頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 1。當(dāng) 時，開關(guān)線為 軸，相軌跡由兩個拋物線封閉組成，對應(yīng)的運動是周期運動，如圖所示。第52頁，共124頁，2022年，5

21、月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 2。當(dāng) 時，開關(guān)線向右傾斜，位于1，3象限，相軌跡仍由兩個拋物線組成，但每次切換時， 均增大，對應(yīng)的運動是振蕩發(fā)散運動，如圖所示。第53頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 3。當(dāng) 時，開關(guān)線向左傾斜，位于2，4象限，相軌跡仍由兩個拋物線組成，但每次切換時， 均減小，對應(yīng)的運動是振蕩收斂運動，如圖所示。第54頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 1、等傾線法 當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程不易用解析法求解時,可使用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。 將上式表示為：對非線性系統(tǒng)：第55頁，共124頁，2

22、022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 其中， 是相軌跡的斜率，令 ， 為一常數(shù)，則有，上式稱為等傾線方程，各相軌跡與該曲線交點的斜率相等，且等于 。第56頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 繪制思路：對于給定斜率 ，求解等傾線方程，得到一條等傾曲線。給定不同的值，可在相平面上繪制不同的等傾曲線。由給定的初始條件出發(fā)，沿各條等傾曲線所決定相軌跡的切線方向，依次畫出系統(tǒng)相軌跡。 第57頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解：系統(tǒng)的微分方程可以化 或令 得等傾線方程 取不同的

23、值，分別繪制等傾線，等傾線為直線 【例】 線性二階系統(tǒng)的運動方程為第58頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 圖中作出了取不同值時的等傾線及等傾線上表示斜率值的小線段。若給定的初始條件為A點,從A點出發(fā)順時針將各小線段光滑地聯(lián)接起來,就得到了從A點出發(fā)的一條相軌跡。 繪制非線性系統(tǒng)相軌跡的圖解方法還有法等。 系統(tǒng)相軌跡圖第59頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 由相軌跡圖求時間 相軌跡圖是系統(tǒng)的輸出響應(yīng)或誤差響應(yīng)在相平面上的映象，它雖然可以反映系統(tǒng)時間響應(yīng)的主要特征，但不能直接顯示時間信息。如需要求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)，就必

24、須確定相軌跡上各點對應(yīng)的時間，可以采用以下兩種方法近似求取。1根據(jù)相軌跡的平均斜率求時間t 設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示，設(shè)相軌跡由A點轉(zhuǎn)移到B點所需的時間為 第60頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 故在此期間的平均值為：據(jù)此可求得相軌跡由A點轉(zhuǎn)移到B點所需的時間為第61頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 用同樣的方法可求出相軌跡由B點轉(zhuǎn)移到C點的時間，以次類推可得 的曲線。 2面積法求時間 設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示 第62頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 例：設(shè)恒溫箱動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所

25、示，若要求溫度保持200度，恒溫箱由常溫20度啟動，試在相平面上作出溫度控制的相軌跡，并計算升溫時間。第63頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 第64頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 相應(yīng)的相軌跡為直線，相軌跡在開關(guān)線上跳至另一條相軌跡。第65頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 第66頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.3.6 非線性系統(tǒng)的相平面分析例 圖為帶死區(qū)的繼電器的非線性系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在靜止?fàn)顟B(tài)下施加階躍信號r(t)=R1(t) ，

26、試分析系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。第67頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 解：線性部分的微分方程為非線性部分的特性為第68頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 相平面取 ，則有 非線性方程轉(zhuǎn)化為三個線性微分方程，它們分別對應(yīng)于相平面上I，II ，III區(qū)。I區(qū)：對相平面的區(qū)域 I區(qū)相軌跡的等傾線方程為第69頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 I區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于 軸的直線 。II區(qū)：對相平面的區(qū)域 II區(qū)相軌跡的等傾線方程為II區(qū)內(nèi)相軌跡是斜率 的直線或者是 的直線。

27、III區(qū)：對相平面的區(qū)域 III區(qū)相軌跡的等傾線方程為III區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于 軸的直線 第70頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 假設(shè)T=1，K=5，a=0.2，M=0.2分別作出三個區(qū)域的等傾線如圖所示，由不同初始條出發(fā)作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示 第71頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.4 描述函數(shù)法7.4.1 描述函數(shù)的定義 設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。在此假定：非線性環(huán)節(jié)不是時間的函數(shù)； 非線性環(huán)節(jié)特性是斜對稱的； 系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。第72頁，共124頁，2022年，5月

28、20日，15點7分，星期四第1章 引 論 設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性為 當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號 非線性環(huán)節(jié)的輸出一般不是正弦信號，但仍是一個周期信號，其傅立葉級數(shù)展開式為第73頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 非線性環(huán)節(jié)的輸出信號y(t)中含有基波及各高次諧波。通常諧波的次數(shù)越高，其相應(yīng)的傅立葉系數(shù)越小，即相應(yīng)的諧波分量幅值就越小。 如果系統(tǒng)線性部分G(s)具有良好的低通濾波特性，則高次諧波分量通過線性部分后將被衰減到忽略不計，可以近似認(rèn)為當(dāng)輸入為正弦信號x(t)時，只有y(t)的基波分量沿閉環(huán)反饋回路送至比較點，其高次諧波分量可忽略不計，即只考慮

29、一次諧波 ，第74頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于一個對正弦輸入信號的幅值及相位進行變換的環(huán)節(jié)，可以仿照線性系統(tǒng)頻率特性的概念建立非線性環(huán)節(jié)的等效幅相特性。 定義：正弦信號作用下非線性環(huán)節(jié)輸出量的基波分量與其輸入正弦量的復(fù)數(shù)比稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，記為N(A)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 第75頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.4.2 典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1.死區(qū)特性的描述函數(shù)輸出波形是單值奇對稱的，所以，并且第76頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 第77頁

30、，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 2. 理想繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對稱、奇函數(shù)A0=An=0(偶次對稱性)第78頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 3.一般非線性 描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。我們舉一個例子:因為它是單值、奇對稱的， ，先求出 ： 第79頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 所以 第80頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性常見非線性環(huán)節(jié)

31、的描述函數(shù)第81頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.4.3 非線性系統(tǒng)的的簡化 當(dāng)系統(tǒng)由多個非線性環(huán)節(jié)和多個線性環(huán)節(jié)組合時，可通過等效變換，使系統(tǒng)簡化為典型的非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖所示1非線性環(huán)節(jié)的串聯(lián) 若兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可采用作圖方法求得串聯(lián)后的等效非線性特性。如圖所示的兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，求得等效后的非線性特性。第82頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 由圖可知，等效后的非線性為死區(qū)飽和特性 第83頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 參數(shù)的求取： 第84頁，共124頁，2

32、022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 2非線性環(huán)節(jié)的并聯(lián) 兩個非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，則等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。如圖為死區(qū)非線性和死區(qū)繼電器非線性特性的并聯(lián)。第85頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 第86頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.4.4 描述函數(shù)分析法 假設(shè)非線性系統(tǒng)的線性動態(tài)部分具有良好的低通特性，那么非線性特性可以用描述函數(shù) 1. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率特性分析法，將頻率特性推廣到非線性系統(tǒng)，則其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為： 第87頁，共124頁，2022年，5

33、月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 系統(tǒng)的特征方程為： 假設(shè)G(s)是最小相位環(huán)節(jié)，與線性系統(tǒng)的Nyquist判據(jù)比較，非線性系統(tǒng)中的 相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的臨界穩(wěn)定點（-1,j0)。 第88頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 (1)如果在復(fù)平面上，-1N(A)曲線不被G(j)曲線所包圍，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 第89頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 (2)如果在復(fù)平面上，-1N(A)曲線被G(j)曲線所包圍， 則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第90頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論

34、(3)如果在復(fù)平面上-1N(A)曲線與G(j)曲線相交，非線性系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩（穩(wěn)定或不穩(wěn)定），穩(wěn)定自持振蕩的振幅由-1N (A)曲線交點處對應(yīng)的A值決定，振蕩的頻率由 G (j)曲線交點處的值決定。第91頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 2.自持振蕩非線性系統(tǒng)的自持振蕩是在沒有外界輸入信號作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的具有固定頻率和振幅的穩(wěn)定的等幅運動。若滿足即系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。如果不止一組參數(shù)滿足，則系統(tǒng)存在幾個等幅運動（穩(wěn)定或不穩(wěn)定的自持振蕩）。描述函數(shù)的負(fù)倒第92頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章

35、 引 論 當(dāng)微小擾動使振幅A增大到c點時， c點“(-1,j0)” 被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)增大；不返回到a。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到d點，d點“(-1,j0)”未被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)減小；不返回到a。a點為不穩(wěn)定自持振蕩點。分析法第93頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 當(dāng)微小擾動使振幅A增大到e點時， e點“(-1,j0)”未被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A減?。环祷氐絙。當(dāng)微小擾動使振幅A減小到f點， f點“(-1,j0)” 被G(j )軌跡包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A增大；返回到b。b點為穩(wěn)定自持振蕩點。

36、第94頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 具有飽和特性的非線性系統(tǒng)Aa時A 時G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點:穩(wěn)定自振交點b Ab3.非線性系統(tǒng)描述函數(shù)分析第95頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)Aa時A 時G1(j)軌跡不與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交不存在自持振蕩G2(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)軌跡相交b點:不穩(wěn)定自振交點第96頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函

37、數(shù)軌跡為整個負(fù)實軸2）如有數(shù)個交點 必有穩(wěn)定的自振交點1）如只有一個交點 必為穩(wěn)定的自振交點第97頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 例 如圖所示系統(tǒng)試求：當(dāng)K10時，該系統(tǒng)是否存在自持振蕩，如果存在則求出自持振蕩的振幅和頻率；當(dāng)K為何值時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界狀態(tài)。非線性飽和特性參數(shù) a=1 、k=2第98頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 相交于穩(wěn)定自振交點mAa時A 時負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為實軸上（-0.5，-)。第99頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 a/A=0.24A=4.38

38、A=4.38穩(wěn)定自振交點m:第100頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 臨界狀態(tài)下，軌跡在負(fù)實軸上的交點nK=3第101頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 例：非線性系統(tǒng)如圖所示，若T=0.25,試求系統(tǒng)自持振蕩時輸出振蕩的振幅和頻率。第102頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 第103頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 11.11.4122.32.5345610110-0.36-0.78-1.36-1.63-1.8-2.22-3.04-3.8

39、5-4.65-7.81-8.6第104頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 1.51.72.02.22.32.534567101215-5.56-4.33-3.13-2.58-2.36-2-1.39-0.78-0.5-0.35-0.26-0.13-0.09-0.061.30.570-0.2-0.27-0.36-0.46-0.47-0.42-0.37-0.33-0.24-0.2-0.16第105頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 由圖所示，兩條曲線交于A，B兩點，且B對應(yīng)穩(wěn)定自持振蕩，參數(shù)X/h=1.1,w=12,所以自持

40、振蕩幅值X=1.1，頻率w=12第106頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 將振幅X折算到輸出端，考慮到第107頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 7.5 基于Simulink的非線性系統(tǒng)分析 用MATLAB可以對非線性系統(tǒng)進行相平面分析和描述函數(shù)分析，形象、直觀，且不受系統(tǒng)階數(shù)的限制，特別是Simulink的圖形化建模方法大大簡化了非線性系統(tǒng)的分析。第108頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 具有間隙非線性系統(tǒng)的Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖如圖7-48所示，設(shè)給定輸入位單位階躍信號

41、，對于線性系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和有非線性環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)如圖7-49所示，由圖看到當(dāng)系統(tǒng)存在間隙非線性時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)出現(xiàn)具有固定頻率和振幅的等幅振蕩，即系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。第109頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 圖7-48 Simulink仿真框圖 圖7-49 間隙非線性系統(tǒng)的響應(yīng)第110頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖7-52(a)所示，系統(tǒng)相軌跡的Simulink仿真框圖如圖7-52(b)所示。圖7-52飽和非線性的控制系統(tǒng)第111頁，共124頁，2022年，5月20日，15點7分，星期四第1章 引 論 當(dāng)K=15時系統(tǒng)的相軌跡如圖7-53(a)所示，K=6時系統(tǒng)的相軌跡如圖7-53(b)所示。(a) K=15 (b) K=6圖7-53 不同K值下系統(tǒng)的相軌跡圖第112頁，共124頁