1、項目21(6.4)向量組的秩1任務(wù)21-1（6.4.1） 向量組的極大線性無關(guān)組注:（1）只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.定義6.9設(shè)向量組A，如果在A中有r個向量滿足：（2）任意一個向量都可被它們線性表示。它們線性無關(guān)。（1）（2）一個線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身。（3）一個向量組的任一向量都能由它的極大無關(guān)組線性 表示簡稱極大無關(guān)組。那么稱 為向量組 的一個極大線性無關(guān)組。2案例如：在向量組 中， 首先線性無關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無關(guān)組。還可以驗證也是一個極大無關(guān)組。注：一個向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。3極大無關(guān)組的一個基本性質(zhì)：任意一個極大線性無關(guān)組都與向

2、量組本身等價。又，向量組的極大無關(guān)組不唯一，而每一個極大無關(guān)組都與向量組等價，所以：向量組的任意兩個極大無關(guān)組都是等價的。由等價的線性無關(guān)的向量組必包含相同個數(shù)的向量，可得一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價，且所含向量的個數(shù)相同。定理：4任務(wù)21-2 （6.4.2） 向量組的秩定義6.8 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù) 稱為這個向量組的秩, 記作案例如： 向量組 的秩為2。5（4）等價的向量組必有相同的秩。關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：（1）零向量組的秩為0。（2）向量組線性無關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：兩個有相同的秩的向量組不一定等價。 兩個向量組有相同的秩，并且其

3、中一個可以被另一個 線性表示，則這兩個向量組等價。6矩陣的行秩、列秩把矩陣的每一行看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成。定義6.9 矩陣A的行向量組的秩，就稱為矩陣A的行秩; 矩陣A的列向量組的秩，就稱為矩陣A的列秩。案例如：矩陣的行向量組是7可以證明，是A的行向量組的一個極大無關(guān)組，因為，由即可知即線性無關(guān)；而為零向量，包含零向量的向量組線性相關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3。8矩陣A的列向量組是可以驗證線性無關(guān)，而所以向量組的一個極大無關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是3。定理6.4 矩陣的秩=矩陣的行秩矩陣的列秩9向量組的秩、極大無關(guān)組的求法.（1）向量組作列向量構(gòu)成矩陣A。（2）初等行變換（行最簡形矩陣）r(A)=B的非零行的行數(shù)（3）求出B的列向量組的極大無關(guān)組（4）A中與B的列向量組的極大無關(guān)組相對應(yīng)部分的列向量組 即為A的極大無關(guān)組。10案例 向量組求向量組的秩和一個極大無關(guān)組。解：11又因為B的1，2，5列是B的列向量組的一個極大無關(guān)組所以，是的一個極大無關(guān)組?？紤]：是否還有其他的極大無關(guān)組？與12案例 求向量組的一個