1、電磁場與電磁波經(jīng)典課件第1頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五第一章 矢量分析1.1 矢量分析基礎(chǔ)一、矢量與矢量場1、標(biāo)量：2、矢量:矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示 矢量的代數(shù)表示：矢量的大小或模：矢量的單位矢量：常矢量：大小和方向均不變的矢量。 注意：單位矢量不一定是常矢量。 第2頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五矢量用坐標(biāo)分量表示zxy第3頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五3. 矢量的代數(shù)運(yùn)算 （1）矢量的加減法第4頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）定義：矢量的

2、標(biāo)積符合交換律q矢量 與 的夾角（2）標(biāo)量乘矢量第5頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量 與 的叉積用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為不滿足交換律不滿足結(jié)合律第6頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五若 ，則若 ，則第7頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五1、直角坐標(biāo)系單位方向矢量：矢量函數(shù)：其位置矢量：空間任一點(diǎn)P（x0,y0,z0):坐標(biāo)變量:變量取值范圍：微分元：1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系第8頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五2、圓柱坐標(biāo)系單位方向矢量：矢量函數(shù)：

3、其位置矢量：空間任一點(diǎn)P(r0,0,z0)變量取值范圍微分元第9頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平 面第10頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五單位矢量變換理解： 聯(lián)系力的分解與合成第11頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五寫成矩陣形式轉(zhuǎn)換矩陣都是正交矩陣，正交矩陣定義：（*表示共軛轉(zhuǎn)置，實(shí)數(shù)矩陣只需要轉(zhuǎn)置）上式兩邊同時右乘轉(zhuǎn)換矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣， 轉(zhuǎn)換矩陣第12頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五矢量的變換若矢量是用柱坐標(biāo)表示的，將它投影到直角坐標(biāo)系下

4、x、y、z軸上，則可得該矢量在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式第13頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五寫成矩陣形式柱坐標(biāo)系下的兩個矢量當(dāng)值不相等時不能直接相加，要轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系后再相加，為什么？第14頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五3、球面坐標(biāo)系單位方向矢量：矢量函數(shù)：位置矢量：變量取值范圍:微分元：第15頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；球 面；半平面球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為第16頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五單位矢量變換第17頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星

5、期五矢量的變換第18頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五1.3 標(biāo)量場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。場是物理量數(shù)值的無窮集合從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：第19頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五方向?qū)?shù)的定義討論函數(shù) z = f (x,

6、 y) 在一點(diǎn) P沿某一方向的變化率問題定義記為的沿方向限為函數(shù)在點(diǎn)的極限存在，則稱這極時，如果此比值趨于沿著比值，當(dāng)之兩點(diǎn)間的距離與函數(shù)的增量lPPlPyxPPyxfyyxxfD+D=-D+D+22)()(),(),(r第20頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五對于三元函數(shù)意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與 方向有關(guān)。第21頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五3. 標(biāo)量場的梯度（ 或 ）概念：標(biāo)量場u在點(diǎn)M處的梯度是一個矢量，它的方向沿場量u變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作gradu， 其中 取得

7、最大值的方向梯度的計(jì)算式：引入哈密頓算子，即可縮寫為第22頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五梯度的表達(dá)式：圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 第23頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。第24頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五1.4 矢量場的通量 散度一、矢量線（力線） 矢量場的通量 二、矢量場的通量矢量線的疏密表征矢量場的大小；矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場的方向； 若S 為閉合曲面 若矢量場 分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量 沿有向曲面S

8、 的通量。 3）物理含義：以流速場為例 討論：1）面元矢量 定義； 2） 第25頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五三、矢量場的散度1、散度的定義2、散度的物理意義 1) 矢量場的散度是一個標(biāo)量；通過閉合面S的通量的物理意義：a) 若 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；b) 若 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；c) 若 ，閉合面內(nèi)無源。 在場空間 中任意點(diǎn)M 處作一個閉合曲面，所圍的體積為 ，則定義場矢量 在M 點(diǎn)處的散度為： 2)矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；通量：是一個積分量，范圍比較大，無法反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。散度：是一個微分值，比較小，能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。第26頁，共36

9、頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五3、散度的計(jì)算1) 在直角坐標(biāo)系下：( 無源）( 正源) 負(fù)源) 3) 表征該點(diǎn)單位體積內(nèi)源的強(qiáng)度。 討論：在矢量場中， 1）若 ，則該矢量場稱為有源場，為源密度； 2）若 處處成立，則該矢量場稱為無源場。哈密頓算符第27頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五2) 在圓柱坐標(biāo)系下：3) 在球面坐標(biāo)系下：四、散度定理（矢量場的高斯定理） 該公式表明了區(qū)域V 中場 與邊界S上的場 之間的關(guān)系。第28頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五1.5 矢量場的環(huán)流 旋度一、矢量的環(huán)流 環(huán)流的計(jì)算環(huán)流的定義：設(shè)有矢量場 ，沿場

10、中任一閉合的有向路徑l的積分，叫作 沿曲線l的環(huán)流。即：討論：1）線元矢量 的定義；3）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反之，則矢量場存在渦漩運(yùn)動。2)反映矢量場漩渦源分布情況。第29頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五二、矢量的旋度1. 環(huán)流面密度在場矢量 空間中，圍繞空間某點(diǎn)M取一面元S，其邊界曲線為C，面元法線方向?yàn)?，當(dāng)面元面積無限縮小時，可定義 在點(diǎn)M處的環(huán)量面密度M環(huán)流面密度的計(jì)算公式：其中 為點(diǎn)M處 的方向余弦第30頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五2. 矢量場的旋度 在直角坐標(biāo)中，若定義F為：式中： 表示面元單位法線方向；

11、則稱：矢量F為矢量A的旋度，記作：旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。用 表示物理意義：旋渦源密度矢量。第31頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五3. 旋度的物理意義4. 旋度的計(jì)算1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；2）矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的漩渦源密度；1) 在直角坐標(biāo)系下：第32頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五三、斯托克斯定理四、矢量場旋度的重要性質(zhì) 意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。第33頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五1

12、.6 亥姆霍茲定理一. 亥姆霍茲定理 在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度、旋度和邊界條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。二. 矢量場的分類根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：1) 調(diào)和場 若矢量場 在某區(qū)域V內(nèi)，處處有： 或 則在該區(qū)域V內(nèi)，場 為調(diào)和場。 注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。第34頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五2) 有源無旋場 若矢量場 在某區(qū)域V內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場 為有源無旋場。 2)有源無旋場為保守場，其重要性質(zhì)為： 1) 為矢量場通量源密度； 保守場場矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。 討論：3) 無源有旋場 若矢量場 在某區(qū)域V內(nèi)，處處 ，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場 為無源有旋場。 說明：式中 為矢量場漩渦源密度。 第35頁，共36頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五已知