1、專題八比賽中的雜題選講一、選擇題（每題6分）1（05全國）記會合T0,1,2,3,4,5,6,Ma1a2a3a4|aiT,i1,2,3,4,將7727374M中的元素按從大到小的次序擺列，則第2005個數(shù)是A5563B556277273747727374C1104D110377273747727374解：用a1a2akp表示k位p進制數(shù)，將會合M中的每個數(shù)乘以74，得Ma173a272a37a4|aiT,i1,2,3,4a1a2a3a47|aiT,i1,2,3,4.M中的最大數(shù)為66667240010。在十進制數(shù)中，從2400起從大到小次序擺列的第2005個數(shù)是2400-2004=396。而3

2、961011047將此數(shù)除以741104.應(yīng)選C，便得M中的數(shù)72737472（04天津）如圖，以O(shè)(0,0)、A(1,0)為極點作正OAP1，再以P1PA的中點B為頂和1點作正P1BP2，再以P2和P2B的中點C為極點作正P2CP3，這樣持續(xù)下去有以下結(jié)論：1的等比數(shù)列；P1P2所作的正三角形的邊長構(gòu)成公比為CP32P6P5PB4每一個正三角形都有一個極點在直線AP2（x1）上；第六個正三角形的不在第五個正三角形邊上的極點P6的坐標(biāo)是OA(63,213)；6464第2004個正三角形的不在第2003個正三角形邊上的極點P2004的橫坐標(biāo)是x20041122004此中正確結(jié)論的序號是（把你以為

3、正確結(jié)論的序號都填上）3（05天津）設(shè)由正整數(shù)有序數(shù)對(x，y)構(gòu)成以下數(shù)列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，按xy的值由小到大的次序擺列，當(dāng)xy的值相等時，按x的值由小到大的次序擺列則有序數(shù)對(m，n)(m，n均為正整數(shù))在該數(shù)列中的地點是()(A)第2+1位(B)第2+2位mnmn(C)第(mn1)(mn)m位(D)第(mn2)(mn1)m位22解：D按xy的值分組，時為第1組，故該數(shù)列的前2組xymnmnmn共有有序數(shù)對(mn2)(mn1)(個)，而關(guān)于有序數(shù)對(m，n)，當(dāng)xm時，為第mn21組中的

4、第位，故有序數(shù)對(，)在該數(shù)列的第(mn2)(mn1)m位mmn24（05天津）設(shè)會合Ma|axy，2x2y2t，此中x、y、t、a均為整數(shù)則會合tM中的全部元素的和等于()(A)1(B)4(C)7(D)8解：D不如設(shè)xy，有2t2x2y2y2y=2y+1則ty1由2x0，得2t2xyyy，yty1又知x，y，t均為整數(shù)，則y+1xy，故22，則tty1，有222xy1于是axy22，這里、Z，可得t1，2，則a0，1，tttat3，4故會合M中全部元素的和為8二、填空題（此題滿分54分，每題9分）5（04全國）設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得k2pk也是一個正整數(shù)，則k=_。解：設(shè)k2pkn

5、,nN*,則k2pkn20,kpp24n2，進而p24n22是平方數(shù)，設(shè)為m2,mN*,則(m2n)(m2n)p2.m2n1mp212是質(zhì)數(shù)，且p3,解得pm2np2,np214kpm2p(p21),故k(p1)2。（負(fù)值舍去）2446（04天津）若正奇數(shù)n不可以表示為三個不相等的合數(shù)之和，則知足條件的n的最大值為7（04天津）設(shè)a、b、c是直角三角形的三條邊長，且(anbncn)22(a2nb2nc2n)，此中nN*，n2，則n的值等于48（05天津）如圖3(a)，已知正方體八個極點分別賦值為a，b，c，d，e，f，g，h，而后，將與每個極點相鄰的正方體的三個極點所賦值的算術(shù)均勻值a，b，c

6、，d，e，f，g，h放在另一個正方體的相應(yīng)極點處，如圖3(b)若a9，b8，c11，d10，edcdcababhghgefef圖3(a)圖3(b)13，f12，g15，h14，則ag的值為_解：20abde，hdeg，則33(bde)2g，(cfh)2a，20agag三、解答題(每題20分)9（04天津）已知an是等差數(shù)列，d為公差且不等于0，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和記作Sn，設(shè)會合A(an,Sn)|nN*，B(x,y)|1x2y21,x,yR，n4試問以下結(jié)論能否正確，假如正確，請賜予證明；假如不正確，請舉例說明（）若以會合A中的元素作為點的坐標(biāo)，則這些點都在一條直線上；（）AB至多有

7、一個元素；（III）當(dāng)a10時，必定有AB【解】（）正確由于，在等差數(shù)列an中，Snn(a1an)，所以，Sna1an這2n2表示點(an,Sn)的坐標(biāo)合適方程y1Sn)均在直線y1(xa1)n2(xa1)所以，點(an,2n上5分（）正確設(shè)(x,y)AB，則(x,y)坐標(biāo)中的x、應(yīng)是方程組y1x1a1,x222的解解yy214這個方程組，消去y，得2a1xa124（）當(dāng)a10時，方程（）無解，此時，B.10分a10 x4a122a1x4a12,2a1ya124.4a1AB15a11d1nN*ana1(n1)dn0Sn0nAa110ABABx0,y0 x04a1252a102y0a12430(

8、x0,y0)Aa11d14a14ABa10AB2010041ABCBCnBCP1P2Pn1SnABAP1AP1AP2APn1ACSn11n226nABcACbBCa1BCpAPkABBPkckpnk012n.AP0ABAPnAC(1)()22APk1APkckpckpc(2k1)cpk(k1)pk012n5SABAPAPAPAP1ACn112n2nn2Snnc(2k1)cpk(k1)pk1k12n2cpn(n1)(n1)(np)2nc1032n2122ncan21215分ncnc(np)3n(np)nca3n又|a|b|c|1，c與a的夾角為60，Snn1nn2111n2220分23n6n11

9、（06天津）將1，2，16這16個數(shù)未填入以下圖的正方形中的小方格內(nèi)，每個小方格內(nèi)填一個數(shù)，使每一行，每一列的各數(shù)之和各不相等且均能被正整數(shù)nn1）整除（）求n的全部可能的值；（）給出一種切合題意的詳細(xì)填法（此填法合用于n的全部可能值）【解】（）設(shè)si，ti（i1,2,3,4）分別是第i行，第i列各數(shù)的和，由題意得siain，tibin，此中ai，bi，是8個相互不一樣的正整數(shù)，由于1216136，所以442136(siti)n(aibi)n(128)36ni1i1得n7410分.由si是n的倍數(shù)得si是n的倍數(shù)，即136是n的i1倍數(shù)即1362317，又n1，n7，所以n的可能值為2或415

10、分（）切合題意的一種詳細(xì)填法以下圖20分12（05天津）若P是一個由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9構(gòu)成的2n位正整數(shù)，并同時知足以下兩個條件：(1)數(shù)字1，2，n在P中各出現(xiàn)兩次；(2)每兩個同樣的數(shù)字i(i1，2，n)之間恰有i個數(shù)字此時，我們稱這樣的正整數(shù)P為“好數(shù)”比如，當(dāng)n3時，P能夠是312132試確立知足條件的正整數(shù)n的值，并各寫出一個相應(yīng)的好數(shù)P解：由好數(shù)的定義，可知n9關(guān)于好數(shù)P中的數(shù)字地點按由左到右的次序考慮，假如數(shù)字i(i1，2，n)第一次出現(xiàn)的地點記作ai，那么依據(jù)題意，數(shù)字i(i1，2，n)第二nn2nn次出現(xiàn)的地點應(yīng)當(dāng)是ai(i1)，于是：aiai(i1)k，

11、記Sai，則i1i1k1i1SSn2(n1)2n(12n)，即Sn(3n1)224由于S是正整數(shù)，可得n(3n1)能被4整除又n為正整數(shù)，所以n3或4或7或8當(dāng)n3時，題目中已給出；當(dāng)n4時，好數(shù)P能夠是41312432；當(dāng)n7時，好數(shù)P能夠是；當(dāng)n8時，好數(shù)P能夠是13（06全國）將2006表示成5個正整數(shù)x1,x2,x3,x4,x5之和.記Sxx.問：ij1ij5（1）當(dāng)x1,x2,x3,x4,x5取何值時，S取到最大值；（2）進一步地，對隨意1i,j5有xixj2，當(dāng)x1,x2,x3,x4,x5取何值時，S取到最小值.說明原因.【解】（1）第一這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值

12、。若x1x2x3x4x52006,且使Sxixj取到最大值，則必有xixj1,1ij5(1i,j5)（5分）(*)事實上，假定（*）不建立，不如假定x1x22。則令x1x11，x2x21,xixi(i3,4,5)有x1x2x1x2，x1x2x1x2x1x21x1x2。將S改寫成Sxixjx1x2x1x2x3x4x5x3x4x3x5x4x51ij5同時有Sx1x2(x1x2)x3x4x5x3x4x3x5x4x5。于是有SSx1x2x1x20。這與S在x1,x2,x3,x4,x5時取到最大值矛盾。所以必有xixj1,(1i,j5).所以當(dāng)x1402,x2x3x4x5401取到最大值。（10分）（2

13、）當(dāng)x1x2x3x4x52006且xixj2時，只有I）402，402，402，400，400；II）402，402，401，401，400；III）402，401，401，401，401；三種情況知足要求。（15分）爾后邊兩種情況是在第一組情況下作xixi1，xjxj1調(diào)整下獲得的。依據(jù)上一小題的證明能夠知道，每調(diào)整一次，和式Sxixj變大。所以在1ij5x1x2x3402,x4x5400情況取到最小值。（20分）16、（06全國）設(shè)f(x)x2a.記f1(x)f(x)，fn(x)f(fn1(x)，n2,3,，MaR對全部正整數(shù)n，fn(0)2.證明：M2,1.4【證明】（）假如a2，則f1(0)|a|2，aM。（5分）（）假如2a1，由題意f1(0)a，fn(0)(fn1(0)2a,n2,3,.則141當(dāng)0a時，fn(0)（n1）.42事實上，當(dāng)n1時，f1(0)a1,設(shè)nk1時建立（k2為某整數(shù)），則對nk，221211.fk(0)fka1(0)242當(dāng)2a0時，fn(0)a（n1）.事實上，當(dāng)n1時，f1(0)a,設(shè)nk1時建立（k2為某整數(shù)），則對nk，有|a|afk(0)fk2aa2a.注意