1、二次函數(shù)相關(guān)的最值問題例1. 如圖，拋物線yx24x5與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)(1)求直線AC的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)假設(shè)Q為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接QA、QC，求|QAQC|的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)連接CD，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，過P作PEx軸交直線AC于點(diǎn)E，作PFCD交直線AC于點(diǎn)F，當(dāng)線段PEPF取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及線段EF的長(zhǎng)；(4)在(3)問的條件下，將P向下平移eq f(3,4)個(gè)單位得到點(diǎn)H，在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)L，在y軸上找一點(diǎn)K，連接OL，LK，KH，求線段OLLKKH的最小值，并求出此時(shí)

2、點(diǎn)L的坐標(biāo)；(5)在(3)問的條件下，將線段PE沿著直線AC的方向平移得到線段PE，連接DP，BE，求DPPEEB取最小值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)針對(duì)訓(xùn)練 1如圖，直線ykxb(k、b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(4，0)、B(0，3)，拋物線yx22x1與y軸交于點(diǎn)C.(1)求直線ykxb的解析式；(2)假設(shè)點(diǎn)P(x，y)是拋物線yx22x1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)假設(shè)點(diǎn)E在拋物線yx22x1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng)，求CEEF的最小值2如圖，拋物線yeq f(r(3),3)x2eq f(2 r(3),3)xeq

3、 r(3)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)D作DHx軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AEAC交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求線段DE的長(zhǎng)度；(2)如圖，試在線段AE上找一點(diǎn)F，在線段DE上找一點(diǎn)P，且點(diǎn)M為線段PF上方拋物線上的一點(diǎn)，求當(dāng)CPF的周長(zhǎng)最小時(shí)，MPF面積的最大值是多少3如圖，對(duì)稱軸為直線x2的拋物線經(jīng)過A(1，0)，C(0，5)兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為B.M(0，1)，E(a，0)，F(xiàn)(a1，0)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(1)求此拋物線的解析式；(2)假設(shè)PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，求a為何值時(shí)，四邊形PM

4、EF周長(zhǎng)最??？說明理由4，如圖，二次函數(shù)yax22ax3a(a0)圖象的頂點(diǎn)為H，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè))，點(diǎn)H，B關(guān)于直線l：yeq f(r(3),3)xeq r(3)對(duì)稱(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；(2)求二次函數(shù)的解析式；(3)過點(diǎn)B作直線BKAH交直線l于點(diǎn)K，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HNNMMK和的最小值5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yeq f(1,2)x2eq r(2)x3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，過點(diǎn)A作ADBC交y軸于點(diǎn)D.(1)求平行線AD、BC之間的距離；(

5、2)點(diǎn)P為線段BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PCB的面積最大時(shí)，Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到直線BC上點(diǎn)M處，再沿垂直于直線BC的方向運(yùn)動(dòng)到直線AD上的點(diǎn)N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處停止當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑的長(zhǎng)6如圖，拋物線yeq f(r(3),4)x2eq f(9,4)x3 eq r(3)交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為頂點(diǎn)，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)和tanABC的值；(2)假設(shè)點(diǎn)P是拋物線上位于點(diǎn)B、D之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、D重合)，在直線BC上有一動(dòng)點(diǎn)E，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)F.當(dāng)四邊形ABPD的面積最大時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)P出發(fā)

6、以每秒1個(gè)單位的速度沿PEF的路徑運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿線段FA以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，動(dòng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少？二次函數(shù)相關(guān)的最值問題答案例1. 解：(1)yx24x5(x24x)5(x2)29，D(2，9)當(dāng)x0時(shí)，y5，C(0，5)當(dāng)y0時(shí)，x11，x25，A(5，0)，B(1，0)，yACx5；(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，由拋物線對(duì)稱性知QAQB，由C(0，5)和B(1，0)可求得yBC5x5，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)Q，C，B三點(diǎn)共線時(shí)，|QBQC|最大，即|QAQC|最大，可求直線yBC5x5與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)Q為(2，15)，此時(shí)|QA

7、QC|最大值BCeq r(26).解：(3)過P作PQy軸，交AC于Q，再作FMPQ于M，如圖，直線AC：yx5，設(shè)P(t，t24t5)，Q(t，t5)，PQ(t24t5)(t5)t25t.PEFCAO45，PEPQt25t，PFCD，kCD2kPF，tanMPFeq f(1,2)，設(shè)FMnMQ，那么PM2n，PQ3n，PFeq r(5)n，即PFeq f(r(5),3)PQ，PEPF(3eq r(5)n(1eq f(r(5),3)PQ，當(dāng)PQ最大時(shí)，PEPF取最大值，而PQt25tPEeq blc(rc)(avs4alco1(tf(5,2)eq sup12(2)eq f(25,4)，當(dāng)teq

8、 f(5,2)時(shí)，PEPF取最大值，此時(shí)Peq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，f(35,4)，EFeq r(2)PMeq f(25 r(2),6).(4)如圖：在(3)問的條件下，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，f(35,4)，Heq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，8)，作H關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)H1，作O關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)O1，所以O(shè)1(4，0)，H1eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，8)，連接O1H1，那么O1H1長(zhǎng)即為OLLKKH的最小值，直線O1H1：yeq f(16,13)xeq f(64,13)，

9、直線O1H1與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)即為L(zhǎng)點(diǎn)的位置，此時(shí)Leq blc(rc)(avs4alco1(2，f(32,13)，OLLKKH的最小值O1H1eq f(5,2)eq r(17)；(5)在(3)問的條件下，PEPEeq f(25,4)，在線段PE平移過程中，PE即PE長(zhǎng)度不變，將DP沿PE向右平移PE的長(zhǎng)即eq f(25,4)個(gè)單位，得到DE，如圖，那么四邊形DDPE為平行四邊形，故DPDE，要使得DPPEEB最小，即DPEB最小，即要使DEEB最小，當(dāng)D，E，B三點(diǎn)共線時(shí)，DEEB最小，設(shè)DB與直線AC交于點(diǎn)E.由題意知Deq blc(rc)(avs4alco1(f(17,4)，9)，直線B

10、D：yeq f(36,13)xeq f(36,13)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(101,23)，f(216,23)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(eq f(101,23)，eq f(216,23)針對(duì)訓(xùn)練：1. 解：(1)直線ykxb經(jīng)過A(4，0)、B(0，3)，eq blc(avs4alco1(4kb0，,b3，)解得eq blc(avs4alco1(kf(3,4)，,b3.)yeq f(3,4)x3.(2)過點(diǎn)P作PHAB于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作x軸的平行線MN，分別過點(diǎn)A、P作MN的垂線段，垂足分別為M、N.設(shè)H(m，eq f(3,4)m3)，那么M(4，eq f(3,4)m3)，N(

11、x，eq f(3,4)m3)，P(x，x22x1)PHAB，PHNAHM90，AMMN，MAHAHM90.MAHPHN，AMHPNH90，AMHHNP.MAy軸，MAHOBA.OBANHP.eq f(NH,3)eq f(PN,4)eq f(PH,5).eq f(xm,3)eq f(f(3,4)m3x22x1,4)eq f(d,5).整理得：deq f(4,5)x2xeq f(8,5)，所以當(dāng)xeq f(5,8)時(shí)，d取最小值，此時(shí)P(eq f(5,8)，eq f(119,64)(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x1，作點(diǎn)C關(guān)于直線x1的對(duì)稱點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CFAB于F.過點(diǎn)F作JKx軸，分別過點(diǎn)A、C作

12、AJJK于點(diǎn)J，CKJK于點(diǎn)K，那么C(2，1)設(shè)F(m，eq f(3,4)m3)，CFAB，AFJCFK90，CKJK，CCFK90，CAFJ，JK90，AFJFCK.eq f(AJ,FK)eq f(JF,CK)，eq f(f(3,4)m3,2m)eq f(m4,f(3,4)m2)，解得meq f(8,25)或m4(不符合題意，舍去)F(eq f(8,25)，eq f(81,25)，C(2，1)，F(xiàn)Ceq f(14,5).CEEF的最小值CFeq f(14,5).2. 解：(1)對(duì)于拋物線yeq f(r(3),3)x2eq f(2 r(3),3)xeq r(3)，令x0，得yeq r(3)，

13、即C(0，eq r(3)，D(2，eq r(3)，DHeq r(3)，令y0，即eq f(r(3),3)x2eq f(2 r(3),3)xeq r(3)0，得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，AEAC，EHAH，ACOEAH，eq f(OC,AH)eq f(OA,EH)，即eq f(r(3),3)eq f(1,EH)，解得：EHeq r(3)，那么DE2 eq r(3)；(2)如圖，找點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)N(4，eq r(3)，找點(diǎn)C關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)G(2，eq r(3)，連接GN，交AE于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)P，即G、F、P、N四點(diǎn)共線時(shí)，CPF的周長(zhǎng)CFPFCPGFPFPN最小，直線

14、GN的解析式：yeq f(r(3),3)xeq f(r(3),3)；直線AE的解析式：yeq f(r(3),3)xeq f(r(3),3)；直線DE的解析式：x2.聯(lián)立得：F(0，eq f(r(3),3)，P(2，eq f(r(3),3)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交FH于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)M(m，eq f(r(3),3)m2eq f(2 r(3),3)meq r(3)，那么Q(m，eq f(r(3),3)meq f(r(3),3)(0m2)；SMFPSMQFSMQPeq f(1,2)MQ2MQeq f(r(3),3)m2eq f(r(3),3)meq f(4 r(3),3)，對(duì)稱軸為直線meq f(1,2

15、)，而0eq f(1,2)2，拋物線開口向下，meq f(1,2)時(shí)，MPF的面積有最大值，為eq f(17 r(3),12).3. 解：(1)對(duì)稱軸為直線x2，設(shè)拋物線解析式為ym(x2)2k.將A(1，0)，C(0，5)代入得：eq blc(avs4alco1(9mk0，,4mk5，)解得eq blc(avs4alco1(m1，,k9，)y(x2)29x24x5.(2)M(0，1)，C(0，5)，PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3.令yx24x53，解得x2eq r(6).點(diǎn)P在第一象限，P(2eq r(6)，3)四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要MEP

16、F最小，那么四邊形PMEF的周長(zhǎng)最小如圖，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度(EF的長(zhǎng)度)，得M1(1，1)；作點(diǎn)M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M2，那么M2(1，1)；連接PM2，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)MEPFPM2最小設(shè)直線PM2的解析式為ymxn，將P(2eq r(6)，3)，M2(1，1)代入得：eq blc(avs4alco1(2r(6)mn3，,mn1，)解得：meq f(4 r(6)4,5)，neq f(4 r(6)1,5)，yeq f(4 r(6)4,5)xeq f(4 r(6)1,5).當(dāng)y0時(shí)，解得xeq f(r(6)5,4).F(eq f(r(6)5,4)，0)a1eq f(r(6)5,4)

17、，aeq f(r(6)1,4).aeq f(r(6)1,4)時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最小4. 解：(1)依題意，得ax22ax3a0(a0)，解得x13，x21B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，證明：直線l：yeq f(r(3),3)xeq r(3)，當(dāng)x3時(shí)，yeq f(r(3),3)(3)eq r(3)0，點(diǎn)A在直線l上(2)過頂點(diǎn)H作HCAB交AB于C點(diǎn)，點(diǎn)H、B關(guān)于過A點(diǎn)的直線l：yeq f(r(3),3)xeq r(3)對(duì)稱，AHAB4，又點(diǎn)H為拋物線頂點(diǎn)，那么點(diǎn)H在拋物線對(duì)稱軸上，AHBHAB4.在RtACH中，由勾股定理得CHeq r(AH2AC2)2 e

18、q r(3)，頂點(diǎn)H(1，2 eq r(3)，代入二次函數(shù)解析式，解得aeq f(r(3),2)，二次函數(shù)解析式為yeq f(r(3),2)x2eq r(3)xeq f(3 r(3),2).(3)直線AH的解析式為yeq r(3)x3 eq r(3)，直線BK的解析式為yeq r(3)xeq r(3)，由eq blc(avs4alco1(yf(r(3),3)xr(3)，,yr(3)xr(3)，)解得eq blc(avs4alco1(x3，,y2 r(3)，)即K(3，2 eq r(3)，那么BK4，點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對(duì)稱，HNMN的最小值是MB，過點(diǎn)K作KDx軸于D，作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱

19、點(diǎn)Q，連接QK，交直線AH于E，那么KEKD2 eq r(3)，QMMK，QEEK2 eq r(3)，AEQK，BMMK的最小值是BQ，即BQ的長(zhǎng)是HNNMMK的最小值，BKAH，BKQHEQ90，由勾股定理得QB8，HNNMMK的最小值為8.5. 解：(1)令y0，即eq f(1,2)x2eq r(2)x30，解得：x1eq r(2)，x23 eq r(2)，A(eq r(2)，0)，B(3 eq r(2)，0)，當(dāng)x0時(shí)，y3，C(0，3)，在RtBOC中，BO3 eq r(2)，CO3，BC3 eq r(3)，sinCBOeq f(CO,BC)eq f(r(3),3).因?yàn)锳DBC，si

20、nBADsinCBOeq f(r(3),3).過B作BHAD于點(diǎn)H，sinBADeq f(BH,AB)eq f(r(3),3)，BHeq f(4 r(6),3)；平行線AD、BC間的距離為eq f(4,3)eq r(6).(2)過P作PQy軸，交BC于點(diǎn)Q，設(shè)P(m，eq f(1,2)m2eq r(2)m3)，直線BC：yeq f(r(2),2)x3，Q(m，eq f(r(2),2)m3)，SPCBeq f(1,2)PQ(xBxC)eq f(3 r(2),2)(eq f(1,2)m2eq f(3 r(2),2)m)，當(dāng)meq f(3 r(2),2)時(shí)，SCPB最大，此時(shí)，P(eq f(3 r(2),2)，eq f(15,4)取點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B，將B沿BB方向平移eq f(4 r(6),3)個(gè)單位長(zhǎng)度得B，此時(shí)B與點(diǎn)H(eq f(5 r(2),3)，eq f(8,3)重合連接HP，交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求(PMNMBN)最小PHMNeq f(r(5937),12)eq f(4 r(6),3).6. 解：(1)令eq f(r(3),4)x2eq f(9,4)x3 eq r(3)0，解得x14 eq r(3)，x2eq r(3)，A(4 eq r(3)