1、2022/9/241CH8 動態(tài)最優(yōu)化 當一國的資本發(fā)展變成了一種賭博活動的副產(chǎn)品時，這項活動可能是錯誤的。 凱恩斯2022/9/242導論古典數(shù)學家使用的動態(tài)問題的解法是變分法。這種方法從兩條途徑得以一般化：第一條是美國數(shù)學家貝爾曼在20世紀50年代所發(fā)展的動態(tài)規(guī)劃方法。主要適用于離散時間和隨機模型。第二條是俄羅斯數(shù)學家龐特里亞金在50年代所發(fā)展的最優(yōu)控制的極大值原理。2022/9/243一、典型問題行為者選擇或控制一些變量（被稱為控制變量），以便在一些約束的限制下最大化一個目標函數(shù)。這些約束是動態(tài)的，它們描述了以一組狀態(tài)變量表示的經(jīng)濟狀態(tài)的持續(xù)演進。2022/9/244問題：約束條件：轉(zhuǎn)移

2、方程非蓬齊博弈c(t)是控制變量，k(t)是狀態(tài)變量。初始條件F(0)是初始時刻的目標函數(shù)值。r(T)是在0和T期之間的平均貼現(xiàn)率。T是終端計劃時期，可以是有限的，也可以是無限的。目標函數(shù)是瞬時幸福函數(shù)f()在0到T期的積分。幸福函數(shù)包括效用函數(shù)、利潤函數(shù)等。轉(zhuǎn)移方程表示控制變量的選擇是如何影響狀態(tài)變量的。非蓬齊博弈表示在計劃期結(jié)束時所選擇的狀態(tài)變量k(t)貼現(xiàn)后必須為非負。這排除了連環(huán)借債或蓬齊(Ponzi)負債方法。2022/9/245二、動態(tài)最優(yōu)化求解步驟1、構(gòu)造漢密爾頓函數(shù)：幸福函數(shù)v()加拉格朗日乘數(shù)乘以轉(zhuǎn)移方程右邊的函數(shù)。2、漢密爾頓函數(shù)對控制變量的導數(shù)為零。3、漢密爾頓函數(shù)對狀態(tài)

3、變量的導數(shù)等于負的乘子對時間的導數(shù)。被稱為動態(tài)拉格朗日乘數(shù)或共態(tài)變量。表示影子價格，即狀態(tài)變量的邊際價值。該式常被稱為歐拉方程2022/9/2464、橫截性條件情形1：有限期界。計劃期結(jié)束時的影子價格和狀態(tài)變量之積為零。情形2：有貼現(xiàn)的無限期界。情形3：沒有貼現(xiàn)的無限期界。橫截性條件為米歇爾條件。具體求解：根據(jù)第二步、第三步和轉(zhuǎn)移方程可以得到控制變量c(t)和狀態(tài)變量k(t)的微分方程系統(tǒng)。為了使系統(tǒng)確定，需要兩個邊界條件：初始條件和終端條件（橫截性條件）。2022/9/247充分條件如果函數(shù)f(k,c,t)和g(k,c,t)是凹函數(shù)，那么滿足上述四個條件的（k*,c*）和*0，是最優(yōu)化問題的

4、極大值。如果是凸函數(shù)，則是極小值。經(jīng)濟學中的生產(chǎn)函數(shù)和效用函數(shù)都是嚴格凹函數(shù)，因此滿足充分條件。2022/9/248三、現(xiàn)值和當期漢密爾頓函數(shù)1、現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)在大多數(shù)經(jīng)濟模型中，目標函數(shù)被貼現(xiàn)到當前，即0時期。在現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)中，影子價格表示以0時的效用單位來衡量t時資本存量的價值。2022/9/2492、當期漢密爾頓函數(shù)為了方便，有時也會從當期值價格（current-value price）來重構(gòu)這個問題。當期值價格：以t時的效用單位來衡量t時的資本存量的價格。把現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)改寫為：H=e-tu(k,c)+q(t)g(k,c,t)其中，q(t)=et，為當期影子價格。定義H*=Het為當期漢密爾頓函數(shù)：H*=u(k,c)+q(t)g(k,c,t)2022/9/2410練習：拉姆齊模型在該模型中，家庭既是消費者也是生產(chǎn)者。生產(chǎn)函數(shù)為Y=K(AL)，+=1。家庭選擇消費使一生的效用最大化。效用函數(shù)為對數(shù)形式。未來消費的主觀貼現(xiàn)率為0。求解該家庭的最優(yōu)消費路徑。為了求解這個最優(yōu)化問題，建立現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)：H(c,k,t,)=e-tlog(c)+(k-c-k)2022/9/2411如果令=0.06，=0且=0.3，那么這個系統(tǒng)就是以前研究過的非線性系統(tǒng)。2022/9/2412四、多變量的動態(tài)最優(yōu)