1、離散數(shù)學(xué)第九章代數(shù)系統(tǒng)1第1頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五第九章 代數(shù)系統(tǒng)主要內(nèi)容二元運(yùn)算及其性質(zhì)一元和二元運(yùn)算定義及其實(shí)例二元運(yùn)算的性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)定義及其實(shí)例子代數(shù)積代數(shù)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)2第2頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五9.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì)定義9.1 設(shè)S為集合，函數(shù)f：SSS 稱(chēng)為S上的二元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱(chēng)為二元運(yùn)算S中任何兩個(gè)元素都可以進(jìn)行運(yùn)算，且運(yùn)算的結(jié)果惟一S中任何兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果都屬于S，即S對(duì)該運(yùn)算封閉例1 (1) 自然數(shù)集合N上的加法和乘法是N上的二元運(yùn)算，但減法和除法不是(2) 整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法

2、都是Z上的二元運(yùn)算，而除法不是(3) 非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運(yùn)算，而加法和減法不是3第3頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五實(shí)例(4) 設(shè)Mn(R)表示所有n 階(n2)實(shí)矩陣的集合，即 則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算. (5) S為任意集合，則、 為P(S)上二元運(yùn)算. (6) SS為S上的所有函數(shù)的集合，則合成運(yùn)算為SS上二元運(yùn)算. 4第4頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五一元運(yùn)算的定義與實(shí)例定義9.2 設(shè)S為集合，函數(shù) f:SS 稱(chēng)為S上的一元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱(chēng)一元運(yùn)算. 例2 (1) 求相反數(shù)是整數(shù)集合Z,有理數(shù)集

3、合Q和實(shí)數(shù)集合R上的一元運(yùn)算 (2) 求倒數(shù)是非零有理數(shù)集合Q*,非零實(shí)數(shù)集合R*上一元運(yùn)算 (3) 求共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)集合C上的一元運(yùn)算 (4) 在冪集P(S)上規(guī)定全集為S，則求絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算是P(S)上的一元運(yùn)算. (5) 設(shè)S為集合，令A(yù)為S上所有雙射函數(shù)的集合，ASS，求一個(gè)雙射函數(shù)的反函數(shù)為A上的一元運(yùn)算. (6) 在n(n2)階實(shí)矩陣的集合Mn(R)上，求轉(zhuǎn)置矩陣是Mn(R)上的一元運(yùn)算.5第5頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五二元與一元運(yùn)算的表示1算符可以用, , , , , 等符號(hào)表示二元或一元運(yùn)算，稱(chēng)為算符. 對(duì)二元運(yùn)算，如果 x 與 y 運(yùn)算得到 z，記

4、做 xy = z對(duì)一元運(yùn)算, x的運(yùn)算結(jié)果記作x. 2表示二元或一元運(yùn)算的方法: 解析公式和運(yùn)算表公式表示 例 設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，如下定義R上的二元運(yùn)算： x, yR, x y = x. 那么 34 = 3， 0.5(3) = 0.56第6頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五運(yùn)算表：表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算 運(yùn)算表 二元運(yùn)算的運(yùn)算表 一元運(yùn)算的運(yùn)算表7第7頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五 例3 設(shè) S=P(a,b)，S上的和 運(yùn)算的運(yùn)算表如下 運(yùn)算表的實(shí)例8第8頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五二元運(yùn)算的性質(zhì)定義9.3

5、設(shè)為S上的二元運(yùn)算,(1) 若對(duì)任意x,yS 有 xy=yx, 則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿(mǎn)足交換律.(2) 若對(duì)任意x,y,zS有 (xy)z=x(yz), 則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿(mǎn)足結(jié) 合律.(3) 若對(duì)任意xS 有 xx=x, 則稱(chēng)運(yùn)算在S上滿(mǎn)足冪等律.定義9.4 設(shè)和為S上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算, (1) 若對(duì)任意x,y,zS有 (xy)z=(xz)(yz)， z(xy)=(zx)(zy), 則稱(chēng)運(yùn)算對(duì)運(yùn)算滿(mǎn)足分配律. (2) 若和都可交換,且對(duì)任意x,yS有 x(xy)=x，x(xy)=x, 則稱(chēng)和運(yùn)算滿(mǎn)足吸收律. 9第9頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五實(shí)例Z, Q, R分別為整數(shù)

6、、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合, n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|2集合運(yùn)算交換律結(jié)合律冪等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有無(wú)無(wú)Mn(R)矩陣加法+矩陣乘法有無(wú)有有無(wú)無(wú)P(B)并交相對(duì)補(bǔ)對(duì)稱(chēng)差有有無(wú)有有有無(wú)有有有無(wú)無(wú)AA函數(shù)復(fù)合無(wú)有無(wú)10第10頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五 集合 運(yùn)算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+與乘法對(duì)+可分配+對(duì)不分配無(wú)Mn(R)矩陣加法+與乘法對(duì)+可分配+對(duì)不分配無(wú)P(B)并與交對(duì)可分配對(duì)可分配有交與對(duì)稱(chēng)差 對(duì)可分配無(wú)實(shí)例Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合, n2；P

7、(B)為冪集；AA為從A到A的函數(shù)集，|A|211第11頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五特異元素：?jiǎn)挝辉?、零元定義9.5 設(shè)為S上的二元運(yùn)算,(1) 如果存在el (或er)S，使得對(duì)任意 xS 都有 elx = x (或 xer = x)，則稱(chēng)el (或er)是S中關(guān)于運(yùn)算的左(或右)單位元. 若eS關(guān)于運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱(chēng)e為S上關(guān)于運(yùn)算的單位元. 單位元也叫做幺元.(2) 如果存在 l (或 r)S，使得對(duì)任意 xS 都有 l x = l (或 x r = r)，則稱(chēng) l (或 r)是S 中關(guān)于運(yùn)算的左(或右)零元. 若 S 關(guān)于運(yùn)算既是左零元又是

8、右零元，則稱(chēng)為S上關(guān)于運(yùn)算的零元.12第12頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五可逆元素和逆元(3) 設(shè)為S上的二元運(yùn)算, 令e為S中關(guān)于運(yùn)算的單位元. 對(duì)于xS，如果存在yl (或yr)S使得 ylx=e（或xyr=e）則稱(chēng)yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 關(guān)于運(yùn)算，若yS 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，則稱(chēng) y為x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就稱(chēng) x 是可逆的.13第13頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五實(shí)例集合運(yùn)算單位元零元逆元Z,Q,R普通加法+普通乘法01無(wú)0 x逆元xx逆元x1(x1給定集合)Mn(R)矩陣加法+

9、矩陣乘法n階全0矩陣n階單位矩陣無(wú)n階全0矩陣X逆元XX的逆元X1（X可逆）P(B)并交對(duì)稱(chēng)差BB無(wú)的逆元為B的逆元為BX的逆元為X14第14頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五惟一性定理定理9.1 設(shè)為S上的二元運(yùn)算，el和er分別為S中關(guān)于運(yùn)算的左和右單位元，則el = er = e為S上關(guān)于運(yùn)算的惟一的單位元.證： el = eler (er為右單位元) eler = er (el為左單位元)所以el = er , 將這個(gè)單位元記作e. 假設(shè)e也是 S 中的單位元，則有 e=ee = e. 惟一性得證.類(lèi)似地可以證明關(guān)于零元的惟一性定理.注意：當(dāng) |S| 2，單位元

10、與零元是不同的；當(dāng) |S| = 1時(shí)，這個(gè)元素既是單位元也是零元. 15第15頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五定理9.2 設(shè)為S上可結(jié)合的二元運(yùn)算, e為該運(yùn)算的單位元, 對(duì)于xS 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 則有 yl = yr= y, 且 y是 x 的惟一的逆元.證：由 ylx = e 和 xyr = e 得 yl = yle = yl(xyr) = (ylx)yr = eyr = yr令yl = yr = y, 則 y 是 x 的逆元. 假若 yS 也是 x 的逆元, 則 y= ye = y(xy) = (yx)y = ey = y所以 y 是 x

11、惟一的逆元.說(shuō)明：對(duì)于可結(jié)合的二元運(yùn)算，可逆元素 x 只有惟一的逆 元，記作 x1 惟一性定理16第16頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五9.2 代數(shù)系統(tǒng)定義9.6 非空集合S和S上k個(gè)一元或二元運(yùn)算f1,f2, fk組成的系統(tǒng)稱(chēng)為代數(shù)系統(tǒng), 簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)，記做.實(shí)例：(1) ,是代數(shù)系統(tǒng)，+和分別表示普通加法和乘法. (2) 是代數(shù)系統(tǒng)，和分別表示 n 階(n2)實(shí)矩陣的加法和乘法. (3) 是代數(shù)系統(tǒng)，Zn0,1,n-1，和分別表示模n的加法和乘法，對(duì)于x,yZn，xy=(xy)modn，xy=(xy)modn(4) 是代數(shù)系統(tǒng)，和為并和交，為絕對(duì)補(bǔ)17第17頁(yè)，共44

12、頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五代數(shù)系統(tǒng)的成分與表示構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)的成分：集合（也叫載體，規(guī)定了參與運(yùn)算的元素）運(yùn)算（這里只討論有限個(gè)二元和一元運(yùn)算）代數(shù)常數(shù)（通常是與運(yùn)算相關(guān)的特異元素：如單位元等）研究代數(shù)系統(tǒng)時(shí)，如果把運(yùn)算具有的特異元素也作為系統(tǒng)的性質(zhì)之一，那么這些特異元素可以作為系統(tǒng)的成分，叫做代數(shù)常數(shù). 例如：代數(shù)系統(tǒng)：集合Z, 運(yùn)算+, 代數(shù)常數(shù)0代數(shù)系統(tǒng)：集合P(S), 運(yùn)算和，無(wú)代數(shù)常數(shù) 18第18頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五代數(shù)系統(tǒng)的表示(1) 列出所有的成分：集合、運(yùn)算、代數(shù)常數(shù)（如果存在） 如, (2) 列出集合和運(yùn)算，在規(guī)定系統(tǒng)

13、性質(zhì)時(shí)不涉及具有單位元 的性質(zhì)（無(wú)代數(shù)常數(shù)） 如, (3) 用集合名稱(chēng)簡(jiǎn)單標(biāo)記代數(shù)系統(tǒng) 在前面已經(jīng)對(duì)代數(shù)系統(tǒng)作了說(shuō)明的前提下使用 如代數(shù)系統(tǒng)Z, P(B) 19第19頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五同類(lèi)型與同種代數(shù)系統(tǒng)定義9.7 (1) 如果兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算的個(gè)數(shù)相同，對(duì)應(yīng)運(yùn)算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個(gè)數(shù)也相同，則稱(chēng)它們是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng).(2) 如果兩個(gè)同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)規(guī)定的運(yùn)算性質(zhì)也相同，則稱(chēng)為同種的代數(shù)系統(tǒng). 例如 V1=, V2=V1, V2是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)，它們都含有2個(gè)二元運(yùn)算, 2個(gè)代數(shù)常數(shù).20第20頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12

14、分，星期五V1V2+ 可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合+ 滿(mǎn)足消去律 滿(mǎn)足消去律 對(duì) + 可分配+ 對(duì) 不可分配+ 與 沒(méi)有吸收律可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合不滿(mǎn)足消去律 不滿(mǎn)足消去律對(duì)可分配對(duì)可分配與滿(mǎn)足吸收律運(yùn)算性質(zhì)比較V1=, V2=所以,V1, V2是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng),但不是同種的代數(shù)系統(tǒng).21第21頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五子代數(shù)系統(tǒng)定義9.8設(shè)V=是代數(shù)系統(tǒng)，B是S的非空子集，如果B對(duì)f1, f2, , fk 都是封閉的，且B和S含有相同的代數(shù)常數(shù)，則稱(chēng)是V的子代數(shù)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)子代數(shù). 有時(shí)將子代數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)記為B.實(shí)例N是的子代數(shù)，N也是的子代數(shù)N0是的子

15、代數(shù)，但不是的子代數(shù)說(shuō)明：子代數(shù)和原代數(shù)是同種的代數(shù)系統(tǒng)對(duì)于任何代數(shù)系統(tǒng)V=，其子代數(shù)一定存在. 22第22頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五關(guān)于子代數(shù)的術(shù)語(yǔ)(1) 最大的子代數(shù)：就是V本身(2) 最小的子代數(shù)：如果令V中所有代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的集合是 B，且B對(duì)V中所有的運(yùn)算都是封閉的，則B就構(gòu)成了V的 最小的子代數(shù)(3) 最大和最小的子代數(shù)稱(chēng)為V 的平凡的子代數(shù)(4) 若B是S的真子集，則B構(gòu)成的子代數(shù)稱(chēng)為V的真子代數(shù).例 設(shè)V=,令 nZ=nz | zZ,n為自然數(shù)，則nZ是V的子 代數(shù) 當(dāng)n=1和0時(shí)，nZ是V的平凡的子代數(shù)，其他的都是V的非 平凡的真子代數(shù). 23第

16、23頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五積代數(shù)定義9.9 設(shè)V1=和V2=是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)，和為二元運(yùn)算，在集合AB上如下定義二元運(yùn)算， ,AB，有 = 稱(chēng)V=為V1與V2的積代數(shù)，記作V1V2. 這時(shí)也稱(chēng)V1和V2為V的因子代數(shù). 實(shí)例 Z2=0,1，V=， V1V2= Z2Z2=, , , = 注意：積代數(shù)的定義可以推廣到具有多個(gè)運(yùn)算的同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng) 模2的加法: x,y Z2x y=(x+y)mod 224第24頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五積代數(shù)實(shí)例 已知Z2=0,1，V=， 其中為模2的加法: x,y Z2 ,有x y=(x+y)

17、mod 2.求 V1V2=注意：積代數(shù)的定義可以推廣到具有多個(gè)運(yùn)算的同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng) 解:Z2Z2=, , , 25第25頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五積代數(shù)例 V1=, V2=, 積代數(shù)為 , ZM2(R) , o = 26第26頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五積代數(shù)的性質(zhì)定理9.3 設(shè)V1=和V2=是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)， V1V2=是它們的積代數(shù). (1) 如果 和 運(yùn)算是可交換（可結(jié)合、冪等）的，那么運(yùn)算也是可交換（可結(jié)合、冪等）的(2) 如果 e1 和 e2（1和2）分別為 和 運(yùn)算的單位元（零元），那么（）也是運(yùn)算的單位元（零元）(

18、3) 如果 x 和 y 分別為和 運(yùn)算的可逆元素，那么也是運(yùn)算的可逆元素，其逆元就是 即積代數(shù)能夠保持因子代數(shù)中的許多良好的性質(zhì).27第27頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五9.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)引言在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，存在著很多代數(shù)系統(tǒng)，但仔細(xì)分析這些眾多的代數(shù)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)，有些代數(shù)系統(tǒng)，他們之間表面上似乎不相同，但他們實(shí)際上 “相同” 。如有兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)和，其運(yùn)算“*”和“?！狈謩e定義如下表 28第28頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五9.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)V1=和V2=若把表1中的奇和偶分別替換成正和負(fù),就可以得到表2表1表2這個(gè)

19、替換可以表示成函數(shù):F=,在雙射F的作用下,代數(shù)系統(tǒng)V1轉(zhuǎn)換成了代數(shù)系統(tǒng)V2.它們是同構(gòu)的,都是抽象代數(shù)系統(tǒng)a,b的實(shí)例.29第29頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五9.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)定義9.10 設(shè)V1=和V2=是同類(lèi)型的代數(shù)系統(tǒng)，f:AB，且x, yA 有 f(xy) = f(x)f(y), 則稱(chēng) f 是V1到V2的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱(chēng)同態(tài).30第30頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五9.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)分類(lèi)：(1) f 如果是單射，則稱(chēng)為單同態(tài)(2) 如果是滿(mǎn)射，則稱(chēng)為滿(mǎn)同態(tài)，這時(shí)稱(chēng)V2是V1的同態(tài)像， 記作V1V2(3)

20、如果是雙射，則稱(chēng)為同構(gòu)，也稱(chēng)代數(shù)系統(tǒng)V1同構(gòu)于V2， 記作V1V2 (4) 如果V1=V2，則稱(chēng)作自同態(tài)31第31頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五實(shí)例(判斷自同態(tài))例 V=, 判斷下面的哪些函數(shù)是V 的自同態(tài)？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1解 (2) , (5), (6) 不是自同態(tài). (1) 是同態(tài)， f(xy) = |xy| = |x| |y| = f(x) f(y) (3) 是同態(tài)， f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f

21、(y) (4) 是同態(tài)， f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y) 32第32頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五實(shí)例(課本P177 例9.11)(1) 設(shè)V1=, V2=其中Z為整數(shù)集，+為普通加法；Zn=0,1,n1，為模n加. 令 f : ZZn，f (x)=(x)mod n 那么 f 是V1到V2的滿(mǎn)同態(tài)(3) 設(shè)V=，其中Z為整數(shù)集，+為普通加法. aZ，令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那么 fa 是V的自同態(tài). 當(dāng)a=0時(shí)稱(chēng) f0 為零同態(tài)；當(dāng)a=1時(shí)，稱(chēng) fa 為自同構(gòu)；除此之外其他的 fa 都是單自同態(tài). (2) 設(shè)V

22、1=, V2=，其中R和R*分別為實(shí)數(shù)集與非零實(shí)數(shù)集，+ 和 分別表示普通加法與乘法令 f : RR*，f (x)= ex 則 f 是V1到V2的單同態(tài). 33第33頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五第九章 習(xí)題課主要內(nèi)容代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成：非空集合、封閉的二元和一元運(yùn)算、代數(shù)常數(shù) 二元運(yùn)算性質(zhì)和特異元素：交換律、結(jié)合律、冪等律、分配律、吸收律、單位元、零元、可逆元和逆元同類(lèi)型的與同種的代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)的定義與實(shí)例積代數(shù)的定義與性質(zhì)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)34第34頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五基本要求判斷給定集合和運(yùn)算能否構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)判斷給定二元運(yùn)算

23、的性質(zhì)求而二元運(yùn)算的特異元素了解同類(lèi)型和同種代數(shù)系統(tǒng)的概念了解子代數(shù)的基本概念計(jì)算積代數(shù)判斷函數(shù)是否為同態(tài)映射和同構(gòu)映射35第35頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五練習(xí)11設(shè)運(yùn)算為Q上的二元運(yùn)算， x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 判斷運(yùn)算是否滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，并說(shuō)明理由.(2) 求出運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.(1) 運(yùn)算可交換，可結(jié)合. 任取 x, yQ, xy = x+y+2xy = y+x+2yx = y x,任取 x, y, zQ, (xy)z = (x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z = x+y+z+2xy+2xz+2

24、yz+4xyz x(yz) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz36第36頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五(2) 設(shè)運(yùn)算的單位元和零元分別為 e 和 ，則對(duì)于任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于運(yùn)算可交換，所以 0 是幺元.對(duì)于任意 x 有x = 成立，即 x+2x = x+2x = 0 = 1/2 給定 x，設(shè) x 的逆元為 y, 則有 xy = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 (x 1/2 )因此當(dāng)x 1/2時(shí)， 是x的逆元. 練習(xí)1解答37第37頁(yè)，共4

25、4頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五2下面是三個(gè)運(yùn)算表(1) 說(shuō)明那些運(yùn)算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的. (2) 求出每個(gè)運(yùn)算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元練習(xí)238第38頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五解練習(xí)2解答(1) * 滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律，不滿(mǎn)足冪等律. 不滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律，滿(mǎn)足冪等律. 滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律，不滿(mǎn)足冪等律.(2) * 的單位元為b，沒(méi)有零元， a1=c, b1=b,c1=a 的單位元和零元都不存在，沒(méi)有可逆元素. 的單位元為 a，零元為c，a1=a，b, c不是可逆元素. 說(shuō)明：關(guān)于結(jié)合律的判斷需要針對(duì)運(yùn)算元素的每種選擇進(jìn)行驗(yàn)證，若|A|=n，一般需要驗(yàn)證n3個(gè)等式.單位元和零元不必參與驗(yàn)證.通過(guò)對(duì)具體運(yùn)算性質(zhì)的分析也可能簡(jiǎn)化驗(yàn)證的復(fù)雜性.39第39頁(yè)，共44頁(yè)，2022年，5月20日，11點(diǎn)12分，星期五判別運(yùn)算性質(zhì)的方法通過(guò)運(yùn)算表可以判別運(yùn)算性質(zhì),也可以求運(yùn)算的特異元素.具體辦法如下:如果運(yùn)算表的元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)分布,那么運(yùn)算可交換的.如果主對(duì)角線元素的排列順序與表頭元素的順序一樣,那么運(yùn)算是冪等的.如果一個(gè)元素所在行和列的元素排列順序都與表頭元素排列順序一致,那么這個(gè)元素是單位元.如果一個(gè)元素的行和列元素都是這個(gè)元素自身,那么這