1、8 最小二乘法一、教學(xué)分析 最小二乘法的思想是使y ab 的和到達(dá)最小。2ii否存在線(xiàn)性相關(guān)系就顯得很重要。二、教學(xué)建議關(guān)于最小二乘法不要求學(xué)生掌握推導(dǎo)過(guò)程，但要理解其思想。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能程。2、過(guò)程與方法間依賴(lài)關(guān)系的一般方法。3、情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)考和解決生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程。教學(xué)難點(diǎn): 線(xiàn)性回歸方程的推導(dǎo)。一課題引入直線(xiàn)，也就說(shuō)，它們之間是線(xiàn)性相關(guān)的。這種線(xiàn)性關(guān)系可以用多種方法來(lái)刻畫(huà)，那么用什么樣的線(xiàn)性關(guān)系刻畫(huà)會(huì)更好呢？一個(gè)好的線(xiàn)性關(guān)系要保證這條直線(xiàn)與所有點(diǎn)都接近。二探求新知 假設(shè)一條直線(xiàn)的方

2、程為： y a，任意給定一個(gè)樣本點(diǎn)： x,y ，即有ii一個(gè)估計(jì)值 x,a 與之對(duì)應(yīng)，那么估計(jì)值與真實(shí)值之間存在誤差ii 來(lái)刻畫(huà)彼此y abx y a bx2iiii之間的“誤差。 如果有 n 個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為 x,y , x ,y , , x ,y ，那么所有誤1122nn 越小，對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)差的和y abx 2y abx 2 y abx 2 1122nn方程就越理想。使得上式到達(dá)最小值的直線(xiàn) 就是所要求的直線(xiàn)，我們y a 把這種方法稱(chēng)為最小二乘法。x x xy y y記：x,y ，那么n12n12nn y abx 2y abx 2 y abx 2 1122nn 2n y ，所以當(dāng)a y

3、bx 時(shí)，上式取得=n a y n y22iii1 b 的一元二次多項(xiàng)式的形式： 22nnnny bxbx x by y x x y y22iiiiiii1i1i1i1nx y y x,y 與直線(xiàn) y a最接近。這樣得到的ii所以當(dāng) bi1niix 22ii1方程稱(chēng)為線(xiàn)性回歸方程，a,b稱(chēng)為線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)。三知識(shí)應(yīng)用例 1、在上一節(jié)練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣(mài)部6天賣(mài)出熱茶的杯數(shù)y與當(dāng)天氣溫x之間是線(xiàn)性相關(guān)的。數(shù)據(jù)如下表所示：氣溫x/杯數(shù)2620182413341038-164501試用最小二乘法求出線(xiàn)性回歸方程。2如果某天氣溫是-5，請(qǐng)預(yù)測(cè)大約能賣(mài)出熱茶多少杯。351153 x ,y

4、 ，3進(jìn)而求得 ， b 1.648 a 57.557。于是，線(xiàn)性回歸方程為 。y 1.648x時(shí)，賣(mài)出熱茶的倍數(shù)估計(jì)為(66。例 2、下面是兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)：xy11243916253649641請(qǐng)用最小二乘法求出這兩個(gè)變量之間的線(xiàn)性回歸方程；解：線(xiàn)性回歸方程為y 159x。但是，從表中數(shù)據(jù)很容易看出：y x ，2此時(shí)，最小二乘法得到的線(xiàn)性回歸方程已經(jīng)失去了意義。我們可以用最小二乘法估計(jì)出線(xiàn)性回歸方程；如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出其他的曲線(xiàn)關(guān)系，我們就要利用其他的工具進(jìn)行擬合。四課堂練習(xí)1、設(shè)(x ,y ),(x ,y )，(x ,y )是變量x和y 的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線(xiàn)l是由這112233是 A回歸直線(xiàn)

5、是經(jīng)過(guò)散點(diǎn)圖上最多點(diǎn)的直線(xiàn)B假設(shè)回歸方程為 1，那么當(dāng) 10時(shí)， 一yxxyC當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在 兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同lD直線(xiàn) 過(guò)點(diǎn)(x,y)l解析：根據(jù)最小二乘法的有關(guān)概念：樣本點(diǎn)的中心，相關(guān)系數(shù)線(xiàn)，性回歸方程的意義等進(jìn)行判斷。選 D 年廣東卷為了解籃球愛(ài)好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1 號(hào)到 5 號(hào)每天打籃球時(shí)間 當(dāng)天投籃命中率 y 之間的關(guān)系：時(shí)間x3命中率0405060604小李這 5 李每月 6 號(hào)打籃球 6 小時(shí)的投籃命中率為_(kāi)。0.5，0.533、課本 57 頁(yè) 練習(xí)1線(xiàn)性回歸方程為y 89.01680.6562x；2線(xiàn)性回歸方程為y 0.

6、66240.1233x；這說(shuō)明從總體上看，相對(duì)于身高而言，女生的右手一拃長(zhǎng)比男生的要長(zhǎng)。從另一個(gè)角度開(kāi)看，對(duì)于男生而言，女生的身高總體偏矮，相同年齡的人右手一拃長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)大致差不多，所以相對(duì)于身高而言，女生的右手一拃長(zhǎng)比男生的要長(zhǎng)。五課堂小結(jié) 最小二乘法：如果有n 個(gè)樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為 x,y , x ,y , , x ,y ，1122nn可以用下面的表達(dá)式來(lái)刻畫(huà)這些樣本點(diǎn)與直線(xiàn)y abx 之間的接近程度： y abx 2y abx 2 y abx 2，使得上式到達(dá)最小值的 1122nn直線(xiàn) y abx就是所要求的直線(xiàn)，我們把這種方法稱(chēng)為最小二乘法。x x xy y y線(xiàn)性回歸方程：如果x,y ，那么可求得n12n12nnnx y yiia ybx ，b，這樣得到的方程稱(chēng)為線(xiàn)性回歸方程， , 稱(chēng)a bi