1、級(jí)數(shù)的收斂性第1頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二1 級(jí)數(shù)的收斂性第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第2頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二1. 計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積一、問(wèn)題的提出第3頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二1. 無(wú)窮級(jí)數(shù)的定義設(shè)有數(shù)列un:u1, u2, , un, , 則稱表達(dá)示為一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù). 其中， un稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念第4頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二若級(jí)數(shù)的每一個(gè)項(xiàng)un均為常數(shù)，則稱該級(jí)數(shù)為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)均為同一個(gè)變量的

2、函數(shù)un = un(x), 則稱級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).第5頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例1. 下列各式均為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第6頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例2. 下列各式均為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第7頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二2. 級(jí)數(shù)的斂散性定義無(wú)窮級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和：稱為級(jí)數(shù)的部分和.若存在，則稱級(jí)數(shù)收斂，S稱為級(jí)數(shù)的和：第8頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二若不存在(包括為)，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.第9頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推播放第10頁(yè)，共96

3、頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推第11頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推第12頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推第13頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推第14頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推第15頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推第16頁(yè)，共96頁(yè)，2022

4、年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二周長(zhǎng)為面積為第 次分叉：第17頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二于是有結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無(wú)界的，而面積有界雪花的面積存在極限（收斂）第18頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例3. 討論等比級(jí)數(shù)的斂散性.解：等比級(jí)數(shù)的部分和為：當(dāng)公比 | r |1時(shí)，當(dāng)公比 r =1時(shí)，當(dāng)公比 r = 1時(shí)，Sn=a, n為奇數(shù)0, n為偶數(shù), 故不存在. 綜上所述，當(dāng)公比| r |1時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)公比| r |1時(shí)，等比級(jí)數(shù)發(fā)散.第20頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例4. 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：第2

5、1頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二而故，即該級(jí)數(shù)收斂.第22頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二3. 收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)稱為收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記為的和S與其部分和Sn的差SSn顯然第23頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二二、級(jí)數(shù)收斂的必要條件定理：若級(jí)數(shù)收斂，則必有證 設(shè)第24頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例5. 判別的斂散性.解：由于故該級(jí)數(shù)發(fā)散.第25頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例6. 證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證 調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和有：第26頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月2

6、0日，9點(diǎn)54分，星期二第27頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二由數(shù)學(xué)歸納法，得 k=0, 1, 2, 而故 不存在，即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. 第28頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二若c0為常數(shù)，則有相同的斂散性，且三、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1第29頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證的部分和為的部分和為故從而同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.第30頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二若其和分別為S1和S2，則級(jí)數(shù)且性質(zhì)2第31頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證的部分和為：故第32頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5

7、月20日，9點(diǎn)54分，星期二即 級(jí)數(shù)收斂，且第33頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例7. 因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)第34頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例8. 問(wèn)題(1) 一個(gè)收斂級(jí)數(shù)與一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？答：是發(fā)散的.問(wèn)題(2) 兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？答：不一定.第35頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二 在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面加上或者去掉有限項(xiàng)后，所得到的新的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)的斂散性相同. (但對(duì)收斂級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，它的和將改變.)性質(zhì)3第36頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證 設(shè)級(jí)數(shù)的

8、部分和為Sn,去掉級(jí)數(shù)的前面m項(xiàng)后得到的級(jí)數(shù)的部分和為S k:第37頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二由于Sm當(dāng)m固定時(shí)為一常數(shù)，所以故 級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)第38頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二 對(duì)收斂的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得到的新級(jí)數(shù)仍然收斂，且其和不變. 性質(zhì)4第39頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例9. 考慮一下幾個(gè)問(wèn)題：(1) 收斂的級(jí)數(shù)去掉括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂嗎？答：不一定.(2) 發(fā)散的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)是否仍發(fā)散？答：不一定發(fā)散.(3) 如果加括號(hào)后的級(jí)數(shù)仍發(fā)散，原級(jí)數(shù)是否也發(fā)散？答：原級(jí)數(shù)也發(fā)散.第40頁(yè)，共96頁(yè)，

9、2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證明 四、級(jí)數(shù)收斂的必要條件：第41頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散; 發(fā)散2.必要條件不充分.第42頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二討論第43頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二8項(xiàng)4項(xiàng)2項(xiàng)2項(xiàng) 項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.第44頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法第45頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二思考題第46頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)5

10、4分，星期二思考題解答能由柯西審斂原理即知第47頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二練習(xí)題第48頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二第49頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二練習(xí)題答案第50頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第51頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:定理部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列.第52頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證明即部分和數(shù)列有界3.比較審

11、斂法第53頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù). 第54頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二解由圖可知第55頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二重要參考級(jí)數(shù): 幾何級(jí)數(shù), P-級(jí)數(shù), 調(diào)和級(jí)數(shù).第56頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證明第57頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二4.比較審斂法的極限形式:設(shè)=1nnu與=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1) 當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂; (3) 當(dāng)時(shí), 若=1nn

12、v發(fā)散,則=1nnu發(fā)散;第58頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證明由比較審斂法的推論, 得證.第59頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二第60頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.第61頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證明第62頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二收斂發(fā)散第63頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù). 兩點(diǎn)注意:第64頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二第65頁(yè)，共96頁(yè)，2

13、022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二解第66頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二比值審斂法失效, 改用比較審斂法第67頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二級(jí)數(shù)收斂.第68頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二思考題第69頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二思考題解答由比較審斂法知 收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.第70頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二練 習(xí) 題第71頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二第72頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二練習(xí)

14、題答案第73頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第74頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性1. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)正負(fù)相間的一種級(jí)數(shù)，它的一般形式為或其中，un0 (n=1, 2, )第75頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二定理(萊布尼茲判別法) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件(1) (2) unun+1 (n=1, 2, ) 則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和S的值小于u1.(級(jí)數(shù)收斂的必要條件) 第76頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二證 只需證明級(jí)數(shù)部分和Sn當(dāng)n

15、時(shí)的極限存在.1) 取交錯(cuò)級(jí)前2m項(xiàng)之和由條件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及 由極限存在準(zhǔn)則：第77頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二2) 取交錯(cuò)級(jí)數(shù)的前2m+1項(xiàng)之和由條件1):綜上所述，有第78頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例1. 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，又由萊布尼茲判別法，該級(jí)數(shù)是收斂.第79頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例2. 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，又令x2, +)，則x2, +)，故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立，由萊布尼茲判別法，該級(jí)數(shù)收斂.第

16、80頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二解原級(jí)數(shù)收斂.第81頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二2. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性(1) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)斂和條件收斂定義：若級(jí)數(shù)對(duì)收斂的；若級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)第82頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二定理：若(即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必定收斂)證： un |un|從而第83頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)第84頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第85頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二定理

17、(達(dá)朗貝爾判別法) 設(shè)有級(jí)數(shù)若(1) 1 (包括= )時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3) =1時(shí)，不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.第86頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例5. 判別級(jí)數(shù)的斂散性.解：由P一級(jí)數(shù)的斂散性，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.第87頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例6. 判別的斂散性，其中，x1為常數(shù).解：記第88頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二當(dāng)|x|1時(shí)，=|x|1時(shí)，=1, 此時(shí)不能判斷其斂散性.由達(dá)朗貝爾判別法：但|x|1時(shí)，從而，原級(jí)數(shù)發(fā)散.第89頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二例6. 級(jí)數(shù)是否絕對(duì)

18、收斂?解：由調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性可知，故發(fā)散.但原級(jí)數(shù)是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)：故原級(jí)數(shù)是條件收斂，不是絕對(duì)收斂的.第90頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二(2) 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1. 任意交換絕對(duì)斂級(jí)數(shù)中各項(xiàng)的位置，其斂散性不變，其和也不變. 性質(zhì)2. 兩個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的積仍是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，且其和等于原來(lái)兩個(gè)級(jí)數(shù)的和之積.第91頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星期二(3) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)判別法定理(迪利赫勒判別法) 設(shè)有級(jí)數(shù)任意的 n 1 , 有un un+1, 且又n=1, 2, , M 0為與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，則級(jí)數(shù)若對(duì)收斂.第92頁(yè)，共96頁(yè)，2022年，5月20日，9點(diǎn)54分，星