1、-. z.數(shù)學(xué)分析選講A/B模擬練習(xí)題參考答案選擇題：共18題，每題3分1、以下命題中正確的選項(xiàng)是 A B A、假設(shè)，則是的不定積分，其中為任意常數(shù)B、假設(shè)在上無(wú)界，則在上不可積C、假設(shè)在上有界，則在上可積D、假設(shè)在上可積，則在上可積2、設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有 B A與是等價(jià)無(wú)窮小B與同階但非是等價(jià)無(wú)窮小C是比高階的無(wú)窮小D是比低階的無(wú)窮小3、假設(shè)為連續(xù)奇函數(shù),則為( A )A、奇函數(shù) B、偶函數(shù)C、非負(fù)偶函數(shù) D、既不是非正的函數(shù),也不是非負(fù)的函數(shù).4、函數(shù)在上連續(xù)是在上可積的 A 條件A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要條件 D. 非充分也非必要條件.5、假設(shè)為連續(xù)奇函數(shù),則為( B

2、)A、奇函數(shù) B、偶函數(shù)C、非負(fù)偶函數(shù) D、既不是非正的函數(shù),也不是非負(fù)的函數(shù).6、設(shè)則是的 B A. 連續(xù)點(diǎn) B. 可去連續(xù)點(diǎn) C.跳躍連續(xù)點(diǎn) D. 第二類連續(xù)點(diǎn)7、設(shè),當(dāng)時(shí),恒有,.則正確的選項(xiàng)是( A )A、B、C、D、A和B的大小關(guān)系不定.8、函數(shù)f(*,y) 在點(diǎn)連續(xù)是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)都存在的 A A.既非充分也非必要條件 B充分條件C.必要條件 D.充要條件9、極限( D )A、B、C、D、不存在.10、局部和數(shù)列有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的( C )條件A. 充分非必要 B. 必要非充分C.充分必要 D.非充分非必要11、極限( A )A、 B、 C、 D、不存在.12、與的定義等價(jià)的是

3、B D A、總有B、至多只有的有限項(xiàng)落在之外C、存在自然數(shù)N，對(duì)當(dāng)，有D、存在自然數(shù)N，對(duì)有13、曲線( D )A、沒有漸近線 B、僅有水平漸近線C、僅有垂直漸近線 D、既有水平漸近線, 也有垂直漸近線14、以下命題中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是 A D A、假設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，則在既是右連續(xù)，又是左連續(xù)B、假設(shè)對(duì)在上連續(xù)，則在上連續(xù)C、假設(shè)是初等函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑒tD、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是在點(diǎn)的左、右極限存在且相等15、設(shè)為單調(diào)數(shù)列，假設(shè)存在一收斂子列，這時(shí)有 A A、B、不一定收斂C、不一定有界D、當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)先假設(shè)了為有界數(shù)列時(shí)，才有A成立16、設(shè)在R上為一連續(xù)函數(shù)，則有 C A、當(dāng)為開區(qū)間時(shí)必為開區(qū)間B

4、、當(dāng)為閉區(qū)間時(shí)必為閉區(qū)間C、當(dāng)為開區(qū)間時(shí)必為開區(qū)間D、以上A,B,C都不一定成立17、以下命題中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A、假設(shè)，級(jí)數(shù)收斂，則收斂；B、假設(shè)，級(jí)數(shù)收斂，則不一定收斂；C、假設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且有則收斂；D、假設(shè)，則發(fā)散18、設(shè)為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這時(shí)有 D A、假設(shè),則收斂B、假設(shè)收斂，則C、假設(shè)收斂，則D、以上A,B,C都不一定成立填空題：共15題，每題2分1、設(shè)，則2或-2 2、= 3、= 4、= 2 5、設(shè)收斂，則= 10 6、= 7、2 8、8 9、設(shè)，則10、設(shè)，則11、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 12、積分的值為 0 13、曲線與軸所圍成局部的面積為 36 14、15、= 0三、計(jì)算題：共1

5、5題，每題8分1、求.解：=2、將展開成的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂域。解： = =且由知3、求解：原式有界量乘以無(wú)窮小量4、求解：令，原式5、求解：原式6、求極限解：7、設(shè) , 求解：當(dāng)時(shí)，；8、設(shè)，其中為何值時(shí)，在*=0處可導(dǎo)，為什么，并求。解：，故要使存在，必須又要使有導(dǎo)數(shù)存在,必須b=0.綜上可知,當(dāng)A=b=0,為任意常數(shù)時(shí)，在*=0處可導(dǎo)，且9、計(jì)算以下第一型曲面積分：其中為解: 由平面構(gòu)成:10、解：11、解：由洛必達(dá)LHospital法則得12、解：13、解: 14、解: 15、解: 四、證明題共17題，共156分1、6分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。試證：如果，則方程在內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根

6、。證明：因?yàn)樵谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，于是由零點(diǎn)存在定理知，至少存在一點(diǎn)使得，又，因此知在上為嚴(yán)格格單調(diào)增加的，故方程在內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根。2、10分指出函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)，并判定不連續(xù)點(diǎn)的類型.解：的不連續(xù)點(diǎn)為又而在點(diǎn)沒有定義，于是知為的第一類不連續(xù)點(diǎn)；為的第二類不連續(xù)點(diǎn)；為的第三類不連續(xù)點(diǎn)。3、10分設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又，證明在內(nèi)有.證明：由于又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，使得，從而在內(nèi)有4、12分設(shè)1證明在0，0點(diǎn)連續(xù)2求3證明在0，0點(diǎn)可微解：1令則故在0，0點(diǎn)連續(xù)。23由于即在0，0點(diǎn)可微. 5、6分設(shè)在嚴(yán)格單調(diào)遞減，存在，且試證明.證明：令，則由題意有6、(10分) 設(shè)為可微函

7、數(shù).求，其中1解：將等式兩邊對(duì)*求導(dǎo)得2將*=0代入(1)式解得，再將*=0代入2得7、(10分)在-1*1有意義，證明證明：令，則，即1將*=0代入1但8、(10分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解：由于，則R=2，即當(dāng)時(shí)其絕對(duì)收斂又當(dāng)*+1=2，即*=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?、7分證明：當(dāng)時(shí)，.證明：設(shè)，則在連續(xù). 則在單調(diào)增加。則對(duì)任意有，即10、10分設(shè)在上可微，且滿足 (1)求證：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證明：由(1)式及積分中值定理知，存在，使 (2)令,則由(2)式及假設(shè)可知在上滿足羅爾定理的條件，故存在使11、(10分) 求的收斂域，并求其和函數(shù)

8、.解：設(shè)，則由及都發(fā)散，可知的收斂域?yàn)?1,-1).再由于12、(10分)設(shè)試證明：在*=0處連續(xù).證明：則因此在*=0處連續(xù).13、6分證明由積分確定的連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理：設(shè)在上連續(xù)，假設(shè)，則，使得.證明：用反證法. 假設(shè)對(duì),由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知,在上不變號(hào).不妨設(shè)在上,由定積分的性質(zhì)可得,此與條件矛盾,于是,必，使得.14、10分設(shè)在上連續(xù),且滿足.試證:,使得.證明：取變換,則,積分等式變?yōu)?注意到時(shí),也有,因而在上連續(xù),于是.由此可得,使得.15、12分設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,記,(1)求;(2)求證:,使得;解：(1) ;(2) 因?yàn)?又在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由羅爾中值定理,使得,即;16、7分設(shè)，試證數(shù)列存在極限，并求此極限。證明：由知，。假設(shè)，則，由歸納法知為單調(diào)下降數(shù)列，