1、寧波大學(xué)/學(xué)年第學(xué)期考試卷（ A/B/C ）課號(hào)：課名：閱卷教師：成績(jī)一、單項(xiàng)選擇題（每小題4 分，共 20 分）A,B,C,I 為同階矩陣， I 為單位矩陣，若 ABC=I，則下列各式總是成立的是（ A ）(A) BCA=I(B) ACB=I(C) BAC=I (D) CBA=I2. 已知方陣 A 滿(mǎn)足 A23A 4EO, 則矩陣 A 2E1（ C）（A）A E（B） 1(A E)2裝（D） A 2E（C） 1(A E)2名姓3.設(shè)3階矩陣 A有特征值1,2 , 31,2,3， 令，其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為d i a g321，則使得 P 1AP的可逆矩陣 P 可以是下面四個(gè)選項(xiàng)中的（ B）訂

2、（ A ）123（B ）32 23 1（C）312 23（ D ）2314. 設(shè)向量 1(3,1,0),2 (2,0,4),(1,2, k) ，則 k=( D )時(shí)， 才能由 1， 2 線(xiàn)性表示。(A) 2(B) 4(C) 7(D) 10線(xiàn)5如果（ D），則矩陣 A 與矩陣 B 相似(A) AB(B)r(A)=r(B)(C)A 與 B 有相同的特征多項(xiàng)式(D)n 階矩陣 A 與 B 有相同的特征值且n 個(gè)特征值各不相同號(hào)學(xué)二、填空題（每題4 分，共 20 分）2131行列式 012 中的元素 a23 的代數(shù)余子式 A23 的值為 8 .426313 .2設(shè) A= 01 ,則 ATA= 1320

3、32a101003 設(shè) 3 階方陣 A b20與對(duì)角矩陣 B 020相似，則 a 2,b 1002003101x104已知方程組 12kx20有非零解，則 k= -1 .211x30 設(shè) 3 階方陣 A 的特征值為1,1,3, A 是A的伴隨矩陣 ,則AA18/3.5二計(jì)算題（ 50 分）xaaaxa計(jì)算行列式aaxx aax ( n 1)a aa1aaa xax ( n 1)a xa( x (n1xa解：1)a)a axx ( n 1)a ax1ax100(x1xa0(n 1)a)( xa) n 1 8 分( n 1)a)( x10 x a第1頁(yè)共4頁(yè)寧波大學(xué)/學(xué)年第學(xué)期考試卷（ A/B/C

4、 ）課號(hào)：課名：閱卷教師：成績(jī)1012已知兩個(gè)三階方陣A, B 滿(mǎn)足 ABEA2B ，其中 A020 ,101求矩陣 B .（ 10 分）解：由ABEA2B裝( AE) B( AE)( AE) 4 分因?yàn)?AE0， 6 分名201姓所以 BAE =030 10 分102訂3. 求向量組TTTT1 (1,1,3,1) , 2( 1,1, 1,3) , 3(5, 2,8, 9) , 4( 1,3,1,7) ,的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。（10 分）解：把 1，2， ， 4組成矩陣并做行初等變換3115111511123027412343181027 4分4線(xiàn)1397041

5、481151115110312702740120172 8 分20000200000000000000000000號(hào)學(xué)因此1，2為極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組， 331- 72 , 41+2 2. 10 分22x1x2x304. 設(shè)有線(xiàn)性方程組x1x2x33問(wèn) 取何值時(shí)，此方程組x1 x2x31（1）有惟一解；無(wú)解（2）有無(wú)限多個(gè)解？并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解。（ 12 分）解： 方程組的系數(shù)矩陣：11A11(2)(1)20解得1， -2時(shí)方程組有惟一解。11 3 分時(shí)，增廣矩陣為11101110A b11130001方程組無(wú)解。 6 分11100000時(shí)，增廣矩陣為111110102110222210113

6、3A b12 130 1120 11 20311232200000000333022原方程組與方程組x1x31x2x3通解，此時(shí)有無(wú)窮多解。此次方程組對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)解211系為 xC 1，非齊次方程的特解為x2 ，所以原方程組的通解為10第2頁(yè)共4頁(yè)寧波大學(xué)/學(xué)年第學(xué)期考試卷（ A/B/C ）課號(hào)：課名：閱卷教師：成績(jī)11xC 12 12 分105.設(shè) 3階對(duì)稱(chēng)陣 A的特征值為1 6,233,與特征值1 6 對(duì)應(yīng)的特征向量為p1T， 求 A（10 分）(1,1,1)裝11解： p1T xOx1x2x30 ，基礎(chǔ)解系為1,0 4 分名01姓111P11010111111/ 31/ 31/ 3訂P 1

7、1101/ 32 / 31/ 3 8 分1011/ 31/ 32 / 31116001114111A110030110= 14110 分101003101114三證明題（ 10 分）線(xiàn)1.設(shè) Am n BnlO ，證明 R( A)R( B)n 。證：記方程Ax O的解集為 S，即 ()。 分R B Rs2R( A)Rsn ，R( A)Rs n 5 分號(hào)2.已知向量組 a1 , a2, a3 線(xiàn)性無(wú)關(guān)， b1a1a2 ,b2a2a3 ,b3a3a1 ，試證向量組學(xué)b1 ,b2 , b3 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)有 x1, x2 , x3 使x1b1x2 b2x3b3 0即 x1 (a1 a2 ) x2 (a2a3 ) x3 (a3a1) 0亦即 a1( x1x3 ) a2 ( x2x1 )a3 (x2x3 ) 0 2 分因 a1, a2 , a3 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，固有x1x30 x2x10 x1 x2x30 4 分x2x30所以，向量組 b1 ,b2 , b3線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 5 分、這個(gè)世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能夠經(jīng)受得住嘲笑與批忍不斷往前走的人手中。第3頁(yè)共