1、適用標準文案利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點5（本小題滿分12分）132已知函數(shù)f(x)xaxbx,且f(1)0（I）試用含a的代數(shù)式表示b；（）求f(x)的單一區(qū)間；（）令a1，設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1x2)處獲得極值，記點(x1,f(x1),N(x2,f(x2)，證明：線段MN解法一：（I）依題意，得f(x)x22axb由f(1)12ab0得b2a1（）由（I）得f(x)1x3ax2(2a1)x3與曲線f(x)存在異于M、N的公共點；（文檔適用標準文案故f(x)x22ax2a1(x1)(x2a1)令f*(x)0，則x1或x12a當a1時，12a1當x變化時，f(x)與f(x)的變化

2、狀況以下表：x(,12a)(2a,1)(1)f(x)+f(x)單一遞加單一遞減單一遞加由此得，函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為(,12a)和(1,)，單一減區(qū)間為(12a,1)由a1時，12a1，此時，f(x)0恒建立，且僅在x1處f(x)0，故函數(shù)f(x)的單一區(qū)間為R當a1時，12a1，同理可得函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為(,1)和(12a,)，單一減區(qū)間為(1,12a)綜上：當a1時，函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為(,12a)和(1,)，單一減區(qū)間為(12a,1)；當a1時，函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為R；當a1時，函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為(,1)和(12a,)，單一減區(qū)間為(1,12a)（）當a1

3、時，得f(x)1x3x23xx33由f(x)2x30，得x11,x23由（）得f(x)的單一增區(qū)間為(,1)和(3,)，單一減區(qū)間為(1,3)所以函數(shù)f(x)在x11.x23處獲得極值。M(1,5).N(3,9)3所以直線MN的方程為y8x13y1x2x23x由3得x33x2x308x13文檔適用標準文案令F(x)x33x2x3易得F(0)30,F(2)30，而F(x)的圖像在(0,2)內(nèi)是一條連續(xù)不停的曲線，F(xiàn)(x)在(0,2)內(nèi)存在零點x0，這表示線段MN與曲線f(x)有異于M,N的公共點解法二：I）同解法一（）同解法一。（）當a1時，得f(x)1x3x23x，由f(x)x22x30，得x

4、11,x233x由（）得f(x)的單一增區(qū)間為(,1)和(3,)，單一減區(qū)間為(1,3)，所以函數(shù)f(x)在x11,x23處獲得極值，故M(51,),N(3,9)38所以直線MN的方程為yx13文檔適用標準文案y1x3x23x由3得x33x2x308x13解得x11,x21.x33x11x213x3y5,y11,y391323所以線段MN與曲線f(x)有異于M,N的公共點(1,11)314（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)x39x26xa2（1）對于隨意實數(shù)x，f(x)m恒建立，求m的最大值；（2）若方程f(x)0有且僅有一個實根，求a的取值范圍14.解：(1)f(x)3x29x63(x1)(

5、x2),因為x(,),f(x)m,即3x29x(6m)0恒建立,所以8112(6m)0,得m3，即m34的最大值為4(2)因為當x1時,f(x)0;當1x2時,f(x)0;當x2時,f(x)0;所以當x1時,f(x)取極大值f(1)5a;2當x2時,f(x)取極小值f(2)2a;故當f(2)0或f(1)0時,方程f(x)0僅有一個實根.解得a2或5a.223（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)x33ax1,a0求f(x)的單一區(qū)間；文檔適用標準文案若f(x)在x1處獲得極值，直線y=m與yf(x)的圖象有三個不一樣的交點，求m的取值范圍。23.分析：（1）f(x)3x23a3(x2a),當a0

6、時，對xR，有f(x)0,當a0時，f(x)的單一增區(qū)間為(,)當a0時，由f(x)0解得xa或xa；由f(x)0解得axa，當a0時，f(x)的單一增區(qū)間為(,a),(a,)；f(x)的單一減區(qū)間為(a,a)。（2）因為f(x)在x1處獲得極大值，所以f(1)3(1)23a0,a1.所以f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0解得x11,x21。由（1）中f(x)的單一性可知，f(x)在x1處獲得極大值在x1處獲得極小值f(1)3。因為直線ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個不一樣的交點，又f(3)171，聯(lián)合f(x)的單一性可知，m的取值范圍是(3,1)。12（2010年高考湖北卷文

7、科21）（本小題滿分14分）f(1)1，f(3)193，設(shè)函數(shù)（fx）=1x3ax2bxc，此中a0，曲線y（f在點P（0，（f）32x）0）處的切線方程為y=1（）確立b、c的值（）設(shè)曲線y（fx）在點（x1，（fx1）及（x2，（fx2）處的切線都過點（0,2）證明：當x1x2時，f(x1)f(x2)（）若過點（0,2）可作曲線y（fx）的三條不一樣切線，求a的取值范圍。文檔適用標準文案（11天津文）19（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)4x33tx26t2xt1,xR，此中tR（）當t1時，求曲線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程；（）當t0時，求f(x)的單一區(qū)間；（）證明：對

8、隨意的t(0,),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點（19）本小題主要考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式等基礎(chǔ)知識，考察運算能力及分類議論的思想方法，滿分14分。（）解：當t1時，f(x)4x33x26x,f(0)0,f(x)12x26x6f(0)6.所以曲線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程為y6x.（）解：f(x)12x26tx6t2，令f(x)0，解得xt或xt.2因為t0，以下分兩種狀況議論：（1）若t0,則tt,當x變化時，f(x),f(x)的變化狀況以下表：2文檔適用標準文案x,ttt,t22f(x)+-+f(x)所以，f(x

9、)的單一遞加區(qū)間是t,t,;f(x)的單一遞減區(qū)間是tt。,22（2）若t0,則tt，當x變化時，f(x),f(x)的變化狀況以下表：x2,tt,tt,22f(x)+-+f(x)所以，f(x)的單一遞加區(qū)間是,tt,;fx的單一遞減區(qū)間是tt22（）證明：由（）可知，當t0時，f(x)在0,tt內(nèi)內(nèi)的單一遞減，在,22單一遞加，以下分兩種狀況議論：（1）當t1,2時，f(x)在（0，1）內(nèi)單一遞減，2即tf(0)t10,f(1)6t24t3644230.所以對隨意t2,),f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。（2）當0t即0t2時，f(x)在0,內(nèi)單一遞減，在t,1內(nèi)單一遞加，1,t222若

10、t(0,1,f17t3t17t30.244f(1)6t24t36t4t32t30.所以f(x)在t,1內(nèi)存在零點。2文檔適用標準文案若t(1,2),ft7t3t17t310.244f(0)t10所以f(x)在0,t內(nèi)存在零點。2所以，對隨意t(0,2),f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。綜上，對隨意t(0,),f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。10.（16分）若函數(shù)yf(x)在xx0處獲得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)yf(x)的極值點。已知a，b是實數(shù)，1和是函數(shù)f(x)x3ax2bx的兩個極值點1（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)f(x)2，求g(x)的極值點

11、；（3）設(shè)h(x)f(f(x)c，此中c2，2，求函數(shù)yh(x)的零點個數(shù)【答案】解：（1）由f(x)x3ax2bx，得f(x)3x22axb。1和1是函數(shù)f(x)x3ax2bx的兩個極值點，f(1)32ab=0，f(1)32ab=0，解得a=0，b=3。（2）由（1）得，f(x)x33x，g(x)f(x)2=x33x2=x22，解得x1=x2=1，x3=2。1x當x2時，g(x)0；當2x0，x=2是g(x)的極值點。當2x1時，g(x)0，x=1不是g(x)的極值點。g(x)的極值點是2。（3）令f(x)=t，則h(x)f(t)c。文檔適用標準文案先議論對于x的方程f(x)=d根的狀況：d

12、2,2當d=2時，由（2）可知，f(x)=2的兩個不一樣的根為I和一2，注意到f(x)是奇函數(shù)，f(x)=2的兩個不一樣的根為一和2。當d0，f(1)d=f(2)d=2d0，于是f(x)是單一增函數(shù)，進而f(x)f(2)=2。此時f(x)=d在2，無實根。當x1，2時f(x)0，于是f(x)是單一增函數(shù)。又f(1)d0，y=f(x)d的圖象不中斷，f(x)=d在（1,2）內(nèi)有獨一實根。同理，f(x)=d在（一2，一I）內(nèi)有獨一實根。當x1，1時，f(x)0，f(1)d0，y=f(x)d的圖象不中斷，f(x)=d在（一1，1）內(nèi)有獨一實根。所以，當d=2時，f(x)=d有兩個不一樣的根x1，x2

13、知足x1=1，x2=2；當d2時f(x)=d有三個不一樣的根x3，x1，x5，知足xi2，i=3,4,5?，F(xiàn)考慮函數(shù)yh(x)的零點：(i）當c=2時，f(t)=c有兩個根t1，t2，知足t1=1，t2=2。而f(x)=t1有三個不一樣的根，f(x)=t2有兩個不一樣的根，故yh(x)有5個零點。(11）當c2時，f(t)=c有三個不一樣的根t3，t4，t5，知足ti2，i=3,4,5。而f(x)=tii=3,4,5有三個不一樣的根，故yh(x)有9個零點。文檔適用標準文案綜上所述，當c=2時，函數(shù)yh(x)有5個零點；當c2時，函數(shù)h(x)有9個零點?！究键c】函數(shù)的觀點和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！?/p>

14、分析】（1）求出yf(x)的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)1和1是函數(shù)yf(x)的兩個極值點代入列方程組求解即可。（2）由（1）得，f(x)x33x，求出g(x)，令g(x)=0，求解議論即可。（3）比較復(fù)雜，先分d=2和d2議論對于x的方程f(x)=d根的狀況；再考慮函數(shù)yh(x)的零點。（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)axsinx3(aR),且在,0,上的最大值為3，222（1）求函數(shù)f(x)的分析式；判斷函數(shù)f(x)在（0，）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明?？键c：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)與方程。難度：難。剖析：此題考察的知識點為導(dǎo)數(shù)的計算，利用函數(shù)與方程的思想解決根個數(shù)的問題。解答：I）33上恒建立，且能取到等號f(x)a

15、xsinx在0,222g(x)xsinx在0,上恒建立，且能取到等號2a2g(x)max2ag(x)sinxxcosx0yg(x)在0,上單一遞加22ag()a1f(x)xsinx3（lfxlby）222文檔適用標準文案（II）f(x)xsinx3h(x)f(x)sinxxcosx2當x0,時，f(x)0yf(x)在(0,上單一遞加2332f(0)f()0yf(x)在(0,上有獨一零點2222當x,時，h(x)2cosxxsinx0f(x)當x,上單一遞減222f()f()20存在獨一x0(,)使f(x0)022f(x)0 xx0,f(x)0 x0 x2得：f(x)在,x0)上單一遞加，(x0

16、,上單一遞減23f()0,f()022得：x,x0時，f(x)0，2xx0,時，f(x0)f()0，yf(x)在x0,上有獨一零點由得：函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)有兩個零點。1已知函數(shù)f(x)ex,xR.()求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程;()證明:曲線y=f(x)與曲線y1x2x1有獨一公共點.2()設(shè)ab,比較fab與f(b)f(a)的大小,并說明原因.2ba【答案】解:()f(x)的反函數(shù)g(x)lnx,則y=g(x)過點(1,0)的切線斜率k=g(1).g(x)1kg(1)1.過點(1,0)的切線方程為:y=x+1x1()證明曲線y=f(x)與曲線yx2x1有獨

17、一公共點,過程以下.1x221x2令h(x)f(x)x1exx1,xR,則22h(x)exx的導(dǎo)數(shù)h(x)ex1,且，01,h(x)h(0)0h(0)0,h(0)此,文檔適用標準文案當x0時h(x)0yh(x)單一遞減;當x0時h(x)0yh(x)單一遞加yh(x)h(0)0,所以yh(x)在R上單一遞加，最多有一個零點x0所以,曲線y=f(x)與曲線y1x2x1只有獨一公共點(0,1).(證畢)2()f(a)f(b)f(b)f(a)(ba2)f(a)(ba2)f(b)設(shè)2ba2(ba)(ba2)ea(ba2)eb(ba2)(ba2)ebaa2(ba)2(ba)e令g(x)x2(x2)ex,x

18、0,則g(x)1(1x2)ex1(x1)ex.g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)(1x1)exxex0,所以g(x)在（0，）上單一遞加,且g(0)0.所以g(x)0，g(x)在(0,)上單一遞加,而g(0)0,所以在(0,)上g(x)0.當x0時，g(x)x2(x2)ex0且ab,(ba2)(ba2)ebaea02(ba)所以當a4b2b1b,f(0)1b,1所以存在x1(2b,0),x2(0,2b),使得f(x1)f(x2)b.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(,0)和(0,)上均單一,所以當b1時曲線yf(x)與直線b有且只有兩個不一樣交點.綜上可知,假如曲線yf(x)與直線yb有且只有兩個不一樣交點,那么b的取值范圍是(1,).a已知函數(shù)f(x)x1(aR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).ex(1)若曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線平行于x軸,求a的值;求函數(shù)f(x)的極值;(3)當a1的值時,若直線l:ykx1與曲線yf(x)沒有公共點,求k的最大值.【答案】解:()由fxx1a,得fxa.ex1ex又曲線yfx在點1,f1處的切線平行于x軸,得f10,即1a0,解得ae.e()fx1ax,e當a0時,fx0,fx為,上的增函數(shù),所以函數(shù)fx無極值.文檔適用標準文案