1、選修45不等式選講最新考綱：1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并認(rèn)識(shí)以下不等式建立的幾何意義及取等號(hào)的條件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下種類的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|了.解柯西不等式的幾種不一樣形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明.4.經(jīng)過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題認(rèn)識(shí)證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、剖析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)概括法1含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)b0時(shí)等號(hào)建立()(2)對(duì)|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)建立

2、()(3)|axb|c(c0)的解等價(jià)于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，則x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x1的解集是()Ax|0 x2Bx|1x2Cx|0 x1Dx|1x3分析解法一：x1時(shí)，知足不等關(guān)系，清除C、D、B，應(yīng)選A.1x1，x，2解法二：令f(x)則f(x)1的解集為x|0 x2113x，x2，答案A3設(shè)|a|1，|b|2B|ab|ab|2C|ab|ab|2D不可以比較大小分析|ab|ab|2a|2.答案B4若a，b，c(0，)，且abc1，則abc的最大值為()A1B2D2分析2(1a1b1c)2212123.(abc

3、)(1)(abc)1當(dāng)且僅當(dāng)abc3時(shí)，等號(hào)建立(abc)23.故abc的最大值為3.故應(yīng)選C.答案C5若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3建立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_分析利用數(shù)軸及不等式的幾何意義可得x到a與到1的距離和小于3，所以a的取值范圍為2a4.答案2a4考點(diǎn)一含絕對(duì)值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步驟是：(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根(2)把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個(gè)區(qū)間(3)在所分區(qū)間上，去掉絕對(duì)值符號(hào)構(gòu)成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出它們的解集(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集解絕對(duì)值不等式的重點(diǎn)是適合的去掉

4、絕對(duì)值符號(hào)(1)(2015山東卷)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4)D(1,5)湖南卷若對(duì)于的不等式的解集為51(2)(2014xx)|ax2|333_.解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：“脫掉”絕對(duì)值符號(hào)；重點(diǎn)點(diǎn)：利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行分類議論分析(1)當(dāng)x1時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，明顯建立，所以此時(shí)不等式的解集為(，1)；當(dāng)1x5時(shí)，不等式可化為x1(x5)2，即2x62，解得x5時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，明顯不建立，所以此時(shí)不等式無(wú)解綜上，不等式的解集為(，4)應(yīng)選A.(2)|ax2|3，1ax0時(shí)，axa，與已知條件不符；當(dāng)a0時(shí)，xR

5、，與已知條件不符；1當(dāng)a0時(shí)，axa，又不等式的解集為x3x3，故a3.51答案(1)A(2)3用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：(1)求零點(diǎn)；(2)劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包括1,2，求a的取值范圍2x5，x2，解(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)1，2x3，2x5，x3.當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2xc或|xa|xb|k的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：絕對(duì)值的幾何意義；

6、重點(diǎn)點(diǎn)：把恒建立問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪祮?wèn)題分析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a211171173，解得44.2a2a即實(shí)數(shù)a的取值范圍是117，117.44(2)解法一：依據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，則原不等式等價(jià)于PAPBk恒建立AB3，即|x1|x2|3.故當(dāng)k3時(shí)，原不等式恒建立解法二：令y|x1|x2|，3，x1，則y2x1，1xk恒建立，從圖象中能夠看出，只需k3即可故k3知足題意17117答案(1)1(2)(，3)4，4解含參數(shù)的不等式存在性問(wèn)題，只需求出存在知足條件的x即可；不等式的恒建立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)變?yōu)樽钪祮?wèn)題，即f(x)f(x)max

7、，f(x)a恒建立acd，則abcd；(2)abcd是|ab|cd得(ab)2(cd)2.所以abcd.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得abcd.若abcd，則(ab)2(cd)2，即ab2abcd2cd.因?yàn)閍bcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.所以|ab|cd是|ab|cd|的充要條件剖析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不可以使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用剖析法來(lái)找尋證明門路，使用剖析法證明的重點(diǎn)是推理的每一步一定可逆對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2014

8、新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1.證明：1；(1)abbcac3a2b2c2(2)bca1.證明2b22，2c22，2a22得2b2c2(1)由aabbbcccaaabbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.1所以3(abbcca)1，即abbcca.3a2b2c2(2)因?yàn)閎b2a，cc2b，aa2c，a2b2c2故bca(abc)2(abc)，a2b2c2即bcaabc.a2b2c2所以bca1.方法例律總結(jié)方法技巧1絕對(duì)值不等式求解的根本方向是去除絕對(duì)值符號(hào)2絕對(duì)值不等式在求與絕對(duì)值運(yùn)算相關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)需靈巧運(yùn)用，同時(shí)還要注意等號(hào)建立的條件3在

9、證明不等式時(shí)，應(yīng)依據(jù)命題供給的信息選擇適合的方法與技巧如在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)睛1對(duì)含有參數(shù)的不等式求解時(shí)，分類要完好2應(yīng)用基本不等式和柯西不等式證明時(shí)要注意等號(hào)建立的條件課時(shí)追蹤訓(xùn)練(七十)一、填空題1不等式|2x1|3的解集為_分析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)k_.分析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|2的解集為_1分析當(dāng)x2時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)2，即3x22113，此時(shí)3x2.當(dāng)2x1時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)2，即

10、x0，12此時(shí)2x0.當(dāng)x1時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)2，即3x2，x3，此時(shí)22不等式無(wú)解，綜上，原不等式的解為3x0，即原不等式的解集為3，0.答案2，034已知對(duì)于x的不等式|x1|x|k無(wú)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_分析|x1|x|x1x|1，當(dāng)k1時(shí)，不等式|x1|x|k無(wú)解，故k1.答案(，1)5(2015西安統(tǒng)考)若對(duì)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|a無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_分析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，86(2015重慶卷)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a_.分析當(dāng)a1時(shí)，f(x)3|x1|0，不知足題意；當(dāng)a1時(shí)，f(

11、x)3x12a，xa，x12a，a13x12a，x1，3x12a，x1，時(shí)，f(x)x12a，1a，答案6或47若對(duì)于x的不等式|a|x1|x2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_分析f(x)|x1|x2|2x1x1，31x0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_分析若x1(x1)2對(duì)隨意的x1，)恒建立，即(a1)(a1)2x0對(duì)隨意的x1，)恒建立，所以a10，a10，舍去或?qū)﹄S意的x1，恒建立，解得a1.綜上，a12x，a0時(shí)，將不等式45aa整理，得a25a40，無(wú)解；當(dāng)a04時(shí)，將不等式5aa整理，得a25a40，則有a4或1a0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，41,0)答案(，41,

12、0)二、解答題13已知不等式2|x3|x4|2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式即為2|x3|x4|2，若x4，則3x102，x4，舍去；若3x4，則x22，3x4；8若x3，則103x2，3x3.8綜上，不等式的解集為x3x4.(2)設(shè)f(x)2|x3|x4|，則3x10，x4，f(x)x2，3x1，a2，即a的取值范圍為2，.14(2015新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，

13、f(x)1化為|x1|2|x1|10.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x40，無(wú)解；2當(dāng)1x0，解得3x0，解得1x1的解集為x3x2.x12a，xa.圍成的三角形的三個(gè)極點(diǎn)分別為A2a1，0，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC32的面積為3(a1)2.2由題設(shè)得3(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，)15設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)假如xR，f(x)2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|，2x，x1.作出函數(shù)f(x)|x1|x1|的圖象由圖象可知，不等式f(x)3的解集為3x或x.2(2)若a1，f(x)2|x1|，不知足題設(shè)條件；2xa1，xa，若a1，f(x)1a，ax1，f(x)a1，1x0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；11(2)求4a29b2c2的最小值解(1)因?yàn)閒(x