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清華大學(xué)本科生考試試題專用紙 考試課程 多元微積分 (A) 2009年 6填空題（每空3分，共15題）（請(qǐng)將答案直接填寫在橫線上?。?. 2. 3. 0 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.計(jì)算題1. 計(jì)算二重積分，其中是由兩條雙曲線，和兩條拋物線，所圍成的閉區(qū)域。解：作變換， 。 .3分 該變換將平面上的區(qū)域變成平面上的區(qū)域。是正方形。容易求得。3分于是 3分 1分2. 已知曲線積分其中為平面上繞原點(diǎn)一周的任意正向閉曲線，是與無關(guān)的常數(shù)，是非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)且，試求出及常數(shù)A. 解 設(shè) 為任意一條不含原點(diǎn)的正向閉曲線， 取連接與的交點(diǎn)，它和與均構(gòu)成包含原點(diǎn)的正向閉曲線，由題意，有 兩式相減得 6分 取L為正向 4分3. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，已知，求積分的值。解：交換積分次序，得于是4. 計(jì)算，其中是平面與柱面的交線，從軸正向看去，為逆時(shí)針方向。解：記為平面上所圍成部分的上側(cè)，為在坐標(biāo)面上的投影.由斯托克斯公式得 證明題1.(8分) 設(shè)是正實(shí)數(shù)且，是上的連續(xù)函數(shù)，且。證明：微分方程的任一解滿足。證明：非齊次方程的通解為 其中 ， .3分 .3分顯然，。 由已知，故， .2分即微分方程的任一解滿足。2.（7分）設(shè)函數(shù)，且滿足 ， 。證明：區(qū)域的體積，其中為不包含原點(diǎn)的單連通域。證明：利用g

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