1、3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用數(shù)學(xué) 北京專(zhuān)用考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo), f (x)是f(x)的導(dǎo)數(shù),則f (x)0f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增f (x)0是f(x)在(a,b)上為遞增函數(shù)的充分不必要條件;f (x)0,即并不是在定義域中的任意一點(diǎn)處都滿(mǎn)足 f (x)0.(3)研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論.考向突破考向一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1(2019北京海淀一模文,19改編)求函數(shù)f(x)=x3-x2+6x-1在(0,+)上的單調(diào)區(qū)間.解析解法一(解不等式法):函數(shù)的定義域?yàn)?0,+),f (x)=x

2、2-5x+6=(x-2)(x-3),由f (x)0,得0 x3,由f (x)0,得2x3.所以f(x)在(0,+)上的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),(3,+),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,3)解法二(列表法):函數(shù)的定義域?yàn)?0,+),f (x)=x2-5x+6=(x-2)(x-3),令f (x)=0,得x=2或x=3.當(dāng)x變化時(shí), f (x), f(x)的變化情況如下表:所以f(x)在(0,+)上的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),(3,+),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,3).x(0,2)(2,3)(3,+)f (x)+-+f(x)考向二由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例2(2019北京海淀一模文,20改編)已知函數(shù)f(

3、x)=ex-x2-ax(aR)是R上的增函數(shù),求a的取值范圍.解析由題意得f (x)=ex-x-a,因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù),所以f (x)0恒成立,即f (x)的最小值f (x)min0.令g(x)=f (x)=ex-x-a(xR),則g(x)=ex-1.在(-,0)上,g(x)0, f (x)單調(diào)遞增.所以f (x)min=f (0)=1-a.所以1-a0,即a1.所以a的取值范圍是(-,1.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極(最)值考向基礎(chǔ)1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn),都有f(x)f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,記作f(x)極

4、小值=f(x0).極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).(1)如果在x0附近的左側(cè)f (x)0,右側(cè)f (x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f (x)0,那么f(x0)是極小值;(3)如果在x0附近的左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值同號(hào),那么 f(x0)不是極值利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟(1)求f (x);(2)求方程f (x)=0的根;(3)判斷f (x)在方程的根的左、右兩側(cè)值的符號(hào);(4)利用結(jié)論求出極值注:(1)在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi),函數(shù)的極值不一定唯一,在整個(gè)定義域內(nèi)可能有多個(gè)極大值和極小值;(2)極大值與極小值沒(méi)有必然關(guān)系,極大值可能比極小值還小;(3)導(dǎo)

5、數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)(例如:f(x)=x3,f (x)=3x2,當(dāng)x=0時(shí),f (0)=0,但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn));(4)對(duì)于處處可導(dǎo)的函數(shù),極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必為零.2.函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值:在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x),在a,b上必有最大值與最小值;但在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值.(2)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下:(i)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(ii)將f(x)的各極值與f(a)、 f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.【知識(shí)

6、拓展】1.若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷,則f(x)在a,b上一定有最值.2.若函數(shù)f(x)在a,b上是單調(diào)函數(shù),則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn).考向突破考向一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例3(2015陜西文,15,5分)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.解析由y=xex可得y=ex+xex=ex(x+1),從而可得y=xex在(-,-1)上遞減,在(-1,+)上遞增,所以當(dāng)x=-1時(shí),y=xex取得極小值-e-1,因?yàn)閥|x=-1=0,故切線(xiàn)方程為y=-e-1,即y=-.答案y=- 考向二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例

7、4(2018江蘇,11,5分)若函數(shù)f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則f(x)在-1,1上的最大值與最小值的和為.解析f(x)=2x3-ax2+1,f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a0,則x0時(shí), f (x)0,f(x)在(0,+)上為增函數(shù).又f(0)=1,f(x)在(0,+)上沒(méi)有零點(diǎn),a0.當(dāng)0 x時(shí), f (x)時(shí), f (x)0, f(x)為增函數(shù),x0時(shí), f(x)有極小值,為f=-+1.f(x)在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),f=0,a=3.f(x)=2x3-3x2+1,則f (x)=6x(x-1).當(dāng)x變化時(shí), f (x),

8、f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f (x) + - f(x)-4增1減0f(x)在-1,1上的最大值為1,最小值為-4.最大值與最小值的和為-3.答案-3考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用考向基礎(chǔ)生活中的優(yōu)化問(wèn)題(1)生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題,這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題,導(dǎo)數(shù)在這一類(lèi)問(wèn)題中有著重要的作用,它是求函數(shù)最大(小)值的有力工具.(2)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路: 考向突破考向用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題例5如圖,將一張16 cm10 cm的長(zhǎng)方形紙片剪下四個(gè)全等的小正方形,使得剩余部分經(jīng)過(guò)折疊能糊成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒,則這個(gè)紙盒的最大容積是cm3. 解

9、析設(shè)剪下的四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為x cm,則糊成的長(zhǎng)方體紙盒長(zhǎng)為(16-2x)cm,寬為(10-2x)cm,高為x cm,其體積為V(x)=(16-2x)(10-2x)x=4x3-52x2+160 x(0 x0,得0 x2,由V(x)0,得2x5,所以函數(shù)V(x)=4x3-52x2+160 x(0 x0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f (x)0.令f (x)=0,得x=a.當(dāng)a0時(shí), f (x)0, f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;當(dāng)0a時(shí), f (x), f(x)隨x的變化情況如下表:所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,a),單調(diào)遞減區(qū)間是(a,).綜上所述,當(dāng)a0時(shí), f(x)

10、在(0,)上單調(diào)遞減;當(dāng)a時(shí), f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;x(0,a)a(a,)f (x)+0-f(x)極大值當(dāng)0a0時(shí), f(x)的定義域?yàn)?0,+).當(dāng)x變化時(shí), f (x), f(x)變化情況如下表:此時(shí)f(x)有極大值f=,無(wú)極小值.當(dāng)a0時(shí), f(x)的定義域?yàn)?-,0).當(dāng)x變化時(shí), f (x), f(x)變化情況如下表:xf (x)+0-f(x)極大值xf (x)-0+f(x)極小值此時(shí)f(x)有極小值f=,無(wú)極大值.方法3利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式若證明f(x)g(x),x(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),如果能證明F(x)在(a,b)

11、上的最大值小于0,即可證明f(x)g(x),x(a,b).2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題“恒成立”與“存在性”問(wèn)題可看作一類(lèi)問(wèn)題,一般都可通過(guò)求相關(guān)函數(shù)的最值來(lái)解決,如:當(dāng)f(x)在xD上存在最大值和最小值時(shí),若f(x)g(a)對(duì)于xD恒成立,應(yīng)求f(x)在xD上的最小值,將原條件轉(zhuǎn)化為f(x)ming(a),若f(x)g(a)對(duì)于xD恒成立,應(yīng)求f(x)在xD上的最大值,將原條件轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(a);若存在xD,使得f(x)g(a)成立,應(yīng)求f(x)在xD上的最大值,將原條件轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(a),若存在xD,使得f(x)g(a)成立,應(yīng)求f(x)在xD上的最小值,將原條件

12、轉(zhuǎn)化為f(x)ming(a).例3(2020屆北京海淀期中,19)已知函數(shù)f(x)=.(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;(2)求證:f(x)1,ln x0.又因?yàn)閑x0, 所以f (x)0在區(qū)間(0,1)上恒成立,所以f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)證明:由題意可得x(0,+).由(1)知f (x)=,令g(x)=-ln x(x0), 則g(x)=-0,g(e)=-10,所以存在唯一實(shí)數(shù)x0,使得g(x0)=0,即-ln x0=0,其中x0(1,e).當(dāng)x變化時(shí), f (x), f(x)的變化如表:所以f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值,也是最大值,所

13、以f(x)max=f(x0)=.因?yàn)?ln x0,所以f(x)max=.因?yàn)閤0(1,e),x(0,x0)x0(x0,+)f (x)+0-f(x)極大值所以f(x)max=,所以f(x)0時(shí),討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解題導(dǎo)引 解析(1)當(dāng)a=0時(shí), f(x)=xsin x+cos x,x-,f (x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.當(dāng)x在區(qū)間-,上變化時(shí), f (x), f(x)的變化情況如表:所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,; f(x)的單調(diào)減區(qū)間為,.(2)任取x-,因?yàn)閒(-x)=(-x)sin(-x)+cos(-x)+a(-x)2=xsin x+cos x+ax2=f(x),所以f(x)是偶x-0f (x) +0-0+0- f(x)-1極大值極小值極大值-1函數(shù).f (x)=ax+xcos x=x(a+cos x).當(dāng)a1時(shí),a+cos x0在0,上恒成立,所以x0,時(shí), f (x)0,所以f(x)在0,上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒(0)=1,所以f(x)在0,上無(wú)零點(diǎn).又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(x)在-,上無(wú)零點(diǎn).當(dāng)0a1時(shí),令f (x)=0,得cos x=-a.由-1-a0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(x0,時(shí), f (x)1, f()=a2-1,所以當(dāng)a2-10,即a1時(shí), f(x)在0,上無(wú)零點(diǎn).由f(x)是偶函數(shù)