1、2020年數(shù)學(xué)中考重難點(diǎn)打破之圓的綜合題2020年數(shù)學(xué)中考重難點(diǎn)打破之圓的綜合題46/462020年數(shù)學(xué)中考重難點(diǎn)打破之圓的綜合題圓的綜合題1.如圖,在矩形ABCD中,AB=23,AD=3,點(diǎn)P為邊AD或CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以BP為直徑作半圓,圓心為點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OFAD,交CD于點(diǎn)F,交半圓O于點(diǎn)E(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),求EF的長;(2)當(dāng)半圓O與CD相切時(shí).求AP的長;求半圓O與正方形重疊部分的面積.第1題圖解:(1)在矩形ABCD中,AB=23,AD=3,BD=21當(dāng)P和D重合時(shí),BD就是直徑OB=OD,OFADBC,OF=1BC=322OE=1BD=21,22EF=OEOF=2

2、13；22(2)如解圖,當(dāng)E點(diǎn)和F點(diǎn)重合時(shí),半圓O與CD相切設(shè)AP=a,則PD=3a點(diǎn)O是PB的中點(diǎn),OEBCAD,1在四邊形PDCB,OE=PDBC3a33a222在RtABP中,依照勾股定理獲取P=AB2AP212a2,12a2=3a,22解得a=2；當(dāng)點(diǎn)P、C重合時(shí),半圓O與CD相切于點(diǎn)C,點(diǎn)C、P重合,AP=BD=21.因此,當(dāng)半圓O和CD相切時(shí),AP=2或21；當(dāng)半圓O與CD相切于點(diǎn)C時(shí),重疊面積為0;當(dāng)半圓O與CD相切于點(diǎn)E時(shí),如解圖?,BC與BP交于點(diǎn)Q,連接OQ.此時(shí)AP=2,在矩形ABCD中,AB=23,A=90,tanABP=AP23,AB233ABP=30,OB=OQ=O

3、P=AP=2,CBP=90ABP=60,OB=OQ,OBQ是等邊三角形,BOQ=60,POQ=120,3半圓O與正方形重疊部分的面積=sOBQS扇形POQ=OP2120OP2=34.36032第1題解圖2.如圖,將RtABC的極點(diǎn)A放在半圓O上,現(xiàn)從AC與半圓O相切于點(diǎn)A(如圖)的地址開始,將ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,旋轉(zhuǎn)后AC、AB分別與半圓O交于點(diǎn)E、F,連接EF(如圖)已知BAC=60,C=90,AC=6,半圓O的直徑為8(1)求?的長；EF(2)當(dāng)=30時(shí),求證:BC與O相切;(3)求點(diǎn)O到BC的距離x的取值范圍.第2題圖解:(1)如解圖,連接OE、OFBAC=60,EOF

4、=120,?120(82)8EF的長=180；3(2)證明:如解圖,BAC=60,=30,RtABC的斜邊AB經(jīng)過圓心O,作OGBC于點(diǎn)G3BAC=60,C=90,AC=6,AB=12,O的直徑為8,AO=4,BO=8,OGBC,C=90,OGAC,OGBO,即OG8,ACBA612解得OD=4,即OD是O的半徑,BC與O相切；(3)C=90,當(dāng)點(diǎn)C在直徑AD上時(shí),點(diǎn)O到BC的距離最小為x=64=2；當(dāng)點(diǎn)C在DA的延長線上時(shí),點(diǎn)O到BC的距離最大為x=64=10,點(diǎn)O到BC的距離x的取值范圍為2x10.第2題解圖3.如圖,四邊形ABCD是正方形,且AB=8,點(diǎn)O與B重合,以O(shè)為圓心,作半徑為5

5、的半圓O,交BC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,交AB延長線于點(diǎn)G,連接EF、AC,M是半圓O上任一點(diǎn).發(fā)現(xiàn):AM的最大值為,AC與EF的地址關(guān)系是,S陰影=.將半圓O繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為.4思慮:(1)若點(diǎn)C落在半圓O的直徑GF上,求圓心O到AB的距離；(2)若=90,求半圓O落在正方形內(nèi)部的弧長；研究:在旋轉(zhuǎn)過程中,若半圓O與正方形的邊長相切,求點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離.343(注:sin37=,sin53=,tan37=)554第3題圖解:發(fā)現(xiàn):13；平行；64;【解法提示】當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí),AM獲取最大值,為AG=ABBG=13,在正方形ABCD中,BAC=45,ABC=90,在半圓O中,BF=

6、BE,BFE=BEF=190=45=BAC,ACEF,2在半圓O中,扇形BEF、扇形BFG均為1圓,面積相等,4S陰影=S正方形ABCD=AB2=64.思慮:(1)如解圖,過點(diǎn)O作OQAB于點(diǎn)Q.四邊形ABCD是正方形,ABC=90,OQBC,OFCF,OQBCCF=82289,5894089OQ889圓心O到AB的距離為4089;895(2)如解圖,設(shè)半圓O交AD于點(diǎn)N,過點(diǎn)O作OHAD于點(diǎn)H.四邊形ABCD是正方形,DAB=90.半圓O繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為90,OFA=90,四邊形HAFO是矩形,AH=OF=5,OH=AF=ABBF=3,AHOF,sinHNO=OH3ON5NOF=H

7、NO=37,半圓O落在正方形內(nèi)部的弧長:?3753718036研究:如解圖,由思慮(2)適合半圓O與AB相切時(shí),切點(diǎn)為F,A到切點(diǎn)的距離為AF=3;如解圖當(dāng)半圓O與CD相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為R,連接OR,并延長RO交AB于點(diǎn)T,連接AR,則ORC=90.DCAB,OTB=90,四邊形RCBT是矩形,RT=CB=8,OT=85=3,FT=52324,AT=ABBT=AB(BFFT)=7,AR=RT2AT26449113.6第3題解圖當(dāng)半圓O與AD相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為P,如解圖,連接OP,過點(diǎn)F作FSPO于點(diǎn)S,則四邊形PAFS是矩形,PS=AF=3,AP=SF,SF=5222AP=21.21,綜上所述,點(diǎn)

8、A到切點(diǎn)的距離為3或113或21.4.如圖,已知扇形BOG的圓心為O,半徑為2,圓心角為270,AB為直徑,CD為弦AB與CD交于點(diǎn)M,將?沿著CD翻折后,點(diǎn)A與圓心O重合,延長OA至P,使AP=OA,CD連接PC(1)求CD的長；(2)求證:PC是扇形BOG的切線；(3)在PC延長線上有一點(diǎn)Q,連接QG交AB于點(diǎn)E,交?于點(diǎn)F(F與B、C不重BC合)求GE?GF的值.第4題圖(1)解:如解圖,連接OC,CD?沿CD翻折后,點(diǎn)A與圓心O重合,7OM=1OA=12=1,CDOA,22OC=2,CD=2CM=2OC2OM22221223;證明:PA=OA=2,AM=OM=1,CM=1CD=3,2C

9、MP=OMC=90,PC=CM2MP22(3)23223,OC=2,PO=22=4,PC2OC2=(23)222=16=PO2,PCO=90,PC是O的切線;(3)解:如解圖,延長GO交O于點(diǎn)H,連接FH.扇形BOG的圓心為O,圓心角為270,GOE=90,HFG=90,且OGE=FGH,OGEFGH,OGGE,GFGHGE?GF=OG?GH=24=8.第4題解圖85.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是半圓上不與點(diǎn)A、B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BP到點(diǎn)C，使PCPB，D是AC的中點(diǎn)，連接PD、PO（1）求證：CDPPOB；（2）填空：若AB4，則四邊形AOPD的最大面積為；連接OD，當(dāng)PBA的度數(shù)為

10、時(shí)，四邊形BPDO是菱形第5題圖1）證明:PCPB，D是AC的中點(diǎn)，DPAB，DP1AB，CPDPBO，2BO1AB，2DPBO，在CDP與POB中，DPBOCPDPBO，PCPBCDPPOB（SAS）；（2）解:4；【解法提示】當(dāng)四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時(shí)有最大面積，9（42）（42）224.60【解法提示】如解圖，DPAB，DPBO，四邊形BPDO是平行四邊形，四邊形BPDO是菱形，PBBO，POBO，PBBOPO，PBO是等邊三角形，PBA的度數(shù)為60第5題解圖6.如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，O是AD的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心在AD的下方作半徑為3的半圓O，交AD于點(diǎn)E、

11、F思慮：連接BD，交半圓O于點(diǎn)G、H，求GH的長；研究：將線段AF連帶半圓O繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，獲取半圓O，設(shè)其直徑為EF，旋轉(zhuǎn)角為（0180）（1）設(shè)F到AD的距離為m，當(dāng)m7時(shí)，求的取值范圍；2（2）若半圓O與線段AB、BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為R，求?的長FR103，cos413，tan373，結(jié)果保留）（sin49444第6題圖備用圖解:思慮：如解圖，過點(diǎn)O作ONBD于點(diǎn)N，HNGN，四邊形ABCD是矩形，ADBC8，BAD90，又AB6，BD10，BADOND90，ADBNDO，ADBNDO，BDAB，ODONON12，5連接OH，OH3，HN9，5GH2HN18；5研究：（1）如解圖，過點(diǎn)

12、F作FQAD于點(diǎn)Q，當(dāng)F到AD的距離為7時(shí)，有FQ7，221171此時(shí)sin2，72因此30，如解圖，當(dāng)點(diǎn)Q落在DA延長線時(shí)，可求得150，因此當(dāng)m7時(shí)，的取值范圍為230150；（2）如解圖，當(dāng)半圓O與AB相切，切點(diǎn)為R，連接OR，ORA90，sinOAR3，4OAR49，AOR41，F(xiàn)OR139，?1393139；FR=60180如解圖，當(dāng)半圓O與BC相切，切點(diǎn)為R，過點(diǎn)O作OPAB于點(diǎn)P，連接OR，ORB90，易得四邊形PBRO是矩形，ORBP3，AP3，sinAOP3，4POA49，ROF41，?41341FR180=6012圖圖圖圖圖第6題解圖7.已知扇形OAB的半徑為8，AOB90

13、，點(diǎn)P是OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），如圖，將扇形沿的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是弧ABPQ折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A，連接AA.發(fā)現(xiàn)：在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，AAO向來為_，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的最小距離為_；思慮：（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，求?的長；BQ（2）如圖，當(dāng)Q是?上的中點(diǎn)時(shí)，求tanAPQ的值.AB13圖圖圖第7題圖解:發(fā)現(xiàn)：90，454；思慮：（1）如解圖，連接OQ，依照題意可得OP1OQ，OPQ90，2PQOB，PQO30，QOB30，?3084；BQ的長32）如解圖，連接OQ，過點(diǎn)Q作QDOA于點(diǎn)D，Q是?上的中點(diǎn)，AOB90，AOQ45，ABDQODOQsinDOQ8242，2DPODO

14、P424，tanAPQDQ42222.DP42421圖圖第7題解圖148.如圖，在CDE中，DE32，D45，E75，點(diǎn)B在DC的延長線上，BC2，點(diǎn)A在射線DC的上方，ABDC，垂足為點(diǎn)B，且AB2，現(xiàn)以AB為直徑作半圓O發(fā)現(xiàn)：CDE的邊DC，點(diǎn)C到半圓O上的點(diǎn)的最小距離為最大距離為；將半圓O沿射線DC反方向平移，設(shè)平移距離為x思慮：（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，求半圓O與CDE重疊部分的面積；（2）當(dāng)直徑AB圓滿落在CDE內(nèi)部（含端點(diǎn)在界線）時(shí)，x的取值范圍是；研究：當(dāng)?與CDE的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍AB第8題圖備用圖解:發(fā)現(xiàn)：33，51，22；【解法提示】如解圖，過點(diǎn)E作EHCD于

15、點(diǎn)H在RtDEH中，DE32，D45，DDEH45，EHDH3，DEC75，CEH30，CH3，15CD33連接CO交半圓O于點(diǎn)M、連接AC則點(diǎn)C到半圓O上的點(diǎn)的最小距離為CMOCOM51，點(diǎn)C到半圓O上的點(diǎn)的最大距離為AC22思慮：（1）如解圖，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，半圓O與CDE重疊部分的面積S扇形OMCSOMCACEH，ACMCEH30，OMOC，OMCOCM30，COM120，半圓O與CDE重疊部分的面積S扇形OMC12012131OMCS3602233；4（2）如解圖，當(dāng)點(diǎn)A在線段CE上時(shí)，設(shè)BCa.ABEH，ABBC，EHCHa，3a23，3此時(shí)x223，3如解圖，當(dāng)點(diǎn)A在線段DE上

16、時(shí)，易知ABBD2，BH1，此時(shí)x33，16當(dāng)直徑AB圓滿落在CDE內(nèi)部（含端點(diǎn)在界線）時(shí)，x的取值范圍是2233x33；研究：如解圖，當(dāng)半圓O與DE相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N，連接ON、OD，在DB上取一點(diǎn)M，使得DMOM則易知ODNODM22.5，OMB45，OMDM2，BM1，BC33（21）232，此時(shí)x432，如解圖中，當(dāng)半圓O與CE相切于點(diǎn)N時(shí)，易知，3，此時(shí)x23OCBOCN60BC33?3x223或x43綜上所述，當(dāng)弧AB與CDE的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)2332或33x53圖圖圖圖圖圖第8題解圖179.如圖，四邊形ABCD是正方形，且AB8，點(diǎn)O與B重合，以O(shè)為圓心，作半徑長為5的半圓O，交B

17、C于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，交AB延長線于G點(diǎn)，M是半圓O上任意一點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：AM的最大值為，S陰影；如圖，將半圓O繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（0180）思慮：（1）若點(diǎn)C落在半圓O的直徑GF上，求圓心O到AB的距離；（2）若90，求半圓O落在正方形內(nèi)部的弧長；研究：在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓O與正方形的邊相切，求點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離34，tan373）（注：sin37，sin53545圖圖第9題圖解:發(fā)現(xiàn)：13，64；【解法提示】當(dāng)點(diǎn)M與G重合時(shí)，AM的值最大最大值為8513，觀察圖象可知：S陰影S正方形AB264思慮：（1）如解圖中，過點(diǎn)O作OQAB于點(diǎn)Q，四邊形ABCD是正方形，ABC90OQBC，OFF

18、C，OQBC18CF825289，589，OQ8OQ4089892）如解圖中，設(shè)半圓O交AD于點(diǎn)N，過O作OHAD于點(diǎn)H，連接ON，四邊形ABCD是正方形，DAB90半圓O繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為90，OFA90四邊形HAFO是矩形，AHOF，OHAFABBF3，AHOF，sinHNOOH3，ON5HNO37，HNONOF37，半圓O落在正方形內(nèi)部的弧長?3718537；NF518036180研究：由思慮（2）適合半圓O與AB相切時(shí)，切點(diǎn)為點(diǎn)F，A到切點(diǎn)的距離為AF3；如解圖中，當(dāng)半圓O與CD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為R，連接OR，并延長RO交AB于點(diǎn)T，ORC90，DCAB，OTF90，四邊形RCBT是矩形，RTCB8，OT853，F(xiàn)T52324，ATAFFT7，連接AR，ARRT2AT26449113，如解圖中，當(dāng)半圓O與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，連接OP，過點(diǎn)F作FSPO，19易得四邊形PAFS是矩形，PSAF3，APSF，SF22，AP21，5221綜上，點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離為3或113或21圖圖圖圖第9題解圖10.如圖，A45，ABC60，ABMN，BHMN于點(diǎn)H，BH8，點(diǎn)C在MN上，點(diǎn)D在AC上，DEMN于點(diǎn)E，半圓的圓心為點(diǎn)O，直徑DE6，G為?的中點(diǎn)，F(xiàn)是?上的動(dòng)點(diǎn)DEDE發(fā)現(xiàn)：CF的最小值是，CF的最大