1、學(xué)習(xí) - 好資料中國海洋大學(xué)試題答案學(xué)年第 2學(xué)期試題名稱： 熱力學(xué)與統(tǒng)計物理（ A）共 2頁第1頁專業(yè)年級：學(xué)號姓名授課教師名楊愛玲分數(shù)一填空題（共40 分）1 N 個全同近獨立粒子構(gòu)成的熱力學(xué)系統(tǒng)，如果每個粒子的自由度為r，系統(tǒng)的自由度為（Nr ）。系統(tǒng)的狀態(tài)可以用（2Nr）維 空間中的一個代表點表示。2 對于處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，如果系統(tǒng)所有可能的微觀狀態(tài)數(shù)為，則每一微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率為（1/? ），系統(tǒng)的熵為（ kln ?）。3玻色統(tǒng)計與費米統(tǒng)計的區(qū)別在于系統(tǒng)中的粒子是否遵從（泡利不相容原理）原理，其中（費米）系統(tǒng)的分布必須滿足0 fs 1。4玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)在滿足（經(jīng)典極限條件 (

2、 或 e - 1 ）條件時，可以使用玻爾茲曼統(tǒng)計。dUal d ll dall dalal d l5ll給出內(nèi)能變化的兩個原因，其中（）項描述傳熱， （）項描述做功。ll6 對粒子數(shù)守恒的玻色系統(tǒng)，溫度下降會使粒子的化學(xué)勢（升高 ）；如果溫度足夠低，則會發(fā)生（玻色愛因斯坦凝聚）。這時系統(tǒng)的能量 U 0（ 0），壓強 p0（ 0），熵 S0（ 0）。7已知粒子遵從經(jīng)典玻爾茲曼分布，其能量表達式為1 ( px 2py 2pz 2 ) ax 2bx2m，粒子的平均能量為（ 2kT b2/4a）。8當(dāng)溫度（很低 ）或粒子數(shù)密度（很大 ）時，玻色系統(tǒng)與費米系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)會很強。9 如果系統(tǒng)的分布函數(shù)

3、為 s，系統(tǒng)在量子態(tài)s 的能量為Es，用 s 和 Es 表示：系統(tǒng)的平均能量為（EsEs ），能量漲落為s（s ( EsE )2 ）（如寫成 E 2(E)2 也得分）。s10與宏觀平衡態(tài)對應(yīng)的是穩(wěn)定系綜，穩(wěn)定系綜的分布函數(shù) s 具有特點（ d s / dt=0或與時間無關(guān)等同樣的意思也得分），同時 s 也滿足歸一化條件。二計算證明題（每題10分，共 60 分）1假定某種類型分子（設(shè)粒子可以分辨）的許可能及為0， ， 2， 3，。， 而且都是非簡并的，如果系統(tǒng)含有6 個分子，問：（ 1）與總能量 3相聯(lián)系的分布是什么樣的分布？分布需要滿足的條件是什么？（ 2）根據(jù)公式alN !al 計算每種分布

4、的微觀態(tài)數(shù)? ；al ! ll（ 3）確定各種分布的概率。解：能級：1， 2， 3， 4， 能量值：0， ， 2， 3，簡并度：1，1，1，1， 分布數(shù)：a1,a2,a3,a4, 更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料分布 al 要滿足的條件為：alN6lallE 3l滿足上述條件的分布有：A： al5,0,0,1,0,.B： al4,1,1,0,0,.C： al3,3,0,0,0,.各分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為：所有分布總的微觀態(tài)數(shù)為：6!16;A1!5!B6!130;1!1!4!6!120C3!3!ABC6302056pAA /6/ 560.107;各分布對應(yīng)的概率為： pBB /30/ 560.536;

5、pCC /20/ 560.357;2表面活性物質(zhì)的分子在液面（面積為A）上做二維自由運動，可以看作二維理想氣體，設(shè)粒子的質(zhì)量為m，總粒子數(shù)為 N。（ 1）求單粒子的配分函數(shù)Z1；（ 2）在平衡態(tài)，按玻爾茲曼分布率，寫出位置在x 到 x dx， y 到 y dy 內(nèi)，動量在 pxxxyyy內(nèi)的分子數(shù) dN；到 p dp， p到 p dp3）寫出分子按速度的分布；4）寫出分子按速率的分布。解：（ 1）單粒子的配分函數(shù)1e2 m( px2 p y2 )Az12dxdydpx dpyh2 (2 mkT)h（ 2） dN e( ) dxdydpxdpyNedxdydpx dpyh2Z1h2m（ 3）將（

6、 1）代入（ 2），并對 dxdy積分，得分子按速度的分布為dNvN ()e2 kTmv2mv2（ 4）有（ 3）可得分子按速率的分布為：2 N (m)e 2kT vdvN ( m )e 2kT vdv2 kTkTm2 kT(v 2v2 ) dvdvyxyx3定域系含有N 個近獨立粒子，每個粒子有兩個非簡并能級1 0， 2 0 ，其中 0 大于零且為外參量y 的函數(shù)。求：1）溫度為 T 時處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之比，并說明在極端高溫和極端低溫時粒子數(shù)比的特點；2）系統(tǒng)的內(nèi)能和熱容量；3）極端高溫和極端低溫時系統(tǒng)的熵。解：（ 1）單粒子的配分函數(shù)為： Z1ele1e2e 0e0l更

7、多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料處于基態(tài)的粒子數(shù)為： N1Ne 1e0;Z1Nee 00處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為： N2N e2Ne0;Z1e 0e0溫度為 T 時處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之為：N2eN1e000ekT0ekT極端高溫時： kT ， N 2, 即處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)基本相同；N11極端低溫時： kT ， N 20 , 即粒子幾乎全部處于基態(tài)。N1ln Z1e0（ 2）系統(tǒng)的內(nèi)能： UNNln( e0e0 )N 0e0U1UN 02e0e 02熱容量： CV (2 (1)VkT)VkT2(e 0Te0ee00（ 3）極端高溫時系統(tǒng)的熵：Sk lnk ln 2NN

8、k ln 2極端低溫時系統(tǒng)的熵：S=04對弱簡并的非相對論費米氣體，求：（ 1）粒子數(shù)分布的零級近似f 0 與一級修正項f 1；（ 2）證明：與零級近似相比，粒子數(shù)的相對修正量和內(nèi)能的相對修正量均正比于e。解：費米氣體分布函數(shù)為：f1e11（ 1） f ee(1 e) ee 2 21 ee 22f0e， f11（2） D()dCV2 d1Nf1 D ( )de 22 CV 2 deNf 0 D () d1eCV 2dUf1D ()deUf0 D ( )d5金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數(shù)密度n，（ 1）簡述： T 0K 時電子氣體分布的特點，并說明此時化學(xué)勢 0 的意義；f0302 n

9、T=0K（ 2）證明： T 0K 時電子的平均能量5，簡并壓強 p00 ；15（ 3）近似計算：在室溫下某金屬中自由電子的熱容與晶格熱容之比。0（ 1）表示 T 0K 時電子的最能量。電子從 0 的能級開始，先占據(jù)低能級，然后占據(jù)高能級，遵00更多精品文檔學(xué)習(xí) - 好資料從泡利不相容原理。f = 1 ( 0)00100U0fD() d0CV2 d0N0)d1(2)fD (02d000CV02 U2 U N22 32p03 V 3 N V 3 0n3 5 0n5 0 n32 d35 0d(3)T0K 時: f 1（）； f1 （ ）； f 1 （）222T0K 時，只有在 附近 kT 量級范圍內(nèi)

10、的電子可躍遷到高能級，對CV 有貢獻，設(shè)這部分電子的數(shù)目為N eff， 則 NeffN kT 。每一電子對CV 的貢獻為 3kT/2,則金屬中自由電子對Cv 的貢獻為 CV e3 kN ef f3k N kT3Nk (kT )3Nk ( kT )3Nk ( T )2222 kTf2Tf晶格的熱容量為Cv 3Nk ， CV e1 T0(Tf :10 4 105 )CV2 TfU U 0ii e/ kT1 ，式中的求和6固體的熱運動可以視為 3N 個獨立簡正振動，每個振動具有各自的簡正頻率 i，內(nèi)能的表達式為：遍及所有的振動模式，實際計算時需要知道固體振動的頻譜。1）寫出愛因斯坦模型中采用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并加以簡單說明；2）用愛因斯坦模型求高溫下固體的熱容量；3）用德拜模型證明低溫下固體的熱容量正比于T 3。解：（ 1）愛因斯坦模型：N 個分子的振動簡化為3N 同頻率（ ）的簡諧振動，每個振子的能級為1n( n)；2德拜模型： N 個分子的振動簡化為D，D ( )dB2d .3N 個簡正振動，每個振子的頻率不同，且有上限l1)e2(2)愛因斯坦模型 :Z1l ee( n;1lneU3Nln Z13N3N2e1C( U )3Nk () 2e / kT1)2VTVkT(e/ k