1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章 概率論的基本概念2樣本空間、隨機(jī)事件 B ABABABxx A B BAABxx AB 同BAABx且xABBAAAB A與B ABABS且 AB ABABB B A AB B A A(AB)C A(BC) (AB)C A(BC)（BC (AB)(AC) AA(BC) (AB)(AC)B A B AB ABA3頻率與概率 n n A n A件An nAA E EA P(A)AS P10 P(A) 1nnA ,A ,A P(A)( )P An（ 可12nkkk1k1 ）( ) 0PnnA ,A ,A P()( )P AAn（ ）12nkkk1k1ABA，P(A)1P(B

2、A) P(B) P(A) P(B) P(A)，P()1P()有P(AB) P(A) P(B) P(AB)4等可能概型（古典概型）Ae ， 里ee若 事 件 A 包 含 k 個(gè) 基 本 事 件 ， 即ii2i1ki ，i ，i 2nk12,k k A包含的基本事件數(shù)P ekP() n S中基本事件的總數(shù)i jj15條件概率P(AB)P()P(B|) P(A)0AB (B| ) 01 P。(S | ) 12P。, ,B B3 可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有12P( B A ) P(B A )iii1i1 niikkknii設(shè) P(A)0 BA與BA與B A和B與第二章 隨機(jī)變量及其分布X

3、 X(e)2 離散性隨機(jī)變量及其分布律p 0kkkP(X k) k 1-p，k 0 0 p X p A E，P(A)1-pEnn P(X k) p q，k 2n 0P kpkkn-k k k1n p qp（pqn kXkn-k k 設(shè)隨機(jī)變量 X 所有可能取的值為 0,1,2，而取各個(gè)值的概率為e k-P(Xk), ,k 0X k!X （）3隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)XF(x)PXx, -xX分布函數(shù)F(x)P(X x)，具有以下性質(zhì)(1)F(x)是一個(gè)不減函數(shù)（2）0 F(x) F() 0,F() 1 F(x0) F(x),即F(x)4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度f(x)x有F(x)xf（t）dt

4、,則稱xX的-f(x)(2) f(x)dx 11f(x)；-P(x X x ) f(x)dx；f x x x f xF ( ) ( )x( )2，1211，a x bXf (x) b-aXXU（a，b） 0 ，其他1 e ， . 0-xxXf (x)其中0X0，其他服從參數(shù)為 若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為1(x2- x ，2f(x) e，（ 0)X，X N（，） ， 1X5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布( - , ( )g x X f xxx,( ) 0g x( )， 則 g X 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， 其 概 率 密 度 為 y f h(y) hX(y),f (y) 0， 其他Y第三章

5、多維隨機(jī)變量1二維隨機(jī)變量Se. X X(e) Y Y(e)S上設(shè)E和XX(e)設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，y，二元函數(shù) P(X x)(Y y)記成 Y y( Y y ) ij2，P X xpijijF（x，）y x（ ， F x y（ ， ），f u v dudv 有- - 和Y2 邊緣分布F（x，） X 和 Y （x), （）FFYXXY PY y j2p ， ，p x i ppiiijijijij1i1p pXYjf (x) Xf(x,dyf (y) Yf(x,）dxf (x) ，Xf (y)Y為 XY3 條件分布 Y yjX x ,Y y pX x Y y ,i Y

6、yijijY y pijjjjX x ,Y y pY y X X , j XijX x pjiiiX x Xif(,y)Yf(x,y)f (y)Yf (y)YXf (y)Yf(x,y) f (x y)=X Yf (y)Y 設(shè)F（x，）及F (x)，F(xiàn) (y)YX有X ,YXPYyx, F (x)F (y)X和YXY0 和Y5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布f(x,y)f (z)XY ）f(z y,y dy f (z) ）f(,z x dx或XYf (x), f (y)YX和Y則Xf (f (zx)dxf (z)XYf (z dyf (z)XY和XYXYf , fXYYZ Z XYXYZ ， f(x,

7、y)Z X 1zf(x, )f (z)Y Xx f(,xz)dx f (z)XYX和Yxx(z)f (x), f (y)Xff (x)f (xzdxX于 YY XY 1zf (x)f ( )f (z)XYxxXYM X，N X,Y的分布3F (x),F (y)Y設(shè) XM YzX和YzPMzPXz,Yz又M YF (z)max F z F z( ) ( )X和YXYN X,YF (z)min1 1F (z) 1F (z)XY第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望X x p x p Xkkkkk1(X)( ) E Xx p X的數(shù)學(xué)期望，記為Ex pkkkkk1i( )xf x dx(x) X f(

8、 )xf x dx( )E XE X( ) ( )xf x dxX設(shè)YXg(X)X x p(x ）pg Xkkkkk1(x ）p(Y) E(g(X) gEkkk1g x f x dx( ) ( )(x)X f( ) ( )g x f x dx有E(Y) E(g(X) 1設(shè)CE(C)C2設(shè)X E(CX)CE(X)3設(shè)E(X Y)E(X)EY)；4設(shè)E(XY)E(X)EY)2 方差 ( ) ( ) E X E X 2 E X E X 2 為X 設(shè)XD(x) ( ) ( ) x E X E X 2 D(X) E(X E(X)2 E(X 2)(EX)21設(shè)CD(C)0,( ) C ( )( ) D(X

9、)2設(shè)XD CX3設(shè)D(X Y)D(X)D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)特D(X Y)D(X)DY)2D X ，D X C4D(X) 0X1E(X)X E(X)1E(X) 2 X 2PX- 23協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)量EX E(XYEY) X 與Y Cov(X,Y)Cov(X,Y) E(X E(XY EY) E(XY) E(X)EY)Cov(X，Y）而X和YXYD(X) D(Y)D(X Y) ( ) ( ) 2D X D Y( , )Cov X YX和_1Cov(X,Y) CovY,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)( , ) ( , )( , )Cov X X Y Cov

10、X Y Cov X Y21212111使 1P Y a bx20時(shí)，稱X和Y不相關(guān)當(dāng)XY分布兩點(diǎn)分布P X k p p 1 k )p p)pk二項(xiàng)式分布泊松分布幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n 1np p)pkn，kkn knk 0k!1P X k) p 1 p k (),kp1b a( )2a b，21ex 0,1(x)2e2 0第五章 大數(shù)定律與中心極限定理1 大數(shù)定律 設(shè) X X21n(X ) (k )X E.作前 n nkkk11n0lim 1PXnknk1Y ,Y ,Y a 設(shè)12nlimY a 1Y ,Y ,Y Y apn12nnn 設(shè) f 是nA AAfflim 1 lim 0 PpPp或nnnnnn2 中心極限定理X ,X ,X 定理一（獨(dú)立同分布的中心極限定理） 12