1、 第2課時空間幾何體的切、接、截問題 考點一簡單幾何體的外接球 eq avs4al(典例1)(1)已知三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB eq r(5)，BC eq r(7)，AC2，則此三棱錐的外接球的體積為()A eq f(8,3) B eq f(8r(2),3) C eq f(16,3) D eq f(32,3)(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在以O(shè)為球心的球面上，且BAC eq f(3,4)，AA1BC2，則球O的體積為()A4 eq r(3) B8 C12 D20(1)B(2)A(1)AB eq r(5)，BC eq r(7)，AC2，PA1，PC eq r(

2、3)，PB2.以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖所示，則長方體的外接球同時也是三棱錐PABC的外接球長方體的體對角線長為 eq r(134)2 eq r(2)，球的直徑為2 eq r(2)，半徑R eq r(2)，因此，三棱錐PABC外接球的體積是 eq f(4,3)R3 eq f(4,3)( eq r(2)3 eq f(8r(2),3).故選B.(2)在底面ABC中，由正弦定理得底面ABC所在的截面圓的半徑為r eq f(BC,2sin BAC) eq f(2,2sin f(3,4) eq r(2)，則直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的半徑為R eq r(r2blc(rc

3、)(avs4alco1(f(AA1,2)2) eq r(（r(2)）212) eq r(3)，則直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的體積為 eq f(4,3)R34 eq r(3).故選A.母題變遷1若將本例(2)的條件“BAC eq f(3,4)，AA1BC2”換為“AB3，AC4，ABAC，AA112”，則球O的半徑為_ eq f(13,2)如圖所示，過球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM eq f(1,2)BC eq f(5,2)，OM eq f(1,2)AA16，所以球O的半徑ROA eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)262) eq f(13,2

4、).2若將本例(2)的條件改為“正四面體的各頂點都在以O(shè)為球心的球面上”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為_ eq f(6r(3),)設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S14 eq f(r(3),4)a2 eq r(3)a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的 eq f(1,4)，即r eq f(1,4) eq f(r(6),3)a eq f(r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S24r2 eq f(a2,6)，則 eq f(S1,S2) eq f(r(3)a2,f(a2,6) eq f(6r(3),).3若將本例(2)的條件改為“側(cè)棱和底面邊長都是3 eq r(2)的正

5、四棱錐的各頂點都在以O(shè)為球心的球面上”，則其外接球的半徑為_3依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為3 eq r(2) eq r(2)6，高為 eq r(（3r(2)）2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)6)2)3，因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.通過本例及母題變遷訓(xùn)練，我們可以看出構(gòu)造法、補形法等是處理“外接”問題的主要方法，其關(guān)鍵是找到球心，借助勾股定理求球的半徑(1)若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體，利用2R eq r(a2b2c2)求

6、R.(2)一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問題：可補形成直三棱柱先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)(2021天津高考)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為 eq f(32,3)，兩個圓錐的高之比為13，則這兩個圓錐的體積之和為()A3 B4 C9 D12(2)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為_(1)B(2)61(1)如圖，設(shè)球O的半徑為R，由題意， eq f(4,3)R3 eq f(32,3)，可得R2，則球O的直徑為4，兩個圓錐的高之比為13，AO11，BO13，由

7、直角三角形中的射影定理可得：r213，即r eq r(3).這兩個圓錐的體積之和為V eq f(1,3)( eq r(3)2(13)4.故選B.(2)截面圖如圖所示，下底面半徑為5，圓周直徑為10.則圓臺的下底面位于圓周的直徑上，OCOB5，OC4，OOC eq f(,2)，則圓臺的高為3，V eq f(1,3)h(S1 eq r(S1S2)S2)25162061. 考點二簡單幾何體的內(nèi)切球 eq avs4al(典例2)(2020全國卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_ eq f(r(2),3)法一：如圖，在圓錐的軸截面ABC中，CDAB，BD1，BC3，圓

8、O內(nèi)切于ABC，E為切點，連接OE，則OEBC.在RtBCD中，CD eq r(BC2BD2)2 eq r(2).易知BEBD1，則CE2.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R，則OC2 eq r(2)R，在RtCOE中，OC2OE2CE2，即(2 eq r(2)R)2R24，所以R eq f(r(2),2)，圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為 eq f(4,3)R3 eq f(r(2),3).法二：如圖，記圓錐的軸截面為ABC，其中ACBC3，AB2，CDAB，在RtBCD中，CD eq r(BC2BD2)2 eq r(2)，則SABC2 eq r(2).設(shè)ABC的內(nèi)切圓O的半徑為R，則R eq f(2SABC,

9、332) eq f(r(2),2)，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為 eq f(4,3)R3 eq f(r(2),3).“切”的問題處理規(guī)律(1)找準(zhǔn)切點，通過作過球心的截面來解決(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法跟進(jìn)訓(xùn)練2在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則VA4 B eq f(9,2) C6 D eq f(32,3)B要使球的體積最大，必須使球的半徑最大設(shè)球的半徑為R，ABC的內(nèi)切圓半徑為 eq f(6810,2)2，R2，由題意易知球與直三棱柱的上、下底面都相切時，球的直徑取得最大值為3，R eq f(3,2)，Vmax eq

10、f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq sup10(3) eq f(9,2).故選B. 考點三空間幾何體的截面、截線問題 eq avs4al(典例3)(1)(2020全國卷)已知ABC是面積為 eq f(9r(3),4)的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上若球O的表面積為16，則O到平面ABC的距離為()A eq r(3) B eq f(3,2) C1 D eq f(r(3),2)(2)(2020新高考卷)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱長均為2.BAD60，以D1為球心， eq r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為_(1)C(2) e

11、q f(r(2),2)(1)由等邊三角形ABC的面積為 eq f(9r(3),4)，得 eq f(r(3),4)AB2 eq f(9r(3),4)，得AB3，則ABC的外接圓半徑r eq f(2,3) eq f(r(3),2)AB eq f(r(3),3)AB eq r(3).設(shè)球的半徑為R，則由球的表面積為16，得4R216，得R2，則球心O到平面ABC的距離d eq r(R2r2)1，故選C.(2)如圖，連接B1D1，易知B1C1D1為正三角形，所以B1D1C1D12.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1GD1H eq r(2212) eq

12、 r(5)，D1MB1C1，且D1M eq r(3).由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點P，使MP eq r(2)，連接D1P，則D1P eq r(D1M2MP2) eq r(（r(3)）2（r(2)）2) eq r(5)，連接MG，MH，易得MGMH eq r(2)，故可知以M為圓心， eq r(2)為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線由B1MGC1MH45知GMH90，所以 eq o(GH,sup8()的長為 eq f(1,4)2 eq r(2) eq f(r(2),2).巧用直角三角形解決截面圓問題的步驟(1)確定球心O和截面圓的圓心O；

13、(2)探求球的半徑R和截面圓的半徑r；(3)利用|OO|2r2R2計算相關(guān)量跟進(jìn)訓(xùn)練3如圖，以棱長為1的正方體的頂點A為球心，以 eq r(2)為半徑作一個球面，則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長之和為()A eq f(3,4) B eq r(2)C eq f(3,2) D eq f(9,4)C正方體的表面被該球面所截得的弧長是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長是以A1為圓心，1為半徑的圓周長的 eq f(1,4)，所以所有弧長之和為3 eq f(2,4) eq f(3,2).故選C.5.尋找球心解決與球有關(guān)的問題簡單幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點，也是歷年高考重要的考

14、點，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力此類問題實質(zhì)是解決球的半徑長或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心 eq avs4al(典例4)一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為 eq f(9,8)，底面周長為3，則這個球的體積為_ eq f(4,3)設(shè)正六棱柱底面邊長為a，正六棱柱的高為h，則a eq f(1,2)，底面積為S6 eq f(r(3),4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup10(2) eq f(3r(3),8)，V

15、柱Sh eq f(3r(3),8)h eq f(9,8)，h eq r(3)，R2 eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2) eq sup10(2) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup10(2)1，R1，球的體積為V eq f(4,3).直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如圖其外接球球心就是上下底面外接圓圓心連線的中點利用長方體與球的中心對稱性質(zhì)確定球心 eq avs4al(典例5)已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點，沿AD進(jìn)行折疊，使折疊后的BDC eq f(,2)，則過A，B，C，D四點的球的表面積為()A.3 B4 C5 D

16、6C連接BC(圖略)，由題知幾何體ABCD為三棱錐，BDCD1，AD eq r(3)，BDAD，CDAD，BDCD，將折疊后的圖形補成一個長、寬、高分別是 eq r(3)，1，1的長方體，其體對角線長為 eq r(113) eq r(5)，故該三棱錐外接球的半徑是 eq f(r(5),2)，其表面積為5.若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩條垂直，可構(gòu)造墻角模型(如下圖)，直接用公式(2R)2a2b2c2求出R.圖圖圖圖根據(jù)球與長方體的對稱性可知，長方體的對稱中心就是球心，所以長方體(或可補形為長方體的柱體、錐體)的體對角線就是其外接球的直徑利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心 e

17、q avs4al(典例6)平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BD eq r(2)，BDCD.將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD.若四面體ABCD的頂點在同一球面上，則該球的體積為()A. eq f(r(3),2) B3 C eq f(r(2),3) D2A如圖，設(shè)BD，BC的中點分別為E，F(xiàn).因點F為底面直角BCD的外心，知三棱錐ABCD的外接球球心必在過點F且與平面BCD垂直的直線l1上又點E為底面直角ABD的外心，知外接球球心必在過點E且與平面ABD垂直的直線l2上因而球心為l1與l2的交點又FECD，CDBD知FE平面ABD.從而可知球心為點F.又ABAD1，

18、CD1知BD eq r(2)，球半徑RFD eq f(BC,2) eq f(r(3),2).故V eq f(4,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2) eq sup10(3) eq f(r(3),2).三棱錐側(cè)面與底面垂直時，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑利用截面圖形的幾何性質(zhì)確定球心 eq avs4al(典例7)在四面體ABCD中，AB eq r(2)，DADBCACB1，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A. B2 C3 D4B取AB的中點O，由AB eq r(2)，DADBCACB1，所以C

19、A2CB2AB2，AD2BD2AB2，可得ACBADB90，所以O(shè)AOBOCOD eq f(r(2),2)，即O為外接球的球心，球的半徑R eq f(r(2),2)，所以四面體ABCD的外接球的表面積為S4R24 eq f(1,2)2.由圓的幾何性質(zhì)可知，直徑所對的圓周角是直角，故當(dāng)遇有公共斜邊的直角三角形的四面體外接球問題時，常采用取中點的方式解答跟進(jìn)訓(xùn)練4(1)已知三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA1，SBSC2，若點P為三棱錐SABC的外接球的球心，則這個外接球的半徑是_(2)(2021合肥一中模擬)半正多面體(semiregular solid)亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美以正方體每條棱的中點為頂點構(gòu)造一個半正多面體，如圖，它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成，若它的所有棱長